Loi de probabilité et fonction de répartition

Déterminer en justifiant si le tableau suivant peut représenter la loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète $X$. Pour cela, vérifier que les propriétés fondamentales des probabilités sont satisfaites :

$x_i$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P(X = x_i)$	$0,25$	$0,40$	$0,15$	$0,20$

Une plateforme de streaming analyse le nombre de séries qu'un utilisateur regarde par semaine. On définit la variable aléatoire discrète $X$ comme le « nombre de séries terminées ». Sa loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X = x_i)$	$0,1$	$k$	$0,3$	$0,2$

Déterminer la valeur de la constante $k$ pour que la loi soit bien définie et calculer la probabilité qu'un utilisateur regarde au moins 2 séries par semaine, c'est-à-dire $P(X \ge 2)$.

Dans une application de langues, les utilisateurs peuvent gagner entre $0$ et $3$ badges par jour selon leur assiduité. On sait que la probabilité de gagner $x$ badges est proportionnelle à la valeur de $x+1$ pour les valeurs possibles de la variable.

1. a) Écrire le tableau de la loi de probabilité en déterminant la constante de proportionnalité nécessaire.
2. b) Quel est le nombre moyen de badges gagnés par un utilisateur par jour ?
3. c) Calculer la variance de la loi.

Étant donnée la loi de probabilité suivante d'une variable aléatoire discrète $X$, calculer les probabilités demandées ci-dessous :

$x_i$	$10$	$20$	$30$	$40$	$50$
$p_i$	$0,15$	$0,25$	$0,35$	$0,15$	$0,10$

1. a) $P(X < 30)$
2. b) $P(X \le 30)$
3. c) $P(20 < X \le 40)$

On lance deux pièces équilibrées. On définit la variable aléatoire $X$ comme le « nombre de faces obtenues ».

1. a) Écrire l'univers de l'expérience.
2. b) Dresser le tableau de la loi de probabilité de $X$.
3. c) Représenter graphiquement la loi par un diagramme en barres.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

On lance un dé à six faces truqué, de telle sorte que la probabilité d'obtenir un nombre pair est le double de celle d'obtenir un nombre impair. Tous les nombres pairs ont la même probabilité entre eux, et de même pour les impairs :

1. a) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ = « résultat obtenu en lançant le dé ».
2. b) Calculer la probabilité d'obtenir une valeur inférieure ou égale à $3$.
3. c) Calculer la moyenne, ou espérance, de cette loi.

Dans une urne se trouvent 5 boules numérotées : trois portent le numéro $1$ et deux portent le numéro $2$. On tire une boule au hasard et on note sa valeur.

1. a) Définir la variable aléatoire $X$ et l'ensemble de ses valeurs possibles.
2. b) Construire le tableau de la loi de probabilité.
3. c) Quelle est la probabilité que le numéro obtenu soit supérieur à $1$ ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

On dispose d'une urne contenant $3$ boules blanches et $2$ boules rouges, comme le montre la figure. On tire successivement et sans remise deux boules. Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de boules blanches tirées.

1. a) Décrire l'univers de l'expérience et les valeurs que peut prendre $X$.

1. b) Déterminer la loi de probabilité de $X$.

1. c) Déterminer la probabilité qu'au moins une des boules tirées soit rouge.

Dans une urne se trouvent $10$ boules numérotées de $1$ à $10$. On tire simultanément deux boules (sans remise). Soit $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque tirage la valeur absolue de la différence des numéros obtenus.

1. Indiquer l'univers de l'expérience et les valeurs que peut prendre la variable $X$.

2. Quelle est la probabilité que la différence soit maximale ?

3. Sans construire le tableau complet, déterminer en justifiant s'il est plus probable que $X=1$ ou que $X=9$. Calculer les deux probabilités.

Une compagnie de télécommunications étudie le nombre $X$ de réclamations formelles déposées par un client au cours d'une année. La fonction de répartition de $X$ est donnée par :

$$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\ 0,55 & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ 0,75 & \text{si } 1 \leq x < 2 \\ 0,90 & \text{si } 2 \leq x < 3 \\ 1 & \text{si } x \geq 3 \end{cases}$$

Marc, un analyste stagiaire, doit calculer deux probabilités et présente par écrit les réponses suivantes :

1) « La probabilité qu'un client dépose exactement $2$ réclamations est $P(X = 2) = F(2) = 0,90$ ».

