Suites arithmétiques

Écrire le terme général et calculer le vingtième terme de la suite arithmétique suivante : $7, 11, 15, 19, \dots$

Soit la suite définie par le terme général $b_n = 5 - 3n$. Démontrer qu'il s'agit d'une suite arithmétique et déterminer la valeur de sa raison.

Le huitième terme d'une suite arithmétique est $32$ et sa raison est $d = 4$. Déterminer le premier terme $a_1$ et l'expression de son terme général $a_n$.

Déterminer si le nombre $102$ appartient à la suite arithmétique de terme général $c_n = 4n - 6$. Si oui, indiquer quel rang il occupe dans la suite.

Les trois premiers termes d'une suite arithmétique sont $x$, $x+4$ et $2x-1$. Calculer la valeur numérique de $x$ et écrire ces trois premiers termes.

Dans une suite arithmétique, on sait que le quatrième terme est $15$ et que le dixième terme est $39$. Poser un système d'équations pour calculer la raison $d$ et le premier terme $a_1$. Déterminer ensuite la somme des $20$ premiers termes de cette suite.

Insérer cinq moyennes arithmétiques entre les nombres $-8$ et $22$. Écrire la suite arithmétique complète obtenue en indiquant sa raison.

Dans une suite arithmétique, on sait que le terme de rang cinq vaut $a_5 = 19$ et que le terme de rang dix-huit vaut $a_{18} = 71$. Pour déterminer la raison $d$ et le premier terme $a_1$, deux élèves proposent des chemins différents :

• Pauline pose un système de deux équations linéaires à deux inconnues à partir de la formule classique :

• Serge propose de relier directement les deux termes en comptant le nombre de sauts qui les séparent :

1. a) Résoudre le problème avec les deux méthodes et vérifier que l'on obtient les mêmes valeurs pour $d$ et $a_1$.
2. b) Justifier quelle méthode est la plus efficace dans ce cas (moins d'étapes de calcul et moindre risque d'erreur algébrique).
3. c) En utilisant la méthode que vous jugez la plus avantageuse, déterminer rigoureusement si le nombre $250$ peut être un terme de cette suite ou s'il est impossible qu'il en fasse partie.

Calculer la somme des $30$ premiers termes d'une suite arithmétique sachant que le premier terme est $a_1 = 4$ et que le trentième terme est $a_{30} = 91$.

Calculer la somme des $50$ premiers multiples positifs de $6$ (c'est-à-dire la somme de la suite $6, 12, 18, \dots$).

Une entreprise de construction met en place un plan de primes mensuelles pour motiver ses employés. Le premier mois, un employé reçoit $50$ €, le deuxième mois $65$ €, le troisième mois $80$ €, et ainsi de suite. Quelle somme totale l'employé aura-t-il reçue en primes au bout de $2$ années complètes de travail ?

Dans une suite arithmétique, le premier terme est $a_1 = 3$ et la raison est $d = 2$. Si la somme des $n$ premiers termes est $S_n = 360$, poser l'équation du second degré correspondante et déterminer le nombre de termes $n$ qui ont été additionnés.

Alexandre prépare une course populaire de $10\text{ km}$ dans sa commune. Sa entraîneuse lui a prescrit un plan de $20$ jours consécutifs de course : le premier jour il parcourra $2\text{ km}$ et, chaque jour suivant, il augmentera la distance d'exactement $300\text{ m}$ ($0,3\text{ km}$) par rapport au jour précédent.

1. a) Avant d'appliquer une formule, faire une estimation argumentée du volume total : s'il courait tous les jours à la distance du premier jour, il cumulerait $40\text{ km}$, et s'il courait tous les jours la distance du dernier jour, il cumulerait nettement plus. Estimer mentalement entre quelles deux valeurs rondes (multiples de $10$) se situera la somme totale et dire s'il est vraisemblable qu'elle dépasse $100\text{ km}$.
2. b) Modéliser la distance quotidienne par une suite arithmétique, déterminer la distance parcourue le jour $20$ et calculer avec la formule de la somme le total exact de kilomètres parcourus pendant les $20$ jours.
3. c) Vérifier si l'estimation initiale était juste et réfléchir à la question de savoir si l'augmentation quotidienne proposée est adaptée pour éviter les blessures.

Un théâtre a ses fauteuils disposés en éventail. La première rangée compte $20$ fauteuils, la deuxième $24$, la troisième $28$, et ainsi de suite en progression arithmétique. Si le théâtre compte au total $15$ rangées, combien y a-t-il de fauteuils dans la dernière rangée ? Quelle est la capacité d'accueil totale (nombre total de fauteuils) du théâtre ?

Pour reboiser une forêt après un incendie, une brigade forestière plante des arbres de façon progressive. La première semaine, elle parvient à planter $120$ arbres, mais en raison de la fatigue accumulée et de la moindre disponibilité de terrain accessible, chaque semaine elle plante $5$ arbres de moins que la semaine précédente. Combien de semaines s'écouleront jusqu'à ce que la brigade ait planté exactement $1470$ arbres au total ? (Remarque : analyser mathématiquement les solutions possibles et justifier laquelle a un sens dans le contexte du problème.)

Les angles intérieurs d'un hexagone convexe sont en progression arithmétique. Sachant que le plus grand angle mesure $140^\circ$, calculer la mesure des cinq autres angles intérieurs de l'hexagone. (Rappel : la somme des angles intérieurs d'un polygone à $n$ côtés est $180^\circ \cdot (n-2)$.)

Dans une suite arithmétique de raison $d = 3$, le premier terme est $a_1 = -10$. Calculer la somme des termes compris entre le rang $20$ et le rang $40$, ces deux rangs étant inclus.

Déterminer les valeurs du paramètre $k$ pour que les expressions littérales $k^2 - 2$, $3k + 1$ et $k^2 + 4k$ soient trois termes consécutifs d'une suite arithmétique. Pour chaque valeur de $k$ trouvée, écrire les trois termes correspondants.

La somme des $n$ premiers termes d'une suite est donnée par l'expression $S_n = 2n^2 + 5n$. Déterminer l'expression du terme général $a_n$ et démontrer rigoureusement que cette suite est une suite arithmétique.