Sujets type EAM
Juin, fin de première. Léa, élève dans un lycée de Lyon, découvre son sujet d'épreuve anticipée de mathématiques : deux heures, pas de calculatrice, une première partie de questions courtes puis plusieurs exercices indépendants. Par quoi commencer ? Comment ne pas perdre de points sur des questions pourtant faciles ? Cette page te donne une méthode et les savoir-faire à maîtriser, puis te fait travailler sur des sujets type.
Comment est construite l'épreuve ?
L'épreuve anticipée de mathématiques (EAM) dure 2 h, avec un coefficient 2. Elle se passe sans calculatrice. Elle est notée sur 20 :
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Partie 1 (6 points) : des automatismes. Ce sont des questions courtes, souvent des QCM, sans longue rédaction.
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Partie 2 (14 points) : deux ou trois exercices indépendants, qui portent sur le programme de première.
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2 points sur 20 récompensent la maîtrise de la langue : phrases claires, conclusions rédigées.
Partie 1 : automatismes sans calculatrice
Ces questions testent des réflexes. Voici les plus fréquents, avec la méthode pour chacun.
Pourcentages. Un taux d'évolution est $t = \dfrac{\text{valeur finale} - \text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$. Le coefficient multiplicateur est $1 + t$. Une hausse de $t$ correspond à $1+t$ et une baisse de $t$ à $1-t$.
Suites. Pour une suite arithmétique de raison $r$ : $u_n = u_0 + nr$. Pour une suite géométrique de raison $q$ : $u_n = u_0\,q^n$. La somme de $n$ termes consécutifs d'une suite arithmétique vaut $n \times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$.
Second degré. Un trinôme $ax^2 + bx + c$ se factorise souvent à vue (racine évidente, identité remarquable). Pour résoudre une inéquation, on utilise le signe du trinôme : signe de $a$ à l'extérieur des racines, signe contraire entre les racines.
Dérivation. $(x^2)' = 2x$, $(x^3)' = 3x^2$, $\left(\dfrac1x\right)' = -\dfrac1{x^2}$, $(\sqrt x)' = \dfrac{1}{2\sqrt x}$, $(kf)' = kf'$.
Droites. Dans $y = mx + p$, le coefficient directeur est $m$ et l'ordonnée à l'origine est $p$.
Trigonométrie. $\cos\dfrac\pi3 = \dfrac12$, $\sin\dfrac\pi6 = \dfrac12$, $\cos\dfrac\pi4 = \sin\dfrac\pi4 = \dfrac{\sqrt2}{2}$, $\sin\dfrac\pi3 = \dfrac{\sqrt3}{2}$. Et $\pi$ rad $= 180°$, donc $x$ radians valent $x \times \dfrac{180}{\pi}$ degrés.
Probabilités. $P(\overline A) = 1 - P(A)$. Si $A$ et $B$ sont indépendants, $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$.
QCM sans calculatrice. Pour chaque question, donner la bonne réponse parmi A, B, C. 1) Le nombre dérivé de $f(x) = 3x^2$ en $x = 2$ est : A) $6$ ; B) $12$ ; C) $24$. 2)…
QCM sans calculatrice. Pour chaque question, donner la bonne réponse parmi A, B, C.
1) Le nombre dérivé de $f(x) = 3x^2$ en $x = 2$ est : A) $6$ ; B) $12$ ; C) $24$.
2) Le prix d'un article passe de 50 € à 60 €. Le taux d'évolution est : A) $10\,\%$ ; B) $20\,\%$ ; C) $120\,\%$.
3) La somme des 10 premiers termes de la suite arithmétique de premier terme $1$ et de raison $2$ vaut : A) $100$ ; B) $55$ ; C) $19$.
Réponses courtes, sans calculatrice. a) La suite $(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $2$. Calculer $u_3$. b) Résoudre $x^2 - 9 \leq 0$. c)…
Réponses courtes, sans calculatrice.
- a) La suite $(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $2$. Calculer $u_3$.
- b) Résoudre $x^2 - 9 \leq 0$.
- c) Donner le coefficient directeur de la droite d'équation $y = -2x + 7$.
Réponses courtes, sans calculatrice. a) Calculer $\cos\frac{\pi}{3}$. b) Convertir $\frac{3\pi}{4}$ radians en degrés. c) $P(A) = 0{,}3$ ; calculer $P(\overline{A})$.
Réponses courtes, sans calculatrice.
- a) Calculer $\cos\frac{\pi}{3}$.
- b) Convertir $\frac{3\pi}{4}$ radians en degrés.
- c) $P(A) = 0{,}3$ ; calculer $P(\overline{A})$.
Vrai ou faux : justifier
Dans un « vrai/faux justifié », la réponse seule ne rapporte rien. Il faut :
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pour prouver qu'une affirmation est vraie, faire un raisonnement général ;
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pour prouver qu'elle est fausse, donner un seul contre-exemple ou un calcul qui la contredit.
Deux outils servent souvent : les coefficients multiplicateurs (on multiplie, on n'additionne pas les taux) et la forme canonique $a(x-\alpha)^2 + \beta$ d'un trinôme.
