Probabilité conditionnelle

Soit deux événements $A$ et $B$ d'une expérience aléatoire. On sait que la probabilité de leur intersection est $P(A \cap B) = 0,12$ et que la probabilité de l'événement $B$ est $P(B) = 0,4$. Calculer la probabilité que $A$ se réalise sachant que $B$ s'est réalisé.

Dans un groupe d'amis, $60\%$ utilisent Spotify ($S$), $40\%$ utilisent Netflix ($N$) et $20\%$ utilisent les deux plateformes. Si l'on choisit une personne dont on sait qu'elle utilise Netflix, quelle est la probabilité qu'elle utilise aussi Spotify ?

Une enquête a été réalisée auprès de 100 élèves de première sur leur préférence entre deux domaines d'études. Les données figurent dans le tableau croisé suivant :

Si l'on choisit un élève au hasard et que c'est une fille, quelle est la probabilité qu'elle préfère les Lettres ? Calculer $P(L|M)$.

Dans un lycée de Paris, une étude a été réalisée sur les habitudes de loisirs de $100$ élèves de première. Les données ont été recueillies dans le tableau croisé suivant, qui classe les élèves selon leur genre et leur réseau social préféré (Instagram ou TikTok) :

On choisit un élève au hasard. Calculer les probabilités suivantes en utilisant la notation des probabilités conditionnelles :

1. a) Qu'il préfère TikTok, sachant que c'est une fille.
2. b) Que ce soit un garçon, sachant que son réseau social préféré est Instagram.
3. c) Les événements « être un garçon » ($H$) et « préférer Instagram » ($I$) sont-ils indépendants ? Justifier la réponse en comparant $P(I/H)$ et $P(I)$.

Une urne contient 5 boules bleues et 3 boules rouges. On tire deux boules successivement avec remise (on remet la première boule dans l'urne avant de tirer la seconde).

1. a) Représenter l'expérience par un arbre pondéré, en indiquant sur chaque branche sa probabilité.

1. b) Calculer la probabilité que la deuxième boule soit rouge sachant que la première était bleue. Les événements sont-ils dépendants ou indépendants ? Justifier la réponse.

Dans un centre de langues, $30\%$ des élèves étudient le français ($F$). Parmi eux, $60\%$ sont des élèves de lycée ($B$). Si l'on choisit un élève au hasard dans la liste du centre, quelle est la probabilité qu'il étudie le français et soit lycéen ? Utiliser la formule de la probabilité conditionnelle : $P(F \cap B) = P(F) \cdot P(B|F)$.

Une boîte à outils contient $12$ ampoules LED, dont $4$ sont défectueuses. On prélève deux ampoules de la boîte successivement et sans remise. Calculer la probabilité des événements suivants :

1. a) La deuxième ampoule est défectueuse, sachant que la première prélevée fonctionnait correctement.
2. b) Les deux ampoules sont défectueuses.
3. c) Au moins une des deux ampoules fonctionne correctement.

Dans une ligue d'e-sport, une équipe a une probabilité de $70\,\%$ de gagner le match si elle joue sur son serveur local ($L$), mais cette probabilité tombe à $40\,\%$ si elle joue sur un serveur extérieur ($E$). On sait qu'elle joue $60\,\%$ de ses matchs à domicile.

1. a) Représenter la situation par un arbre pondéré, en indiquant sur chaque branche sa probabilité.

1. b) Si l'équipe a gagné le dernier match, quelle est la probabilité qu'elle ait joué sur son serveur local ?

1. c) Quelle est la probabilité totale que l'équipe gagne un match quelconque ?

Dans une école de langues, $40\%$ des élèves étudient le français ($F$), $30\%$ étudient l'allemand ($G$) et les autres étudient l'italien ($I$). On sait que le pourcentage d'élèves qui réussissent l'examen final est de $60\%$ en français, $50\%$ en allemand et $80\%$ en italien.

1. a) Si l'on choisit un élève qui a réussi l'examen, quelle est la probabilité qu'il étudie l'allemand ?
2. b) Si l'on choisit un élève au hasard, quelle est la probabilité qu'il n'ait pas réussi l'examen ?

On dispose de deux urnes de composition suivante :

• Urne A : 4 boules rouges et 6 boules bleues.

• Urne B : 7 boules rouges et 3 boules bleues.

L'expérience consiste à lancer un dé équilibré à six faces. Si un nombre premier sort, on tire une boule de l'urne A et on l'introduit dans l'urne B sans regarder sa couleur ; puis on tire une boule de l'urne B. Si un nombre non premier sort, on tire directement une boule de l'urne B.

Calculer la probabilité que la boule finalement tirée dans l'urne B soit rouge.

Soient $A$ et $B$ deux événements d'une expérience aléatoire tels que $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,7$ et $P(A \cup B) = 0,85$.

1. a) Calculer $P(A \cap B)$.
2. b) Déterminer la probabilité que $A$ se réalise sachant que $B$ s'est réalisé.
3. c) Déterminer si les événements $A$ et $B$ sont compatibles et s'ils sont indépendants.

Une étude médicale indique que la probabilité qu'une personne d'une population donnée ait une allergie printanière est de $0,15$. Un test a été mis au point pour la détecter, mais il n'est pas parfait :

• Si une personne est allergique, le test est positif dans $95\%$ des cas.

• Si une personne n'est pas allergique, le test est positif (faux positif) dans $4\%$ des cas.

Si l'on choisit une personne au hasard et que le test est positif, quelle est la probabilité qu'elle soit réellement allergique ?

Sur une plateforme de streaming, $20\%$ des utilisateurs préfèrent les films d'horreur, $50\%$ préfèrent les comédies et $30\%$ préfèrent les drames. Le service d'analyse de données a observé que la probabilité qu'un utilisateur regarde un film en entier dépend du genre :

• Horreur : $0,6$

• Comédie : $0,8$

• Drame : $0,7$

Si l'on choisit un utilisateur au hasard et qu'on constate qu'il a abandonné un film en cours de route (il ne l'a pas terminé), quelle est la probabilité que ce film ait été un film d'horreur ?

Dans un laboratoire de cybersécurité, un algorithme d'intelligence artificielle analyse des courriels pour détecter le phishing. On sait que :

• $5\%$ des courriels reçus par l'entreprise sont des tentatives d'escroquerie (phishing).

• Si un courriel est du phishing, l'algorithme l'identifie correctement comme « suspect » dans $98\%$ des cas.

• Si un courriel est légitime, l'algorithme se trompe et le marque comme « suspect » dans $3\%$ des cas (faux positif).

Si un employé reçoit une alerte « courriel suspect » dans sa boîte de réception :

1. a) Quelle est la probabilité réelle que le courriel soit effectivement une tentative de phishing ?
2. b) Si l'algorithme indique que le courriel est « sûr », quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'une erreur et que ce soit réellement du phishing ?