2) « La probabilité qu'un client dépose au moins une réclamation est $P(X \geq 1) = 1 - F(1) = 1 - 0,75 = 0,25$ ».

Identifier, en le justifiant, les deux erreurs conceptuelles commises par Marc, expliquer ce que représentent réellement les valeurs qu'il a obtenues et déterminer les valeurs correctes de $P(X = 2)$ et $P(X \geq 1)$ en appliquant les propriétés de la fonction de répartition.

Soit $X$ une variable aléatoire discrète dont la fonction de répartition $F(x)$ est donnée ci-dessous :

$$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 1 \\ 0,2 & \text{si } 1 \le x < 2 \\ 0,5 & \text{si } 2 \le x < 3 \\ 0,9 & \text{si } 3 \le x < 4 \\ 1 & \text{si } x \ge 4 \end{cases}$$

1. a) À partir de $F(x)$, déterminer la loi de probabilité $P(X=x_i)$ pour chaque valeur de la variable.
2. b) Calculer la probabilité $P(2 \le X < 4)$.
3. c) Représenter graphiquement la loi de probabilité par un diagramme en barres.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Le nombre de micro-coupures de connexion subies par un serveur bancaire en heure de pointe est une variable aléatoire discrète $X \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ dont la fonction de répartition est donnée par :

$$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\ 0,10 & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ 0,30 & \text{si } 1 \leq x < 2 \\ 0,65 & \text{si } 2 \leq x < 3 \\ 0,85 & \text{si } 3 \leq x < 4 \\ 0,95 & \text{si } 4 \leq x < 5 \\ 1 & \text{si } x \geq 5 \end{cases}$$

On souhaite calculer la probabilité d'enregistrer plus d'une micro-coupure mais moins de quatre, c'est-à-dire $P(1 < X < 4)$, et la probabilité d'enregistrer au moins deux micro-coupures, $P(X \geq 2)$. Deux stratégies sont envisagées :

• Méthode 1 (reconstruction point par point) : déterminer d'abord la loi de probabilité complète en calculant chaque saut $P(X = x_i) = F(x_i) - F(x_{i-1})$, puis repérer les valeurs du support qui vérifient la condition et additionner leurs probabilités individuelles.

• Méthode 2 (opérations directes sur les valeurs cumulées) : exprimer directement les probabilités demandées comme des différences de valeurs de $F(x)$, en transformant correctement les bornes selon que les inégalités sont strictes ou larges.

1. a) Appliquer en détail les deux méthodes pour calculer $P(1 < X < 4)$ et $P(X \geq 2)$, en vérifiant qu'elles conduisent exactement au même résultat numérique.
2. b) Comparer de façon critique les deux méthodes : analyser laquelle est la plus efficace si la variable prenait des valeurs entières de $0$ à $100$ et expliquer quelle erreur de raisonnement systématique on commettrait en appliquant directement la formule $P(1 < X < 4) = F(4) - F(1)$ propre aux variables continues.

Une variable aléatoire discrète $X$ prend exclusivement les valeurs entières $\{1, 2, 3, 4\}$. Les probabilités individuelles associées à chaque valeur sont inconnues, mais on dispose des informations suivantes sur son comportement cumulé :

• La probabilité que la variable prenne la valeur minimale est $P(X = 1) = 0,20$.

• La valeur de la fonction de répartition en $x = 3$ est exactement $F(3) = 0,80$.

• Le saut de la fonction de répartition $F(x)$ au point $x = 2$ est exactement la moitié du saut au point $x = 3$.

1. a) Déduire en justifiant la loi de probabilité complète de la variable $X$, en indiquant la valeur de $P(X = x_i)$ pour chaque $x_i \in \{1, 2, 3, 4\}$.
2. b) Écrire la fonction de répartition $F(x)$ comme une fonction définie par morceaux sur toute la droite réelle $\mathbb{R}$.
3. c) À partir de la fonction de répartition obtenue, calculer en justifiant $P(1 < X \leq 3)$, $P(X > 2)$ et $P(X \leq 2,5)$.

La fonction de répartition $F(x)$ d'une variable aléatoire discrète $X$ est représentée par un graphique en escalier avec les paliers suivants : $F(x) = 0$ pour $x < 0$, $F(x) = 0{,}2$ pour $0 \le x < 1$, $F(x) = 0{,}5$ pour $1 \le x < 2$, $F(x) = 0{,}8$ pour $2 \le x < 3$ et $F(x) = 1$ pour $x \ge 3$.

