Interprétation physique de la dérivée

La position d'un objet en chute libre est donnée par la fonction $s(t) = 100 - 4,9t^2$, où $s$ est mesurée en mètres et $t$ en secondes. Déterminer la fonction qui décrit sa vitesse $v(t)$ et son accélération $a(t)$.

Un train se déplace sur une voie rectiligne selon l'équation du mouvement $e(t) = 2t^3 - 5t^2 + 8t$, avec $e$ en mètres et $t$ en secondes. Calculer la vitesse du train à l'instant $t = 2$ s.

Une trottinette électrique se déplace en ligne droite de sorte que sa position en mètres par rapport au point de départ est donnée par $s(t) = t^2 + 2t$, où le temps $t$ est mesuré en secondes. Pour calculer la vitesse de la trottinette exactement $3\text{ secondes}$ après le départ, Marc effectue le calcul suivant dans son cahier :

« Comme $s(3) = 3^2 + 2\cdot 3 = 15\text{ m}$, je divise la position par le temps : $v(3) = \frac{15}{3} = 5\text{ m/s}$ ».

1. a) Expliquer pourquoi la démarche de Marc est incorrecte et quel concept physique il a en réalité calculé avec cette opération.
2. b) Utiliser la dérivée pour déterminer la vitesse instantanée réelle en $t = 3\text{ s}$, calculer l'accélération de la trottinette à ce même instant et indiquer si le véhicule avance ou recule.

La position d'une particule en fonction du temps est $x(t) = t^4 - 3t^2 + 5$. Déterminer l'accélération de la particule à l'instant $t = 1$.

Une voiture d'essai a une vitesse donnée par la fonction $v(t) = 3t^2 - 12t + 4$ en m/s. Calculer son accélération à l'instant $t = 3$ s.

Un projectile est lancé verticalement depuis une plateforme. Sa hauteur en mètres est donnée par $h(t) = at^2 + bt + c$. On sait que la plateforme est à $15$ m du sol, que la vitesse initiale de lancement est de $20$ m/s vers le haut, et que l'accélération due à la gravité est constante et égale à $-9,8$ m/s$^2$. En utilisant la relation entre position, vitesse et accélération au moyen des dérivées, déterminer les valeurs de $a$, $b$ et $c$. Calculer ensuite la hauteur maximale atteinte.

Une montgolfière s'élève de sorte que son altitude en mètres est donnée par $h(t) = 15t - t^2$. À quel instant $t$ sa vitesse s'annule-t-elle ?

On lance une fusée jouet verticalement vers le haut. Sa hauteur en mètres après $t$ secondes est $h(t) = 30t - 4,9t^2$. Déterminer le temps qu'elle met à atteindre sa hauteur maximale et calculer la valeur exacte de cette hauteur.

Un véhicule freine brusquement et la distance parcourue en mètres depuis que l'on appuie sur les freins est $d(t) = 24t - 3t^2$. Combien de temps le véhicule met-il à s'arrêter complètement ? Quelle distance totale a-t-il parcourue pendant le freinage ?

La position d'une particule est donnée par $s(t) = \frac{t^3}{3} - 3t^2 + 8t$. Déterminer les intervalles de temps pendant lesquels la particule avance vers la droite ($v(t) > 0$) et ceux où elle recule vers la gauche ($v(t) < 0$).

Un robot d'exploration se déplace le long d'un rail rectiligne. Sa position en mètres pendant les $5$ premières secondes est donnée par $x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 2$. Calculer la distance totale réellement parcourue par le robot sur l'intervalle $t \in [0, 5]$. Attention : la distance totale n'est pas simplement $x(5) - x(0)$ ; il faut analyser les changements de sens du mouvement à l'aide de la vitesse.

Le volume d'eau dans un réservoir varie selon la fonction $V(t) = 50 + 4t - t^3$, où $V$ est en litres et $t$ en minutes. Déterminer le taux de variation instantané du volume à l'instant $t = 1$ et indiquer si le réservoir est en train de se remplir ou de se vider à ce moment.

La charge électrique traversant une section d'un câble en fonction du temps est $q(t) = 2t^2 + 3t$ coulombs. Sachant que l'intensité du courant est la dérivée de la charge par rapport au temps, calculer l'intensité à $t = 4$ s.

Le coût de production de $x$ unités d'un composant électronique est $C(x) = 1500 + 10x - 0,05x^2$ euros. Le coût marginal est défini comme la dérivée du coût par rapport au nombre d'unités. Calculer le coût marginal pour $x = 50$ unités et expliquer ce que représente cette valeur dans le contexte de l'usine.

Une coopérative oléicole de Provence modélise le coût total quotidien (en euros) de conditionnement de $x$ bidons d'huile d'olive vierge extra de 5 litres par la fonction $C(x) = 800 + 15x - 0,01x^2$, pour une production quotidienne allant jusqu'à $500$ bidons. Pour estimer l'impact économique de la production du 201ᵉ bidon, le service financier envisage deux méthodes :

• Méthode A : calculer le coût réel supplémentaire $\Delta C = C(201) - C(200)$.

• Méthode B : approcher ce coût par le coût marginal instantané en dérivant la fonction, c'est-à-dire en calculant $C'(200)$.

1. a) Appliquer en détail les deux méthodes et déterminer la valeur numérique obtenue avec chacune, ainsi que l'écart exact entre elles.
2. b) À partir de la définition de la dérivée comme limite du taux d'accroissement avec $\Delta x = 1$, justifier formellement pourquoi la méthode B est une approximation acceptable de la méthode A.
3. c) Si la coopérative modernisait ses installations et que la fonction de coût devenait non polynomiale, $C(x) = 800 + 12x + \sqrt{x^3 + 100}$, laquelle des deux méthodes serait la plus pratique pour calculer rapidement l'impact d'unités supplémentaires successives ? Justifier en comparant la charge de calcul à la main et l'interprétabilité du résultat.

La hauteur d'un projectile en mètres est $y(t) = 40t - 5t^2$. Calculer la vitesse moyenne sur l'intervalle $[1 ; 3]$ et la comparer à la vitesse instantanée en $t = 2$.

La température d'un four industriel pendant un processus de refroidissement est donnée par $T(t) = 200 - 10t + 0,5t^2$ en degrés Celsius, avec $t$ en minutes. Calculer la vitesse de refroidissement (taux de variation instantané de la température) à $t = 5$ min et à $t = 15$ min. Interpréter la signification physique des signes obtenus.

Avant le début de l'été, on procède à la vidange contrôlée d'une piscine municipale. Le volume d'eau restant dans la piscine (en mètres cubes) après $t$ heures d'écoulement est décrit par la fonction $V(t) = 200 - 20t + 0,5t^2$, valable sur l'intervalle $0 \le t \le 10\text{ heures}$.

1. a) Avant de dériver, estimer en justifiant si le débit de sortie de l'eau sera plus grand au début de la vidange ($t = 1\text{ h}$) ou lorsque la piscine sera presque vide ($t = 9\text{ h}$), en vous appuyant sur la pression exercée par la colonne d'eau.
2. b) Calculer le taux de variation moyen du volume entre $t = 0$ et $t = 2\text{ heures}$, et l'utiliser comme estimation préalable de la vitesse instantanée de vidange.
3. c) Déterminer la fonction débit de sortie à l'aide de la dérivée instantanée du volume, calculer sa valeur exacte en $t = 1\text{ h}$ et en $t = 9\text{ h}$, et vérifier si les résultats confirment votre estimation initiale.