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Logique, suites figurées et algorithmique en première · Fonctions cosinus et sinus

Fonctions cosinus et sinus : courbes, parité et valeurs remarquables

Une roue de la Grande Roue de Paris tourne régulièrement : au bout d'un tour, tu retrouves exactement la même hauteur, puis le même mouvement recommence. Comment décrire cette répétition avec une fonction, et comment la lire sur une courbe ? C'est le rôle des fonctions cosinus et sinus.

Du cercle trigonométrique aux deux fonctions

Dans le repère orthonormé $(O ; \vec\imath, \vec\jmath)$, on enroule la droite des réels sur le cercle trigonométrique. À un réel $x$ correspond un point $M$ du cercle, appelé image de $x$. Son abscisse est $\cos x$ et son ordonnée est $\sin x$.

Cercle trigonométrique : le point M image du réel x a pour abscisse cos x et pour ordonnée sin x. M cos x sin x 1 1 x

Comme $M$ est sur le cercle de rayon 1, on a toujours $-1 \leqslant \cos x \leqslant 1$, $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$ et $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$.

Entraîne-toi★☆☆
Soit $f(x) = 2\sin x$ sur $\mathbb{R}$. a) Donner le maximum et le minimum de $f$. b) Donner sa période. c) Calculer $f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ et…

Soit $f(x) = 2\sin x$ sur $\mathbb{R}$.

  1. a) Donner le maximum et le minimum de $f$.
  1. b) Donner sa période.
  1. c) Calculer $f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ et $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$.
Résoudre

Périodicité et parité

Quand on ajoute $2\pi$ à $x$, on fait un tour complet du cercle : on retombe sur le même point.

Pour $-x$, le point image est le symétrique de $M$ par rapport à l'axe des abscisses : même abscisse, ordonnée opposée.

Graphiquement :

  • la courbe de $\cos$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ;

  • la courbe de $\sin$ est symétrique par rapport à l'origine $O$.

On peut donc étudier ces fonctions sur $[0\,;\pi]$, puis compléter la courbe par symétrie et translations de vecteur $2\pi\,\vec\imath$.

Entraîne-toi★☆☆
On considère les fonctions $\cos$ et $\sin$ définies sur $\mathbb{R}$. a) Rappeler leur période et leur parité. b) Traduire graphiquement la parité de chacune. c) Donner…

On considère les fonctions $\cos$ et $\sin$ définies sur $\mathbb{R}$.

  1. a) Rappeler leur période et leur parité.
  1. b) Traduire graphiquement la parité de chacune.
  1. c) Donner les valeurs de $x$ de $[0\,;2\pi]$ pour lesquelles $\cos x = 0$.
Résoudre
Entraîne-toi★★☆
Soit $f(x) = \sin x + \cos x$ sur $\mathbb{R}$. a) Montrer que $f$ est $2\pi$-périodique. b) Calculer $f(0)$, $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$, $f(\pi)$ et…

Soit $f(x) = \sin x + \cos x$ sur $\mathbb{R}$.

  1. a) Montrer que $f$ est $2\pi$-périodique.
  1. b) Calculer $f(0)$, $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$, $f(\pi)$ et $f\left(\frac{3\pi}{2}\right)$.
  1. c) Calculer $f(-x)$ et conclure sur la parité éventuelle de $f$.
Résoudre

Valeurs remarquables

$x$ $0$ $\frac{\pi}{6}$ $\frac{\pi}{4}$ $\frac{\pi}{3}$ $\frac{\pi}{2}$ $\pi$
$\cos x$ $1$ $\frac{\sqrt3}{2}$ $\frac{\sqrt2}{2}$ $\frac12$ $0$ $-1$
$\sin x$ $0$ $\frac12$ $\frac{\sqrt2}{2}$ $\frac{\sqrt3}{2}$ $1$ $0$

Pourquoi ces valeurs ? Voici deux démonstrations (programme de première).

Entraîne-toi★☆☆
Calculer, sans calculatrice, $\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)$, $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$, $\cos\left(\frac{7\pi}{3}\right)$ et $\sin\left(\frac{5\pi}{2}\right)$.

Calculer, sans calculatrice, $\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)$, $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$, $\cos\left(\frac{7\pi}{3}\right)$ et $\sin\left(\frac{5\pi}{2}\right)$.

Résoudre
Entraîne-toi★★☆
a) Dans un carré $ABCD$ de côté 1, calculer la longueur de la diagonale $AC$ et en déduire $\cos\frac{\pi}{4}$ et $\sin\frac{\pi}{4}$ en considérant le triangle $ABC$.…
  1. a) Dans un carré $ABCD$ de côté 1, calculer la longueur de la diagonale $AC$ et en déduire $\cos\frac{\pi}{4}$ et $\sin\frac{\pi}{4}$ en considérant le triangle $ABC$.
  1. b) Dans un triangle équilatéral $ABC$ de côté 1, on note $H$ le pied de la hauteur issue de $A$. Calculer $AH$ et en déduire $\cos\frac{\pi}{3}$ et $\sin\frac{\pi}{3}$ en considérant le triangle $ABH$.
Résoudre

Résoudre des équations trigonométriques simples

Pour résoudre $\cos x = a$ ou $\sin x = a$ sur un intervalle, on lit le cercle : on cherche les points du cercle d'abscisse (ou d'ordonnée) $a$.

