Ensembles, implications et raisonnements
Dans une classe de première à Lyon, certains élèves font de l'espagnol, d'autres de l'allemand, d'autres les deux. Combien en font au moins une ? Et si le professeur affirme « si tu es en spécialité maths, alors tu as 4 h de cours par semaine », peut-on en déduire la phrase dans l'autre sens ? Pour répondre sans se tromper, il faut un vocabulaire précis. C'est l'objet de cette page.
Ensembles et opérations
Un ensemble est une collection d'objets appelés éléments. On le note entre accolades, éléments séparés par des points-virgules : $A = \{1\,;\,2\,;\,3\}$.
Une équation a une inconnue (par exemple $x$ dans $2x+1=5$), qu'on cherche à déterminer ; une identité est une égalité vraie pour toutes les valeurs des variables (par exemple $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$) ; un paramètre est une lettre qui reste fixe pendant le calcul (par exemple $m$ dans $x+m=3$).
On utilise $\in$ entre un élément et un ensemble, $\subset$ entre deux ensembles. Ainsi $2 \in \{1\,;2\,;3\}$ et $\{2\} \subset \{1\,;2\,;3\}$.
Les intervalles de réels sont des ensembles : $[1\,;4]$ est l'ensemble des réels $x$ tels que $1 \leqslant x \leqslant 4$, et $]-\infty\,;2]$ celui des réels $x \leqslant 2$. Le crochet est tourné vers l'intérieur de l'intervalle si la borne est incluse, vers l'extérieur sinon. Ainsi $3 \in [1\,;4]$ et $4 \notin [1\,;4[$.
Le nombre d'éléments d'un ensemble fini $A$ se note $\text{Card}(A)$. Quand deux ensembles se chevauchent, on a :
Pourquoi retrancher ? Parce que les éléments de $A \cap B$ sont comptés deux fois quand on additionne $\text{Card}(A)$ et $\text{Card}(B)$.
Couples et produit cartésien
Un couple $(x\,;\,y)$ est une liste ordonnée de deux éléments : $(1\,;\,2) \neq (2\,;\,1)$. Le produit cartésien $E \times F$ est l'ensemble de tous les couples $(x\,;\,y)$ avec $x \in E$ et $y \in F$. Si $E$ et $F$ sont finis, $\text{Card}(E \times F) = \text{Card}(E) \times \text{Card}(F)$ : pour chaque choix dans $E$, on a autant de couples que d'éléments dans $F$.
Par exemple, un menu avec 3 entrées et 2 desserts offre $3 \times 2 = 6$ couples (entrée ; dessert).
Soit $A = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\}$ et $B = \{2\,;\,4\,;\,6\,;\,8\,;\,10\}$. a) Déterminer $A \cap B$ et $A \cup B$. b) Indiquer si l'affirmation «…
Soit $A = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\}$ et $B = \{2\,;\,4\,;\,6\,;\,8\,;\,10\}$.
- a) Déterminer $A \cap B$ et $A \cup B$.
- b) Indiquer si l'affirmation « $\{2\,;\,4\} \subset A$ » est vraie et si « $8 \in A$ » est vraie.
Soit $E = \{a\,;\,b\,;\,c\}$ et $F = \{0\,;\,1\}$. a) Écrire tous les éléments du produit cartésien $E \times F$. b) Donner le nombre d'éléments de $E \times F$.
Soit $E = \{a\,;\,b\,;\,c\}$ et $F = \{0\,;\,1\}$.
- a) Écrire tous les éléments du produit cartésien $E \times F$.
- b) Donner le nombre d'éléments de $E \times F$.
Dans une classe de 30 élèves de première de Lyon, 18 élèves étudient l'espagnol (ensemble $E$), 14 étudient l'allemand (ensemble $A$) et 5 n'étudient aucune de ces deux…
Dans une classe de 30 élèves de première de Lyon, 18 élèves étudient l'espagnol (ensemble $E$), 14 étudient l'allemand (ensemble $A$) et 5 n'étudient aucune de ces deux langues.
- a) Calculer le nombre d'élèves de $E \cap A$.
- b) Calculer le nombre d'élèves qui étudient uniquement l'espagnol.
- c) Exprimer à l'aide des symboles $\cap$, $\cup$ et du complémentaire l'ensemble des élèves n'étudiant aucune des deux langues.
Connecteurs, implication et réciproque
En mathématiques, « et » exige que les deux propriétés soient vraies ; « ou » est inclusif : « $P$ ou $Q$ » est vrai si $P$ est vraie, si $Q$ est vraie, ou si les deux le sont (contrairement au « fromage ou dessert » du menu).
Une implication « $P \Rightarrow Q$ » (« si $P$ alors $Q$ ») n'est fausse que dans un cas : $P$ vraie et $Q$ fausse.
Pourquoi ? Si « tout élève de spécialité maths a 4 h de maths » est vrai, alors quelqu'un qui n'a pas 4 h de maths n'est sûrement pas en spécialité : c'est la contraposée. En revanche, avoir 4 h de maths n'impose rien dans l'autre sens (on peut en avoir 4 h dans une autre filière).
