Produit scalaire

Étant donné les points du plan $A(1 ; 2)$, $B(4 ; 3)$ et $C(0 ; 5)$, calculer la valeur du produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.

Sachant que les normes de deux vecteurs sont $|\vec{a}| = 4$ et $|\vec{b}| = 6$, et que l'angle qu'ils forment est de $60^\circ$, calculer la valeur exacte de leur produit scalaire $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Calculer l'angle formé par les vecteurs $\vec{u} = (1, \sqrt{3})$ et $\vec{v} = (-\sqrt{3}, 1)$.

On considère les vecteurs du plan $\vec{u} = (5 ; 2)$ et $\vec{v} = (-1 ; 4)$.

1. a) Estimer : Sans effectuer la multiplication numérique de leurs composantes, placer mentalement les deux vecteurs dans les quadrants correspondants du repère et justifier si leur produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$ sera positif, négatif ou nul, en prédisant si l'angle qu'ils forment est aigu, obtus ou droit.
2. b) Vérifier : Calculer maintenant la valeur numérique exacte de $\vec{u} \cdot \vec{v}$ et déterminer la mesure en degrés de l'angle $\alpha$ entre eux (arrondie au dixième). Justifier si le résultat obtenu par le calcul confirme votre prédiction initiale.

Calculer la ou les valeurs du paramètre $k$ pour que l'angle formé par les vecteurs $\vec{u} = (k\,;\,3)$ et $\vec{v} = (1\,;\,-2)$ soit exactement de $135^\circ$.

Étant donné les vecteurs $\vec{u} = (3, -2)$ et $\vec{v} = (4, 5)$, calculer leur produit scalaire et déterminer s'ils sont orthogonaux.

Déterminer la valeur du paramètre $m$ pour que les vecteurs $\vec{p} = (m, -3)$ et $\vec{q} = (6, 2)$ soient orthogonaux.

Déterminer les coordonnées d'un vecteur $\vec{w}$ orthogonal au vecteur $\vec{v} = (-5, 12)$ et de même norme.

Vérifier, en utilisant uniquement le produit scalaire, si le triangle de sommets $A(-2 ; 1)$, $B(4 ; 3)$ et $C(1 ; 12)$ est rectangle, acutangle ou obtusangle. Si c'est un triangle rectangle, identifier le sommet de l'angle droit.

Sur un chantier de construction, une grue tire un bloc de béton en appliquant une force constante représentée par le vecteur $\vec{F} = (450 ; 600)$ exprimée en newtons. Le bloc subit un déplacement rectiligne donné par le vecteur $\vec{d} = (12 ; 5)$ en mètres. Sachant que le travail mécanique est défini par $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$, calculer le travail effectué par la grue et l'angle formé par la force appliquée et le déplacement.

Dans le développement d'un moteur physique pour un jeu vidéo, un personnage se déplace dans la direction et le sens du vecteur $\vec{d} = (8 ; 4)$. La gravité dans cet environnement virtuel est définie par le vecteur $\vec{g} = (0; -9,8)$. Calculer la projection orthogonale du vecteur gravité sur la direction du déplacement du personnage.

En utilisant les propriétés du produit scalaire, développer et calculer la valeur de l'expression $(\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v})$ sachant que $|\vec{u}| = 5$ et $|\vec{v}| = 3$.

Sachant que les normes de deux vecteurs sont $|\vec{a}| = 3$ et $|\vec{b}| = 5$, et que leur produit scalaire est $\vec{a} \cdot \vec{b} = -2$, calculer la valeur exacte de l'expression $(2\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 3\vec{b})$.

Démontrer, en utilisant uniquement les propriétés algébriques du produit scalaire, que les diagonales de tout losange sont perpendiculaires.

Remarque : Vous pouvez modéliser les côtés du losange par deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de même origine et de même norme ($|\vec{u}| = |\vec{v}|$). Exprimer les diagonales en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$.