À partir du graphique, construire le tableau de la loi de probabilité $P(X=x_i)$ et calculer la variance $V[X]$. Expliquer en justifiant la signification de $P(0{,}5 < X \le 2)$.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Une entreprise de transport urbain durable à Paris suit le nombre quotidien $X$ de camionnettes électriques nécessitant une recharge imprévue en cours de tournée ($X \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$). Le service logistique propose le modèle suivant pour la fonction de répartition de $X$, dépendant de deux paramètres inconnus $\alpha$ et $\beta$ :

$$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\ 0,40 & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ \alpha & \text{si } 1 \leq x < 2 \\ \alpha + \beta & \text{si } 2 \leq x < 3 \\ 0,90 & \text{si } 3 \leq x < 4 \\ 1 & \text{si } x \geq 4 \end{cases}$$

Les relevés historiques fournissent deux conditions opérationnelles :

1) L'événement « nécessiter au plus une recharge imprévue » est $50\,\%$ plus probable que l'événement « ne nécessiter aucune recharge imprévue ».

2) La probabilité d'avoir exactement deux recharges imprévues est le double de celle d'en avoir exactement trois.

1. a) Modéliser les deux conditions en posant les équations correspondantes à partir des sauts de $F(x)$ et déterminer en justifiant les valeurs numériques de $\alpha$ et $\beta$.
2. b) Justifier formellement que la fonction obtenue vérifie toutes les conditions nécessaires pour être une fonction de répartition légitime d'une variable discrète (vérifier la valeur de chaque probabilité ponctuelle $p_i$, leur somme totale et la monotonie de $F$).
3. c) Chaque recharge imprévue entraîne un coût d'exploitation de $80$ € si le total quotidien ne dépasse pas deux recharges. Si plus de deux recharges ont lieu, la saturation du service oblige à faire appel à une assistance externe d'urgence au tarif forfaitaire de $400$ € pour toute la journée. S'il n'y a aucune recharge, le coût est de $0$ €. Calculer en justifiant la probabilité que le coût d'exploitation quotidien dépasse $100$ €.

Une entreprise de messagerie analyse le nombre de colis qui arrivent endommagés dans chaque camionnette de livraison. Après une longue période d'observation, elle a défini la loi de probabilité suivante pour la variable $X$ = « nombre de colis endommagés par trajet » :

$P(X=x) = \frac{x+1}{15}$ pour $x \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$

1. a) Vérifier qu'il s'agit bien d'une loi de probabilité.
2. b) Calculer la probabilité qu'au cours d'un trajet, au plus $2$ colis arrivent endommagés.
3. c) Déterminer la moyenne et l'écart type de la loi.

Un restaurant analyse le nombre de réservations de groupes de plus de 10 personnes qu'il reçoit le samedi soir. La variable $X$ suit la loi de probabilité :

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X=x_i)$	$0,4$	$0,3$	$0,2$	$0,1$

1. a) Si le restaurant réalise un gain de $50$ euros pour chaque groupe qui vient, mais supporte des coûts fixes de préparation de $30$ euros quel que soit le nombre de groupes, définir une nouvelle variable $Y$ représentant le bénéfice net du samedi.
2. b) Calculer l'espérance de $Y$.
3. c) Calculer l'écart type de $X$.

Une association de jeunes organise une tombola pour financer un voyage de fin d'année. Les tickets sont vendus $2$ euros. Le lot est une carte cadeau Amazon d'une valeur de $50$ euros. On a émis $200$ tickets. Soit $X$ la variable aléatoire donnant le gain net d'un élève qui achète un seul ticket (en tenant compte de son prix).

1. a) Déterminer l'ensemble des valeurs possibles de $X$.
2. b) Déterminer la loi de probabilité de $X$.
3. c) Calculer l'espérance $E[X]$ et interpréter le résultat obtenu. Le jeu est-il équitable pour l'acheteur ?

Soit $X$ une variable aléatoire discrète dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels inconnus :

$x_i$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P(X=x_i)$	$0,1$	$a$	$b$	$0,2$

Sachant que l'espérance de la loi est $E[X] = 2,85$, déterminer les valeurs de $a$ et $b$. Calculer ensuite l'écart type $\sigma$ de la variable et indiquer quel pourcentage de la probabilité totale se trouve dans l'intervalle $[E[X] - \sigma, E[X] + \sigma]$.