Partie 1 (sans calculatrice). Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant. a) Une hausse de $10\,\%$ suivie d'une baisse de $10\,\%$ ramène…
Partie 1 (sans calculatrice). Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant.
- a) Une hausse de $10\,\%$ suivie d'une baisse de $10\,\%$ ramène au prix initial.
- b) La fonction $f(x) = x^2 - 4x + 1$ admet un minimum égal à $-3$.
- c) Si $P(A) = 0{,}5$ et $P(B) = 0{,}4$ avec $A$ et $B$ indépendants, alors $P(A \cap B) = 0{,}2$.
Exercice type : suites et modèles
Un exercice de suites suit presque toujours le même fil. Dans un sujet de première, la relation $u_{n+1} = a\,u_n + b$ et la suite auxiliaire sont guidées par l'énoncé (c'est lui qui donne $b_n = a_n - \ell$) : modéliser par une relation de récurrence, calculer les premiers termes, introduire une suite auxiliaire géométrique, en déduire la formule explicite, puis conjecturer le comportement à long terme.
Prenons une situation concrète. Lina place 2 000 € sur un livret à $2\,\%$ par an et verse en plus 100 € chaque année. Notons $u_n$ la somme disponible après $n$ années. Chaque année, la somme est multipliée par $1{,}02$ puis on ajoute 100 €.
Comportement à long terme. Si $0 < q < 1$, les valeurs de $q^n$ se rapprochent de $0$ quand $n$ grandit : on peut le conjecturer en calculant quelques termes. La suite $u_n = \ell + (u_0-\ell)\,q^n$ se rapproche alors de $\ell$. Si $q > 1$, les valeurs de $q^n$ deviennent aussi grandes qu'on veut.
Partie 2. Une association de Nantes dispose de 1 200 adhérents en 2024. Chaque année, $5\,\%$ des adhérents ne renouvellent pas leur adhésion et 80 nouveaux adhérents…
Partie 2. Une association de Nantes dispose de 1 200 adhérents en 2024. Chaque année, $5\,\%$ des adhérents ne renouvellent pas leur adhésion et 80 nouveaux adhérents arrivent. On note $a_n$ le nombre d'adhérents l'année $2024 + n$.
- a) Justifier que $a_{n+1} = 0{,}95\,a_n + 80$.
- b) Calculer $a_1$ et $a_2$.
- c) On pose $b_n = a_n - 1\,600$. Montrer que $(b_n)$ est géométrique et préciser sa raison et son premier terme.
- d) En déduire $a_n$ en fonction de $n$ et la limite éventuelle du nombre d'adhérents.
Exercice type : étude de fonction et optimisation
C'est l'exercice le plus classique de l'épreuve. Il suit les étapes : dériver, factoriser, signe, tableau de variations, conclusion. Il peut ensuite demander une tangente, un nombre de solutions ou un maximum dans un contexte (bénéfice, aire, coût).
Voici la courbe représentative de la fonction $g : x \mapsto x^3 - 3x$ : la dérivée s'annule aux points où la tangente est horizontale.
Problème d'optimisation. Une fonction de bénéfice se construit avec $B(x) = R(x) - C(x)$ (recette moins coût). On étudie ses variations sur l'intervalle de production donné. Le maximum se lit dans le tableau de variations, en comparant avec les valeurs aux bornes si l'intervalle est fermé. On conclut dans le contexte : « Pour une production de … , le bénéfice maximal est … ».
Partie 3. Soit $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ sur $\mathbb{R}$. a) Calculer $f'(x)$ et la factoriser. b) Dresser le tableau de variations de $f$. c) Déterminer l'équation…
Partie 3. Soit $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ sur $\mathbb{R}$.
- a) Calculer $f'(x)$ et la factoriser.
- b) Dresser le tableau de variations de $f$.
- c) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $0$.
- d) Déterminer le nombre de solutions de $f(x) = 0$. On pourra calculer $f(-1)$.
Un fabricant de Grenoble produit entre 0 et 20 centaines de pièces par jour. Le coût total, en centaines d'euros, pour $x$ centaines de pièces est…
Un fabricant de Grenoble produit entre 0 et 20 centaines de pièces par jour. Le coût total, en centaines d'euros, pour $x$ centaines de pièces est $C(x) = x^3 - 12x^2 + 60x + 50$, et la recette est $R(x) = 40x$ pour $x \in [0\,;20]$.
- a) Exprimer le bénéfice $B(x)$ et calculer $B'(x)$.
- b) Étudier les variations de $B$ sur $[0\,;20]$.
- c) Déterminer la production qui maximise le bénéfice et le bénéfice maximal (on donnera la valeur exacte de la production, puis des valeurs arrondies au centième).
- d) Le fabricant a-t-il intérêt à produire à pleine capacité, c'est-à-dire 20 centaines de pièces ? Justifier en comparant $B(20)$ avec la valeur trouvée à la question c).
Exercice type : probabilités
Les exercices de probabilités commencent par un arbre pondéré qui traduit l'énoncé. Les pourcentages « parmi » deviennent des probabilités conditionnelles. On en déduit la probabilité totale, puis on inverse la condition.