Pour $\cos x = a$, les deux points sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses : les solutions sont $\alpha$ et $2\pi - \alpha$ (ou $-\alpha$).

Entraîne-toi★★☆
Résoudre dans $[0\,;2\pi]$ : a) $\cos x = \frac{1}{2}$ ; b) $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ ; c) $2\sin^2 x - 1 = 0$.

Résoudre dans $[0\,;2\pi]$ :

  1. a) $\cos x = \frac{1}{2}$ ;
  1. b) $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ ;
  1. c) $2\sin^2 x - 1 = 0$.
Résoudre

Étudier une fonction trigonométrique

On peut alors étudier des fonctions construites avec $\cos$ et $\sin$ comme n'importe quelle fonction : parité, périodicité, dérivée, tableau de variations.

Entraîne-toi★★★
Soit $f(x) = \cos x + \frac{1}{2}\cos 2x$ sur $\mathbb{R}$. a) Montrer que $f$ est paire et $2\pi$-périodique, et justifier que l'on peut l'étudier sur $[0\,;\pi]$. b)…

Soit $f(x) = \cos x + \frac{1}{2}\cos 2x$ sur $\mathbb{R}$.

  1. a) Montrer que $f$ est paire et $2\pi$-périodique, et justifier que l'on peut l'étudier sur $[0\,;\pi]$.
  1. b) Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = -\sin x\,(1 + 2\cos x)$.
  1. c) Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0\,;\pi]$.
  1. d) Décrire la courbe sur $[-\pi\,;\pi]$ à l'aide de symétries.
Résoudre
Entraîne-toi★★★
Soit $g$ la fonction définie sur $[0\,;+\infty[$ par $g(x) = \sin x - x$. a) Calculer $g'(x)$ et étudier son signe. b) En déduire que $\sin x \leq x$ pour tout…

Soit $g$ la fonction définie sur $[0\,;+\infty[$ par $g(x) = \sin x - x$.

  1. a) Calculer $g'(x)$ et étudier son signe.
  1. b) En déduire que $\sin x \leq x$ pour tout $x \geq 0$.
  1. c) On admet que $\sin x \geq x - \frac{x^3}{6}$ pour tout $x \geq 0$. Vérifier numériquement cette inégalité pour $x = 1$ avec $\sin 1 \approx 0{,}841$.
Résoudre

Formules d'addition

On en déduit les autres formules en remplaçant $b$ par $-b$ et en utilisant la parité : $\cos(a+b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$ (car $\cos(-b) = \cos b$ et $\sin(-b) = -\sin b$).

Entraîne-toi★★★
On admet que, pour tous réels $a$ et $b$, $\cos(a-b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b$. a) En déduire $\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$. b) Retrouver…

On admet que, pour tous réels $a$ et $b$, $\cos(a-b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b$.

  1. a) En déduire $\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$.
  1. b) Retrouver $\cos\frac{\pi}{12}$ en écrivant $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$.
  1. c) Montrer que $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$ en utilisant $\cos(a+b)$ obtenue avec $b \to -b$.
Résoudre

Retour au début : la Grande Roue se répète à chaque tour, et c'est exactement la $2\pi$-périodicité de $\cos$ et $\sin$ : la hauteur d'une nacelle s'écrit avec un sinus.

L'essentiel

  • $\cos x$ et $\sin x$ sont l'abscisse et l'ordonnée du point image de $x$ sur le cercle trigonométrique ; $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$.

  • $\cos$ et $\sin$ sont $2\pi$-périodiques, à valeurs dans $[-1\,;1]$.

  • $\cos$ est paire (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées) ; $\sin$ est impaire (courbe symétrique par rapport à $O$).

  • Valeurs remarquables : $\frac12$, $\frac{\sqrt2}{2}$, $\frac{\sqrt3}{2}$ pour $\frac\pi6, \frac\pi4, \frac\pi3$.

  • Équations : on lit le cercle, deux points symétriques.

  • Étude : parité et périodicité réduisent l'intervalle d'étude.

À s'entraîner ! 9 exercices dans cette section
★☆☆ Calculer, sans calculatrice, $\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)$,…★☆☆ On considère les fonctions $\cos$ et $\sin$ définies sur $\mathbb{R}$. a) Rappeler leur…★☆☆ Soit $f(x) = 2\sin x$ sur $\mathbb{R}$. a) Donner le maximum et le minimum de $f$. b)…
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