Pour montrer qu'une affirmation est fausse, un seul contre-exemple suffit. Pour la réciproque de « si $n$ est multiple de 4, alors $n$ est pair », on prend $n = 6$ : pair, mais pas multiple de 4. La réciproque est fausse.
On dit que $P \Leftrightarrow Q$ (« $P$ équivaut à $Q$ ») quand $P \Rightarrow Q$ et $Q \Rightarrow P$ sont vraies.
Condition nécessaire, condition suffisante
Si $P \Rightarrow Q$ est vraie :
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$P$ est une condition suffisante pour $Q$ (il suffit d'avoir $P$ pour avoir $Q$) ;
-
$Q$ est une condition nécessaire pour $P$ (sans $Q$, pas de $P$).
Si $P \Leftrightarrow Q$, on dit « condition nécessaire et suffisante ».
On considère l'implication : « Si un entier $n$ est un multiple de $6$, alors $n$ est pair. » a) Énoncer sa réciproque. b) Énoncer sa contraposée. c) La réciproque…
On considère l'implication : « Si un entier $n$ est un multiple de $6$, alors $n$ est pair. »
- a) Énoncer sa réciproque.
- b) Énoncer sa contraposée.
- c) La réciproque est-elle vraie ? Justifier par un contre-exemple si elle est fausse.
Pour chaque proposition, indiquer si « $P \Rightarrow Q$ », « $Q \Rightarrow P$ » ou les deux sont vraies, puis conclure en indiquant si $P$ est une condition…
Pour chaque proposition, indiquer si « $P \Rightarrow Q$ », « $Q \Rightarrow P$ » ou les deux sont vraies, puis conclure en indiquant si $P$ est une condition nécessaire, suffisante ou nécessaire et suffisante pour $Q$ (pour $x$ réel).
- a) $P$ : « $x = 3$ » ; $Q$ : « $x^2 = 9$ ».
- b) $P$ : « $x^2 - 5x + 6 = 0$ » ; $Q$ : « $x = 2$ ou $x = 3$ ».
- c) $P$ : « $x > 2$ » ; $Q$ : « $x > 0$ ».
Raisonner : cas, contraposée, absurde
Disjonction des cas
Pour prouver une propriété pour tous les entiers, on peut les séparer en cas qui couvrent toutes les possibilités, et démontrer la propriété dans chaque cas.
Raisonnement par contraposée
Pour démontrer $P \Rightarrow Q$, on peut démontrer sa contraposée $\text{non}\,Q \Rightarrow \text{non}\,P$, souvent plus facile à manier.
Raisonnement par l'absurde
On suppose le contraire de ce qu'on veut démontrer, et on aboutit à une contradiction (quelque chose d'impossible). Donc l'hypothèse de départ était fausse, et la propriété est vraie.
Montrer par disjonction des cas que, pour tout entier naturel $n$, le nombre $n(n+1)$ est pair.
Montrer par disjonction des cas que, pour tout entier naturel $n$, le nombre $n(n+1)$ est pair.
Montrer par l'absurde que $\sqrt{2}$ est irrationnel.
Montrer par l'absurde que $\sqrt{2}$ est irrationnel.
a) Énoncer la contraposée de la proposition : « Si $n^2$ est impair, alors $n$ est impair », pour $n$ entier. b) Démontrer la proposition initiale en démontrant sa…
- a) Énoncer la contraposée de la proposition : « Si $n^2$ est impair, alors $n$ est impair », pour $n$ entier.
- b) Démontrer la proposition initiale en démontrant sa contraposée.
- c) En déduire que si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair, puis que la réciproque de la proposition initiale est aussi vraie.
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant (preuve ou contre-exemple). a) Pour tous réels $a$ et $b$, $(a+b)^2 = a^2 + b^2$. b) Il existe un…
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant (preuve ou contre-exemple).
- a) Pour tous réels $a$ et $b$, $(a+b)^2 = a^2 + b^2$.
- b) Il existe un réel $x$ tel que $(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$.
- c) Pour tout réel $x$, $\sqrt{x^2} = x$.
- d) Pour tous réels positifs $a$ et $b$, si $a + b = 0$ alors $a = b = 0$.
Pour revenir au début : si $E$ et $A$ désignent les élèves d'espagnol et d'allemand, le nombre d'élèves faisant au moins une langue est $\text{Card}(E \cup A)$ ; et « spécialité maths $\Rightarrow$ 4 h de maths » n'a aucune raison d'avoir une réciproque vraie.
L'essentiel
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$\in$ relie un élément à un ensemble, $\subset$ deux ensembles ; $A \cap B$ (et), $A \cup B$ (ou inclusif), $\overline{A}$ (complémentaire).
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$\text{Card}(A \cup B) = \text{Card}(A) + \text{Card}(B) - \text{Card}(A \cap B)$ ; $\text{Card}(E \times F) = \text{Card}(E) \times \text{Card}(F)$.
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Une implication équivaut à sa contraposée, pas à sa réciproque. Un contre-exemple suffit à réfuter une affirmation générale.
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Si $P \Rightarrow Q$ : $P$ est suffisante pour $Q$, $Q$ est nécessaire pour $P$.
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Trois raisonnements : disjonction des cas, contraposée, absurde.