Second degré, géométrie repérée et produit scalaire
À l'épreuve anticipée, la partie 2 propose des exercices en plusieurs questions, sans calculatrice. Un jardinier de Nantes veut un potager rectangulaire de périmètre 28 m et d'aire 45 m² : quelles dimensions choisir ? Un tel problème se ramène à une équation du second degré. Cette page rassemble les outils à avoir en tête pour ces exercices, avec la méthode à suivre à chaque fois.
Le trinôme du second degré
Soit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$. Pour la résoudre, on calcule le discriminant $\Delta=b^2-4ac$.
Pourquoi ? Démonstration. Comme $a\neq0$, on met $a$ en facteur : $f(x)=a\left(x^2+\dfrac bax+\dfrac ca\right)$. Or $x^2+\dfrac bax=\left(x+\dfrac b{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}$, donc $f(x)=a\left[\left(x+\dfrac b{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right]=a\left[\left(x+\dfrac b{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]$ (forme canonique). Alors $f(x)=0$ équivaut à $\left(x+\dfrac b{2a}\right)^2=\dfrac{\Delta}{4a^2}$. Si $\Delta<0$, un carré ne peut pas être négatif : pas de solution. Si $\Delta=0$, on obtient $x=-\dfrac b{2a}$. Si $\Delta>0$, on factorise la différence de deux carrés : $x+\dfrac b{2a}=\pm\dfrac{\sqrt\Delta}{2a}$, d'où les deux racines $x1$ et $x2$.
Sommet de la parabole
Pour $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, le sommet est $S(\alpha\,;\beta)$ avec $\alpha=-\dfrac b{2a}$, et l'axe de symétrie est la droite $x=\alpha$. Si $a>0$, $\beta$ est le minimum de $f$ ; si $a<0$, c'en est le maximum.
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=x^2-4x+3$. 1. Calculer le discriminant de $f(x)$, puis déterminer les racines de $f$. 2. Factoriser $f(x)$ et…
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=x^2-4x+3$.
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Calculer le discriminant de $f(x)$, puis déterminer les racines de $f$.
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Factoriser $f(x)$ et étudier son signe sur $\mathbb R$.
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Montrer que, pour tout réel $x$, $f(x)=(x-2)^2-1$.
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En déduire les coordonnées du sommet de la parabole d'équation $y=f(x)$ et l'équation de son axe de symétrie.
Un jardinier veut délimiter un potager rectangulaire de périmètre 28 m et d'aire 45 m². On note $x$ la longueur d'un côté, en mètre. 1. Exprimer l'autre côté en fonction…
Un jardinier veut délimiter un potager rectangulaire de périmètre 28 m et d'aire 45 m². On note $x$ la longueur d'un côté, en mètre.
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Exprimer l'autre côté en fonction de $x$ et montrer que $x$ vérifie l'équation $x^2-14x+45=0$.
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Résoudre cette équation et en déduire les dimensions du potager.
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Pour un périmètre de 28 m, quelle est l'aire maximale d'un rectangle ? Pour quelles dimensions est-elle atteinte ? On pourra étudier la fonction $x\mapsto x(14-x)$ sur $[0\,;14]$.
Équation du second degré avec paramètre ou en contexte
Dans un problème, on suit toujours les mêmes étapes : choisir l'inconnue, mettre en équation, résoudre, vérifier dans le contexte (une longueur est positive, etc.).
Pour tout réel $m$, on considère la fonction $f_m$ définie sur $\mathbb R$ par $f_m(x)=x^2+mx+9$ et on note $\mathcal P_m$ sa courbe représentative dans un repère. 1.…
Pour tout réel $m$, on considère la fonction $f_m$ définie sur $\mathbb R$ par $f_m(x)=x^2+mx+9$ et on note $\mathcal P_m$ sa courbe représentative dans un repère.
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Exprimer en fonction de $m$ le discriminant $\Delta_m$ de $f_m(x)$.
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Déterminer, suivant les valeurs de $m$, le nombre de points d'intersection de $\mathcal P_m$ avec l'axe des abscisses.
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On prend $m=-10$.
a) Déterminer les racines de $f_{-10}$ à l'aide de leur somme et de leur produit.
b) Déterminer les coordonnées du sommet de $\mathcal P_{-10}$.
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Déterminer les valeurs de $m$ pour lesquelles le sommet de $\mathcal P_m$ appartient à l'axe des abscisses.
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Déterminer l'ensemble des réels $m$ pour lesquels $f_m(x)>0$ pour tout réel $x$.
Produit scalaire et formule d'Al-Kashi
Le produit scalaire est symétrique : $\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u$, et bilinéaire : $\vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w$ et $(k\vec u)\cdot\vec v=k\,(\vec u\cdot\vec v)$. On en déduit le développement : $\|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2$, et de même $\|\vec u-\vec v\|^2=\|\vec u\|^2-2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2$.
On choisit la forme selon les données : des coordonnées → $xx'+yy'$ ; deux longueurs et un angle → le cosinus ; un point projeté sur une droite → le projeté orthogonal ; des normes → la formule avec les normes.
Pourquoi ? Comme $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$, on développe $BC^2=\|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\|^2=AC^2+AB^2-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$. Si l'angle est droit, on retrouve le théorème de Pythagore.
Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points $A(1\,;2)$, $B(4\,;3)$ et $C(2\,;5)$. 1. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$…
Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points $A(1\,;2)$, $B(4\,;3)$ et $C(2\,;5)$.
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Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
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Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.
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Calculer les longueurs $AB$ et $AC$. Que peut-on dire du triangle $ABC$ ?
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En déduire $\cos\widehat{BAC}$.
Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=5$, $AC=8$ et $\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{3}$. 1. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$. 2. En…
Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=5$, $AC=8$ et $\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{3}$.
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Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.
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En utilisant la formule d'Al-Kashi, montrer que $BC=7$.
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Calculer $\cos\widehat{ABC}$.
Droites, hauteurs et médiatrices
L'orthocentre est l'intersection de deux hauteurs ; le centre du cercle circonscrit est l'intersection de deux médiatrices (point équidistant des sommets). Pour les trouver, on résout le système formé par deux équations de droites. Ici $x=2$ et $y=x$ donnent $H(2\,;2)$ ; on vérifie ensuite : $\overrightarrow{BH}(-3\,;1)$, $\overrightarrow{AC}(1\,;3)$, $\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=-3+3=0$.
Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points $A(1\,;1)$, $B(5\,;1)$ et $C(2\,;4)$. 1. Donner une équation de la hauteur du triangle $ABC$ issue de…
Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points $A(1\,;1)$, $B(5\,;1)$ et $C(2\,;4)$.
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Donner une équation de la hauteur du triangle $ABC$ issue de $C$.
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Déterminer les coordonnées de $\overrightarrow{BC}$, puis une équation cartésienne de la hauteur issue de $A$.
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En déduire les coordonnées de l'orthocentre $H$ du triangle $ABC$, puis vérifier que $\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0$.
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a) Donner une équation de la médiatrice de $[AB]$.
b) Montrer qu'une équation cartésienne de la médiatrice de $[AC]$ est $x+3y-9=0$.
c) En déduire les coordonnées du centre $\Omega$ du cercle circonscrit au triangle $ABC$, puis une équation de ce cercle.
Cercles
Pourquoi ? $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$ signifie que $(MA)\perp(MB)$ (ou $M=A$, $M=B$) : c'est la caractérisation d'un triangle rectangle de diamètre $[AB]$.
Pour l'intersection d'un cercle et d'une droite, on substitue : on exprime $x$ ou $y$ grâce à la droite, on le remplace dans l'équation du cercle et on résout le trinôme obtenu (deux solutions ⇒ deux points).
Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère le cercle $\mathcal C$ de centre $\Omega(1\,;-2)$ et de rayon $3$. 1. Donner une équation de $\mathcal C$, puis…
Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère le cercle $\mathcal C$ de centre $\Omega(1\,;-2)$ et de rayon $3$.
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Donner une équation de $\mathcal C$, puis montrer qu'elle s'écrit $x^2+y^2-2x+4y-4=0$.
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Le point $A(4\,;-2)$ appartient-il à $\mathcal C$ ? Justifier.
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Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\Omega A}$. En déduire une équation cartésienne de la tangente à $\mathcal C$ en $A$, c'est-à-dire de la droite passant par $A$ et perpendiculaire à $(\Omega A)$.
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Le point $C(0\,;0)$ est-il à l'intérieur du cercle $\mathcal C$ ? Justifier.
Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points $A(-1\,;1)$ et $B(3\,;3)$. 1. Déterminer les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ et calculer le rayon du…
Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points $A(-1\,;1)$ et $B(3\,;3)$.
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Déterminer les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ et calculer le rayon du cercle $\mathcal C$ de diamètre $[AB]$.
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Écrire une équation de $\mathcal C$, puis montrer qu'elle équivaut à $x^2+y^2-2x-4y=0$.
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Soit $M(x\,;y)$ un point du plan. Montrer que $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=x^2+y^2-2x-4y$. Que peut-on en déduire ?
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Montrer que l'origine $O(0\,;0)$ appartient à $\mathcal C$, puis que le triangle $OAB$ est rectangle en $O$.
Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère le cercle $\mathcal C$ d'équation $x^2+y^2-4x+2y-20=0$ et la droite $d$ d'équation $x-2y+1=0$. 1. Montrer que…
Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère le cercle $\mathcal C$ d'équation $x^2+y^2-4x+2y-20=0$ et la droite $d$ d'équation $x-2y+1=0$.
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Montrer que $\mathcal C$ est un cercle dont on précisera le centre $\Omega$ et le rayon $R$.
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Montrer que les abscisses des points d'intersection de $\mathcal C$ et de $d$ sont les solutions de l'équation $x^2-2x-15=0$.
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En déduire les coordonnées des deux points d'intersection $P$ et $Q$ de $\mathcal C$ et de $d$, avec $x_P>x_Q$.
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Soit $M$ le milieu de $[PQ]$.
a) Déterminer les coordonnées de $M$.
b) Montrer que $\overrightarrow{\Omega M}$ est orthogonal à un vecteur directeur de $d$.
c) Calculer $PQ$ et $\Omega M$, puis vérifier que $\left(\dfrac{PQ}{2}\right)^2+\Omega M^2=R^2$.
Pour revenir au début : le potager mesure $5\ \text{m}\times 9\ \text{m}$, et l'aire maximale (49 m²) est atteinte pour un carré de 7 m.
L'essentiel
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Trinôme : $\Delta=b^2-4ac$ ; racines, factorisation $a(x-x_1)(x-x_2)$, signe de $a$ à l'extérieur des racines ; sommet d'abscisse $-\dfrac b{2a}$.
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En contexte : inconnue, équation, résolution, vérification des solutions.
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Produit scalaire : $\|\vec u\|\|\vec v\|\cos\theta$ ou $xx'+yy'$ ; orthogonal $\iff$ produit nul.
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Al-Kashi : $BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cos\widehat A$.
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Droite : $ax+by+c=0$, normal $(a\,;b)$, directeur $(-b\,;a)$ ; hauteurs et médiatrices via un vecteur normal.
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Cercle : $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ ; cercle de diamètre $[AB]$ : $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$.