Réduction au premier quadrant et identité fondamentale

Sur la figure, les angles de $30º$ et $150º$ sont représentés sur le cercle trigonométrique.

En observant la symétrie de la figure, exprimer $\sin 150º$ et $\cos 150º$ en fonction de $\sin 30º$ et $\cos 30º$, en indiquant le signe correct de chacune.

Exprimer chacune de ces lignes trigonométriques en fonction de celle d'un angle du premier cadran, en veillant au signe :

• $\sin 210º$

• $\cos 225º$

• $\tan 240º$

Exprimer chacune de ces lignes trigonométriques en fonction de celle d'un angle du premier cadran, en veillant au signe :

• $\sin 330º$

• $\cos 315º$

• $\tan 300º$

Marc résout un exercice dans lequel il sait que $\sin \alpha = 0,6$ et que l'angle $\alpha$ appartient au deuxième cadran ($90º < \alpha < 180º$). Dans son cahier, il a écrit :

« D'après l'identité fondamentale, $\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - 0,6^2} = \sqrt{0,64} = 0,8$. Donc, en appliquant la formule des angles supplémentaires, $\cos(180º - \alpha) = -0,8$ ».

1. a) Repérer les deux erreurs conceptuelles commises par Marc et expliquer, à l'aide de la signification des coordonnées sur le cercle trigonométrique, pourquoi elles sont fausses.
2. b) Corriger la démarche et calculer les valeurs correctes de $\cos \alpha$ et de $\cos(180º - \alpha)$.

Sachant que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ et que $\alpha$ appartient au deuxième quadrant, calculer la valeur exacte de $\cos \alpha$ et de $\tan \alpha$.

Sachant que $\tan \alpha = 2$ et que $\alpha$ appartient au troisième quadrant, calculer la valeur exacte de $\sin \alpha$ et de $\cos \alpha$. (Indication : utiliser que $\sin \alpha = 2\cdot\cos \alpha$ et substituer dans la relation fondamentale.)

Une élève a écrit cette résolution :

« Si $\cos \alpha = -0,8$ et $\alpha$ est dans le deuxième quadrant, alors :

$\sin \alpha = \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,36} = -0,6$ »

Trouver l'erreur commise, expliquer pourquoi c'est une erreur et calculer correctement $\sin \alpha$ et $\tan \alpha$.

La figure représente le cercle trigonométrique et la droite horizontale $\sin x = \frac{1}{2}$, qui le coupe en deux points.

Déterminer tous les angles $x$ de $[0^\circ ; 360^\circ[$ qui vérifient $\sin x = \frac{1}{2}$, en raisonnant à partir de la figure.

Déterminer tous les angles $x$ de $[0° ; 360°[$ qui vérifient $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, en indiquant à quels quadrants ils appartiennent.

La figure représente les angles de $60º$ et $120º$, qui sont supplémentaires.

Sachant que $\sin 60º = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$ et $\cos 60º = \frac{1}{2}$, calculer $\sin 120º$ et $\cos 120º$ en raisonnant à partir de la symétrie de la figure.

L'ordinateur de bord d'un drone enregistre un angle d'orientation $\theta \in [0º ; 360º[$ qui ne peut pas être lu directement à cause d'une panne d'écran, mais la mémoire conserve deux données fiables :

1. $\sin(180º - \theta) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. $\cos(-\theta) < 0$.

1. a) Déduire en justifiant à quel quadrant appartient l'angle $\theta$.
2. b) Déterminer la valeur exacte de $\theta$ en degrés dans $[0º ; 360º[$.
3. c) Écrire une équation trigonométrique simple de la forme $\cos x = k$ dont les seules solutions dans l'intervalle $[0º ; 360º[$ sont l'angle $\theta$ que vous avez trouvé et son angle opposé (symétrique par rapport à l'axe horizontal).

À l'aide de la calculatrice, donner la valeur de ces lignes trigonométriques avec quatre décimales et vérifier la relation indiquée :

• Calculer $\sin 140º$ et $\sin 40º$. Quelle relation y a-t-il entre ces deux valeurs ?

• Calculer $\cos 140º$ et $\cos 40º$. Quelle relation y a-t-il entre ces deux valeurs ?

• Expliquer, avec le cercle trigonométrique, pourquoi on observe ce résultat.

• Déterminer tous les angles $x$ de $[0º ; 360º[$ qui vérifient $\tan x = 1$.

• Raisonner, avec le cercle trigonométrique, pour déterminer combien de solutions aurait la même équation dans l'intervalle $[0º ; 720º[$ et les écrire toutes.

Déterminer tous les angles $x$ de $[0º\ ;\ 360º[$ qui vérifient $\sin^2 x = \frac{1}{4}$, en justifiant le nombre de solutions et les quadrants auxquels elles appartiennent.

L'extrémité de la pale d'une éolienne décrit un cercle de rayon $1\ \text{m}$ (en unités relatives) autour de l'axe du rotor. Si l'on note $\theta$ l'angle que forme la pale avec l'horizontale, mesuré dans le sens direct, la hauteur de l'extrémité par rapport au centre est $\sin \theta$ et son déplacement horizontal est $\cos \theta$.

• Compléter un tableau avec la hauteur et le déplacement horizontal de l'extrémité pour $\theta = 0º,\ 90º,\ 180º$ et $270º$.

