Suites exponentielles. Le nombre e

Calculer la limite de la suite exponentielle suivante :

$a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{3n}$

Déterminer la valeur vers laquelle tend la suite $b_n$ lorsque $n \to \infty$ :

$b_n = \left( 1 + \frac{1}{2n} \right)^{2n}$

Calculer la limite de la suite de terme général :

$e_n = \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n$

Déterminer la limite de la suite suivante, sachant qu'elle présente une forme indéterminée du type $1^\infty$ :

$f_n = \left( 1 + \frac{4}{n} \right)^n$

Calculer la limite de la suite suivante, en levant la forme indéterminée correspondante :

$a_n = \left( \frac{n+3}{n-1} \right)^{2n}$

Déterminer la limite de la suite combinant des polynômes du second degré dans la base :

$c_n = \left( \frac{n^2+2n}{n^2-1} \right)^{5n}$

Calculer la limite de la suite exponentielle formée de polynômes du second degré aussi bien dans la base que dans l'exposant :

$a_n = \left( \frac{2n^2-3n+1}{2n^2+n-5} \right)^{\frac{n^2+3}{n}}$

On place $5000$ euros dans un établissement financier à un taux d'intérêt annuel de $4\%$. La formule du capital final après $n$ années avec capitalisation continue est donnée par la suite $C_n = 5000 \cdot e^{0,04n}$. Calculer le capital accumulé après $10$ années et le comparer au capital obtenu si la capitalisation était annuelle, dont l'expression est $C'_n = 5000 \cdot (1,04)^n$.

Une personne en France décide de placer $12\,000\text{ \euro}$ de ses économies sur un dépôt bancaire à terme de $1$ an. L'établissement bancaire propose un taux d'intérêt nominal annuel de $4\%$ ($r = 0{,}04$) et permet de choisir la fréquence à laquelle les intérêts sont versés et réinvestis. Si les intérêts sont versés $n$ fois par an, le capital final accumulé est donné par la suite $C_n = 12\,000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}04}{n}\right)^n$.\n\na) Modéliser le capital final si l'établissement versait les intérêts de manière instantanée et continue ($n \to \infty$). Exprimer cette valeur exacte en fonction du nombre $e$ et calculer son montant arrondi au centime d'euro (sachant que $e^{0{,}04} \approx 1{,}0408108$).\nb) Calculer le bénéfice net en euros que génère le dépôt avec un versement annuel unique ($n = 1$) et le comparer au bénéfice obtenu par capitalisation continue.\nc) Une brochure commerciale affirme : « Si l'on divise l'année en périodes de plus en plus courtes (secondes, millisecondes…), vos intérêts généreront de nouveaux intérêts de façon continue, de sorte que vos gains croîtront sans plafond ». En utilisant la notion de limite et les propriétés du nombre $e$, réfuter formellement ce slogan publicitaire et déterminer quel est le gain supplémentaire maximal que la capitalisation continue offre par rapport à la capitalisation annuelle.

On investit $10000$ euros à un taux d'intérêt nominal annuel de $5\%$. La suite qui décrit le capital final si les intérêts sont capitalisés $n$ fois par an est $C_n = 10000 \left( 1 + \frac{0,05}{n} \right)^n$. Calculer la limite de cette suite lorsque $n \to \infty$ pour déterminer le capital final en capitalisation continue. Comparer ce résultat avec le capital obtenu si la capitalisation est trimestrielle ($n=4$).

Indiquer quelle est la limite de la suite géométrique suivante :

$d_n = 5 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^n$

La quantité d'un isotope radioactif dans un échantillon diminue de façon exponentielle selon la suite $M_n = 200 \cdot e^{-0,1n}$, où $n$ est le nombre d'années écoulées et $M_n$ est mesuré en grammes. Combien de grammes restera-t-il dans l'échantillon après $20$ années ? Vers quelle valeur tend la masse à long terme (lorsque $n \to \infty$) ?

Un véhicule perd $15\%$ de sa valeur chaque année à cause de la dépréciation. Si son prix initial chez le concessionnaire est de $24000$ euros, la valeur après $n$ années est donnée par la suite $V_n = 24000 \cdot (0,85)^n$. Quelle sera sa valeur après $5$ années ? Que se passe-t-il pour sa valeur lorsque le nombre d'années tend vers l'infini ?

Dans une expérience de thermodynamique, l'écart de température entre un corps métallique et son environnement diminue exponentiellement selon la suite $T_n = 80 \cdot e^{-0,05n}$, où $n$ est le nombre de minutes écoulées depuis le début du refroidissement. Calculer l'écart de température au bout de $30$ minutes et déterminer la limite de la suite lorsque $n \to \infty$.