L'énoncé peut aussi donner un tableau croisé d'effectifs. Si on choisit une personne au hasard, $P_A(B)$ se lit dans la ligne (ou la colonne) de $A$ : $P_A(B) = \dfrac{\text{effectif de } A \cap B}{\text{effectif de } A}$.
Voici une situation. Dans un lycée, $70\,\%$ des élèves viennent en bus ($B$). Parmi ceux-ci, $20\,\%$ arrivent en retard ($R$). Parmi les autres élèves, $10\,\%$ arrivent en retard.
Répétition d'épreuves indépendantes. On répète $n$ fois, de manière indépendante, une même épreuve à deux issues (succès avec la probabilité $p$, échec avec $1-p$). Soit $X$ le nombre de succès. On dit que $X$ suit la loi binomiale $\mathcal B(n\,;p)$.
Dans un lycée, $55\,\%$ des élèves sont des filles. Parmi elles, $40\,\%$ pratiquent un sport en club ; parmi les garçons, $50\,\%$ le pratiquent. a) Représenter la…
Dans un lycée, $55\,\%$ des élèves sont des filles. Parmi elles, $40\,\%$ pratiquent un sport en club ; parmi les garçons, $50\,\%$ le pratiquent.
- a) Représenter la situation par un arbre pondéré.
- b) Calculer la probabilité qu'un élève choisi au hasard pratique un sport en club.
- c) Sachant qu'un élève pratique un sport en club, calculer la probabilité que ce soit une fille (arrondir à $10^{-3}$).
- d) On choisit 10 élèves indépendamment. Soit $X$ le nombre d'élèves pratiquant un sport en club. Donner la loi de $X$, $E(X)$ et calculer $P(X = 0)$ à $10^{-3}$ près.
Exercice type : trigonométrie et fonction dérivée
Certains sujets mêlent trigonométrie et dérivation. Pour dériver, retiens :
Les énoncés rappellent souvent les formules de duplication (elles ne sont pas au programme : elles sont données par l'énoncé) : $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ et $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1$. Elles permettent de factoriser la dérivée afin d'en étudier le signe.
Pour étudier le signe d'un produit de facteurs trigonométriques, on lit le cercle trigonométrique et on dresse un tableau de signes : une ligne par facteur, puis la ligne du produit avec la règle des signes.
Existence d'une solution. Pour montrer qu'une équation $f(x) = 0$ a au moins une solution dans un intervalle $[a\,;b]$ :
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on utilise le tableau de variations : sur un intervalle où $f$ est strictement monotone, les valeurs de $f$ sont rangées et le signe de $f$ se lit directement ;
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ou bien on trouve explicitement une solution et on la vérifie.
Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;2\pi]$ par $f(x) = 2\cos x + \sin 2x$. a) Montrer que $f'(x) = -2\sin x + 2\cos 2x$. b) Vérifier que…
Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;2\pi]$ par $f(x) = 2\cos x + \sin 2x$.
- a) Montrer que $f'(x) = -2\sin x + 2\cos 2x$.
- b) Vérifier que $f'(x) = -2(2\sin x - 1)(\sin x + 1)$.
- c) Étudier le signe de $f'(x)$ sur $[0\,;2\pi]$ et dresser le tableau de variations de $f$.
- d) Montrer que l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution dans $\left[\frac{\pi}{6}\,;\frac{5\pi}{6}\right]$.
Retour au début : Léa sait maintenant comment organiser ses deux heures. Elle commence par la partie 1, réponses courtes et justifications soignées. Puis, dans chaque exercice, elle repère le fil classique (suite auxiliaire, tableau de variations, arbre pondéré, tableau de signes), traite d'abord ce qu'elle maîtrise et rédige chaque conclusion.
L'essentiel
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Épreuve : 2 h sans calculatrice ; partie 1 (6 points, automatismes), partie 2 (14 points, exercices indépendants), 2 points de maîtrise de la langue.
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Automatismes : $t = \dfrac{V_f - V_i}{V_i}$, coefficient $1+t$ ; suites arithmétique ($u_0 + nr$) et géométrique ($u_0 q^n$) ; signe d'un trinôme ; valeurs remarquables de $\cos$ et $\sin$ ; $P(\overline A) = 1 - P(A)$.
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Vrai/faux : une preuve générale pour « vrai », un contre-exemple pour « faux ». Forme canonique pour un extremum de trinôme.
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Suites : pour $u_{n+1} = a\,u_n + b$, poser $v_n = u_n - \ell$ avec $\ell = a\ell + b$, qui donne une suite géométrique de raison $a$.
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Fonctions : dériver, factoriser, signe de $f'$, tableau de variations ; tangente $y = f(a) + f'(a)(x-a)$ ; extremum global : comparer aux bornes ; solutions : un intervalle de monotonie à la fois.
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Probabilités : arbre pondéré, règle du produit, probabilités totales, $P_B(A) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ ; loi binomiale $\mathcal B(n\,;p)$ avec $P(X=0)=(1-p)^n$ et $E(X)=np$.
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Trigonométrie : $(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$, formules de duplication pour factoriser, lecture du cercle trigonométrique pour les signes.