Représentation graphique de fonctions

Déterminer les points d'intersection de la courbe de $f(x) = x^3 - 4x$ avec les axes du repère.

Étudier et représenter la fonction bicarrée $f(x) = x^4 - 2x^2$ : symétrie, points d'intersection avec les axes, intervalles de monotonie, extremums locaux et tracé de la courbe.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Vérifier que la fonction $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 4}$ admet une asymptote horizontale et déterminer son équation en étudiant la limite quand $x \to \pm \infty$.

Marc doit déterminer les asymptotes verticales de la fonction rationnelle $f(x) = \frac{x^2 - x - 2}{x^2 - 4}$. Son raisonnement lors du contrôle a été le suivant : « J'égale le dénominateur à zéro : $x^2 - 4 = 0 \implies x = 2$ et $x = -2$. Donc la fonction a deux asymptotes verticales : les droites $x = 2$ et $x = -2$ ».

1. a) Expliquer l'erreur conceptuelle commise par Marc et pourquoi l'annulation du dénominateur est une condition nécessaire mais non suffisante pour l'existence d'une asymptote verticale.
2. b) Calculer les limites pertinentes ($\lim_{x \to 2} f(x)$ et $\lim_{x \to -2} f(x)$) pour déterminer rigoureusement laquelle des deux valeurs correspond réellement à une asymptote verticale et ce qui se passe sur la courbe à l'autre point.
3. c) Rédiger la conclusion correcte en donnant l'équation de l'unique asymptote verticale et les coordonnées du « trou » (discontinuité removable) que présente la courbe.

Un élève affirme que la courbe de la fonction $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ est la parabole qui apparaît sur la figure. Expliquer l'erreur qu'il a commise, simplifier l'expression de $f$ et décrire ce qu'est réellement sa courbe, en indiquant ce qui se passe en $x = 2$.

La figure montre la courbe complète d'une fonction rationnelle, avec ses asymptotes tracées en pointillés. Par lecture graphique, indiquer : l'ensemble de définition, les points d'intersection avec les axes, les équations des asymptotes et les intervalles de croissance et de décroissance.

Étudier et représenter la fonction $f(x) = x \cdot (x - 2)^2$ : points d'intersection avec les axes (observer la racine double et ce qu'elle implique pour la courbe en $x = 2$), intervalles de monotonie, extremums locaux et tracé.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Étudier et représenter la fonction définie par morceaux

en analysant : l'ensemble de définition, la continuité au point de raccordement, le sens de variation sur chaque morceau, les extremums locaux et le tracé de la courbe complète.

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Observer la courbe suivante d'une fonction polynôme. Identifier les intervalles sur lesquels la fonction est convexe (en forme de $\cup$) et concave (en forme de $\cap$). Indiquer aussi les coordonnées approchées de son point d'inflexion.

Soit la fonction polynôme $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$. On sait d'après sa courbe que son point d'inflexion a exactement pour coordonnée $x$, qui est le milieu entre ses deux extremums locaux (un maximum local en $x=1$ et un minimum local en $x=3$).

Calculer les coordonnées exactes du point d'inflexion et déterminer les intervalles de concavité ($\cap$) et de convexité ($\cup$) de la fonction.

Un ingénieur conçoit le profil d'une montagne russe. Le premier tronçon de descente suit l'équation $y = -x^2 + 4$ pour $x \le 1$. Pour adoucir la transition vers la montée, il décide de raccorder en $x = 1$ un second tronçon en forme de parabole $y = a(x - 2)^2 + b$ pour $x > 1$.

Pour que le raccordement soit lisse, la fonction totale doit être continue et dérivable en $x = 1$ (sans saut ni pointe). De plus, la courbure doit changer en ce point : le premier tronçon est concave et le second doit être convexe, de sorte que $x = 1$ soit un point d'inflexion.

1. a) Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ en imposant la continuité et la dérivabilité en $x = 1$.

1. b) Vérifier qu'avec ces valeurs le changement de courbure a bien lieu en $x = 1$, en étudiant le signe de la dérivée seconde de chaque tronçon.

Une propriété géométrique fondamentale des fonctions convexes ($\cup$) est que le segment reliant deux points quelconques de leur courbe est toujours situé au-dessus de la courbe.

Vérifier par le calcul cette propriété pour la fonction $f(x) = x^2$. Pour cela, déterminer l'équation de la sécante passant par les points de la courbe d'abscisses $x = -1$ et $x = 3$. Calculer ensuite la valeur de la droite en $x = 1$ et vérifier qu'elle est strictement supérieure à $f(1)$.

Vérifier que la fonction $f(x) = x^3 - x$ est impaire et expliquer quel avantage présente cette symétrie pour la représenter graphiquement.

Étudier et représenter graphiquement la fonction $f(x) = x^3 - 3x^2$ en suivant ces étapes :

1. a) Points d'intersection avec les axes.

1. b) Dérivée, points critiques et intervalles de monotonie.

1. c) Maximums et minimums locaux.

1. d) Tracer la courbe en rassemblant toutes les informations précédentes.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Étudier et représenter la fonction rationnelle $f(x) = \frac{x - 1}{x + 2}$ : ensemble de définition, points d'intersection, asymptotes verticales et horizontales avec leurs limites, monotonie à l'aide de la dérivée et tracé de la courbe.

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Étudier et représenter la fonction $f(x) = \frac{x^2}{x - 1}$ : ensemble de définition, points d'intersection, asymptote verticale, asymptote oblique (effectuer la division), intervalles de monotonie et extremums locaux, et tracé de la courbe.

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Étudier et représenter la fonction $f(x) = x \cdot e^{-x}$ : ensemble de définition, points d'intersection, asymptote horizontale quand $x \to +\infty$, comportement quand $x \to -\infty$, intervalles de monotonie, extremum local et tracé de la courbe.

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Étudier et représenter la fonction $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ : ensemble de définition, point d'intersection avec l'axe des abscisses, limites aux bornes de l'ensemble de définition (en particulier l'asymptote verticale et l'horizontale), intervalles de monotonie, extremum local et tracé de la courbe.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Après la prise à jeun d'un médicament, sa concentration dans le sang, en $\text{mg/l}$, est modélisée par $C(t) = \frac{4t}{t^2 + 1}$, où $t \geq 0$ est le nombre d'heures écoulées.

1. a) Étudier le sens de variation de $C(t)$ et déterminer à quel moment la concentration est maximale et quelle est sa valeur.

1. b) Calculer l'asymptote horizontale et l'interpréter dans le contexte.

1. c) Déterminer pendant quel intervalle de temps la concentration dépasse $1\ \text{mg/l}$.

1. d) Esquisser la courbe complète du modèle.

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