Formule d'Al-Kashi (loi des cosinus)

Démontrer algébriquement que, dans tout triangle $ABC$, la relation suivante est vérifiée :

$a^2 + b^2 + c^2 = 2(ab \cos C + bc \cos A + ca \cos B)$

Dans un triangle $ABC$, on connaît les côtés $b=5$ cm, $c=8$ cm et l'angle compris $A=60^\circ$. Calculer la longueur du côté $a$.

Dans un triangle $ABC$, les côtés mesurent $a=10$ cm, $b=12$ cm et l'angle compris est $C=45^\circ$. Écrire la loi des cosinus pour calculer la valeur exacte du côté $c$.

Un parallélogramme a deux côtés adjacents qui mesurent 4 cm et 6 cm. Si l'angle compris entre eux est de $120^\circ$, calculer la longueur de la grande diagonale.

Dans un triangle isocèle $ABC$, les côtés $a$ et $b$ mesurent 6 cm chacun, et l'angle au sommet $C=30^\circ$. Calculer la valeur exacte du côté $c$ en laissant le résultat avec des radicaux.

Deux avions décollent du même aéroport en même temps. L'avion A vole à $800$ km/h avec un cap de $040^\circ$ et l'avion B vole à $650$ km/h avec un cap de $115^\circ$. Quelle distance en ligne droite les sépare après 1,5 heure de vol ?

Dans un triangle $ABC$, les côtés mesurent $a=8$ cm, $b=10$ cm et $c=12$ cm. Calculer la longueur exacte de la médiane $m_a$ issue du sommet $A$ jusqu'au milieu du côté $a$.

Dans un triangle $ABC$, les côtés mesurent $a=3$ cm, $b=5$ cm et $c=7$ cm. Calculer la mesure de l'angle $C$.

Déterminer le plus grand angle d'un triangle dont les côtés mesurent 4 cm, 5 cm et 6 cm.

Une ferme de toit triangulaire a des côtés de 5 m, 7 m et 9 m. Calculer l'angle opposé au plus grand côté.

Dans un triangle de côtés connus $a = 4\text{ cm}$, $b = 6\text{ cm}$ et $c = 9\text{ cm}$, on souhaite déterminer la mesure de ses trois angles en combinant la loi des cosinus et la loi des sinus pour gagner du temps de calcul. Deux camarades proposent des stratégies différentes pour la première étape :

• Marc propose : « Calculons d'abord le plus petit angle, $\widehat{A}$, avec la loi des cosinus, puis déterminons le plus grand angle, $\widehat{C}$, avec la loi des sinus ».

• Sarah rétorque : « Il est beaucoup plus sûr de calculer d'abord le plus grand angle, $\widehat{C}$, avec la loi des cosinus, puis d'en déduire $\widehat{A}$ avec la loi des sinus ».

1. a) Justifier mathématiquement laquelle des deux méthodes est préférable et expliquer quel risque ou quelle ambiguïté mathématique présente l'autre lorsqu'on utilise la fonction réciproque $\arcsin$ sur l'intervalle $[0^\circ ; 180^\circ]$.
2. b) En suivant la bonne stratégie, déterminer en justifiant si le triangle est acutangle ou obtusangle en examinant uniquement le signe de $\cos \widehat{C}$, et calculer la valeur des trois angles du triangle arrondies au degré près.

Calculer la distance entre deux points inaccessibles $A$ et $B$, sachant que, depuis un point d'observation $C$, on a mesuré les distances $CA = 15$ m et $CB = 20$ m, et que l'angle de vue $ACB$ est de $40^\circ$.

Pour mesurer la distance à travers un lac entre les points $A$ et $B$, un géomètre se place au point $C$. Il mesure les distances $CA = 125,5$ m et $CB = 180,2$ m, ainsi que l'angle $ACB = 75^\circ$. Calculer la distance $AB$.

Dans un triangle, les longueurs des côtés sont $x$, $x+2$ et $x+4$. Si le plus grand des angles mesure $120^\circ$, poser l'équation correspondante, déterminer la valeur de $x$ et les longueurs exactes des trois côtés.

On projette une ferme triangulaire en acier pour la toiture d'un hangar industriel. Deux des barres de la structure ont des longueurs fixes de $b = 5\text{ m}$ et $c = 8\text{ m}$.

1. a) Écrire une inéquation en fonction de la longueur du troisième côté, $a$, qui garantisse que l'angle $\widehat{A}$ compris entre les deux barres données soit strictement obtus ($90^\circ < \widehat{A} < 180^\circ$). Déterminer l'intervalle des valeurs réelles possibles pour la longueur $a$.
2. b) On suppose maintenant que le cahier des charges est modifié en fixant la barre $a = 7\text{ m}$ et l'angle $\widehat{A} = 60^\circ$, en conservant $c = 8\text{ m}$, mais en laissant la longueur de la barre $b$ comme inconnue à dimensionner. Poser l'équation du second degré que doit vérifier $b$ en appliquant la loi des cosinus.
3. c) Résoudre l'équation obtenue, vérifier si les solutions trouvées sont géométriquement possibles à l'aide de l'inégalité triangulaire et expliquer pourquoi ce cas fournit deux configurations triangulaires distinctes et valides avec les mêmes données initiales.