• La pale tourne $40$ fois par minute. Au bout d'un certain temps, l'extrémité se trouve à une hauteur de $0,5\ \text{m}$ au-dessus du centre. Quelles valeurs de $\theta$ comprises entre $0º$ et $360º$ correspondent à cette hauteur ?

• Et pour une hauteur de $-0,5\ \text{m}$ ?

Sachant que $\cos \alpha = -\frac{1}{3}$ et que $\alpha$ appartient au troisième quadrant, calculer la valeur exacte de $\sin \alpha$ et de $\tan \alpha$.

Pour calculer la valeur exacte de $\sin(180º + \alpha)$ et de $\cos(360º - \alpha)$ sachant que $\tan \alpha = -2$ et que $\alpha$ est dans le deuxième quadrant, deux camarades proposent des stratégies différentes :

• Camille propose d'utiliser l'identité $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ pour obtenir $\cos \alpha$, d'en déduire ensuite $\sin \alpha$ avec $\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha$ et, enfin, de ramener les angles demandés au premier quadrant.

• Serge propose de poser un système de deux équations à deux inconnues : $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = -2$ et $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, d'exprimer $\sin \alpha = -2\cos \alpha$, de substituer dans la relation fondamentale et de conclure avec les réductions.

1. a) Analyser les deux méthodes : sont-elles toutes les deux correctes ? Laquelle est la plus directe et présente le moins de risque d'erreur dans le choix des signes ?
2. b) Appliquer la méthode que vous jugez la plus efficace pour donner la valeur exacte simplifiée (avec des radicaux) de $\sin(180º + \alpha)$ et de $\cos(360º - \alpha)$.

Sachant que $\tan \alpha = -\frac{3}{4}$ et que $\alpha$ appartient au quatrième quadrant :

• Calculer la valeur exacte de $\sin \alpha$ et de $\cos \alpha$.

• Calculer $\sin(180º - \alpha)$.

• Calculer $\cos(180º + \alpha)$.

Démontrer que, pour tout angle $\alpha$, on a :

(Indication : ramener d'abord chaque rapport trigonométrique au premier quadrant.)

Dans un parc éolien de la Beauce, une pale d'éolienne de $40\text{ m}$ de longueur tourne dans le sens direct autour de son axe central (moyeu). En prenant l'axe horizontal passant par le moyeu comme référence ($0º$ vers la droite), la hauteur de l'extrémité de la pale par rapport au moyeu est $h(\alpha) = 40 \cdot \sin \alpha$ (en mètres) et sa position horizontale est $d(\alpha) = 40 \cdot \cos \alpha$ (en mètres).

Lors d'une inspection technique, la pale s'arrête dans une position $\alpha$ telle que son écart horizontal est $d = -24\text{ m}$ et que l'extrémité de la pale se trouve au-dessous du moyeu ($h < 0$).

1. a) Déduire dans quel quadrant se trouve la pale et calculer la valeur exacte de $\cos \alpha$.
2. b) En utilisant la relation fondamentale de la trigonométrie, calculer la hauteur exacte $h$ à laquelle se trouve l'extrémité de la pale par rapport au moyeu, en justifiant rigoureusement le signe de la racine.
3. c) Les capteurs de maintenance ne traitent que des angles aigus $\beta \in [0º ; 90º]$. Exprimer $\alpha$ sous la forme $\alpha = 180º + \beta$ et déterminer la valeur exacte de $\sin \beta$, $\cos \beta$ et $\tan \beta$. Que représente géométriquement $\beta$ par rapport à la position de la pale ?

Deux angles $\alpha$ et $\beta$ de l'intervalle $[0º ; 360º[$ appartiennent à des quadrants différents et vérifient simultanément le système de conditions suivant :

1. $\sin(180º - \alpha) + \sin(180º + \beta) = 0$.

2. $\cos(360º - \alpha) - \cos(180º - \beta) = 0$.

1. a) Appliquer les formules de réduction au premier quadrant dans les deux égalités pour obtenir une relation directe entre les rapports trigonométriques de $\alpha$ et ceux de $\beta$.
2. b) À partir du résultat précédent, déduire la relation géométrique exacte entre les angles $\alpha$ et $\beta$ (sont-ils supplémentaires, opposés ou diffèrent-ils de $180º$ ?). Justifier votre conclusion en analysant les signes sur le cercle trigonométrique.
3. c) Sachant de plus que $\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$ et que $\alpha$ est dans le deuxième quadrant, déterminer à l'aide de la relation fondamentale la valeur exacte de $\cos \beta$ et de $\tan \beta$, en justifiant le signe à chaque étape sans utiliser la calculatrice.

Considérer l'angle $\beta = 200º$.

1. a) Avant de calculer, estimer qualitativement : dans quel quadrant se situe $\beta$ ? Quels doivent être les signes de $\sin 200º$ et de $\cos 200º$ ? En comparant $200º$ et $180º$, laquelle des deux grandeurs (sinus ou cosinus) a, selon vous, la plus grande valeur absolue ?
2. b) Sachant que $200º = 180º + 20º$ et en prenant comme valeurs approchées $\sin 20º \approx 0,3420$ et $\cos 20º \approx 0,9397$, calculer, à l'aide des formules de réduction au premier quadrant, les valeurs approchées de $\sin 200º$, $\cos 200º$ et $\tan 200º$.
3. c) Vérifier si les résultats obtenus confirment votre estimation de la question a) et expliquer pourquoi la tangente est positive alors que le sinus et le cosinus sont tous deux négatifs.