Suites géométriques
Un forfait de données perd la moitié de sa vitesse à chaque palier, une balle rebondit de moins en moins haut, un livret d'épargne rapporte des intérêts composés. Dans tous ces cas, on passe d'un terme au suivant en multipliant par un même nombre. Achille rattrapera-t-il la tortue alors qu'il doit parcourir une infinité de distances ? Tu pourras répondre à la fin de la page.
Définition et terme général
Pour le montrer, on calcule le rapport de deux termes consécutifs : s'il est toujours le même (avec $u_n \neq 0$), la suite est géométrique.
Pourquoi ? Pour passer de $u_0$ à $u_n$, on multiplie $n$ fois par $q$. Plus précisément, on démontre par récurrence : $u_0 = u_0q^0$ ; si $u_n = u_0q^n$, alors $u_{n+1} = q\,u_n = u_0q^{n+1}$.
Écrire les cinq premiers termes et déterminer l'expression du terme général d'une suite géométrique sachant que son premier terme est $a_1 = 3$ et sa raison est $r = 2$.
Écrire les cinq premiers termes et déterminer l'expression du terme général d'une suite géométrique sachant que son premier terme est $a_1 = 3$ et sa raison est $r = 2$.
Soit la suite définie par le terme général $a_n = 5 \cdot (-2)^{n-1}$. Calculer la valeur des termes $a_3$ et $a_6$.
Soit la suite définie par le terme général $a_n = 5 \cdot (-2)^{n-1}$. Calculer la valeur des termes $a_3$ et $a_6$.
Déterminer si la suite suivante est une suite géométrique. Si oui, déterminer sa raison et son terme général :…
Déterminer si la suite suivante est une suite géométrique. Si oui, déterminer sa raison et son terme général : $\frac{1}{2}, \frac{1}{6}, \frac{1}{18}, \frac{1}{54}, \dots$
Lucie essaie de calculer le cinquième terme ($a_5$) d'une suite géométrique dont le premier terme est $a_1 = 8$ et dont la raison est $r = 0,5$. Dans son cahier, elle…
Lucie essaie de calculer le cinquième terme ($a_5$) d'une suite géométrique dont le premier terme est $a_1 = 8$ et dont la raison est $r = 0,5$. Dans son cahier, elle écrit le développement suivant :
$$a_5 = (8 \cdot 0,5)^{5-1} = 4^4 = 256$$- a) Sans faire de calculs analytiques, expliquer une raison conceptuelle pour laquelle le résultat $256$ est incohérent avec les données de départ ($a_1 = 8$ et $r = 0,5$).
- b) Repérer l'erreur commise par Lucie dans l'application des priorités opératoires ou de la formule générale $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$.
- c) Corriger la démarche et déterminer la valeur exacte de $a_5$ sous forme fractionnaire et décimale.
Dans une suite géométrique à termes positifs, on sait que $a_2 = 6$ et $a_4 = 54$. Calculer la valeur de la raison $r$ et du premier terme $a_1$.
Dans une suite géométrique à termes positifs, on sait que $a_2 = 6$ et $a_4 = 54$. Calculer la valeur de la raison $r$ et du premier terme $a_1$.
Déterminer la valeur du nombre réel $x$ pour que les termes $x-1$, $2x$ et $5x+4$ forment, dans cet ordre, une suite géométrique.
Déterminer la valeur du nombre réel $x$ pour que les termes $x-1$, $2x$ et $5x+4$ forment, dans cet ordre, une suite géométrique.
Montrer que le produit des $n$ premiers termes d'une suite géométrique de termes positifs est donné par la formule $P_n = \sqrt{(a_1 \cdot a_n)^n}$. Utiliser ce résultat…
Montrer que le produit des $n$ premiers termes d'une suite géométrique de termes positifs est donné par la formule $P_n = \sqrt{(a_1 \cdot a_n)^n}$. Utiliser ce résultat pour calculer le produit des $10$ premiers termes d'une suite géométrique dans laquelle $a_3 = 4$ et $a_8 = 128$.
Somme de termes consécutifs
Démonstration. Posons $S = 1 + q + \dots + q^n$. Alors $qS = q + q^2 + \dots + q^{n+1}$. En soustrayant : $S - qS = 1 - q^{n+1}$, donc $S(1-q) = 1-q^{n+1}$, d'où la formule puisque $q\neq1$.
Calculer la somme des $8$ premiers termes d'une suite géométrique dont le premier terme est $a_1 = 4$ et la raison est $r = 3$.
Calculer la somme des $8$ premiers termes d'une suite géométrique dont le premier terme est $a_1 = 4$ et la raison est $r = 3$.
Calculer le produit des six premiers termes d'une suite géométrique de premier terme $a_1 = 2$ et de raison $r = 2$.
Calculer le produit des six premiers termes d'une suite géométrique de premier terme $a_1 = 2$ et de raison $r = 2$.
Dans une suite géométrique, on sait que $a_2 = 12$ et $a_5 = 324$. Calculer la raison de la suite et la somme de ses six premiers termes.
Dans une suite géométrique, on sait que $a_2 = 12$ et $a_5 = 324$. Calculer la raison de la suite et la somme de ses six premiers termes.
Dans une suite géométrique de termes positifs, la somme des deux premiers termes est $15$ et la somme du troisième et du quatrième termes est $60$. Écrire le système…
Dans une suite géométrique de termes positifs, la somme des deux premiers termes est $15$ et la somme du troisième et du quatrième termes est $60$. Écrire le système d'équations permettant de déterminer le premier terme et la raison de la suite.
Selon la légende de l'inventeur du jeu d'échecs, le roi lui offrit un grain de blé sur la première case, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, et ainsi de suite…
Selon la légende de l'inventeur du jeu d'échecs, le roi lui offrit un grain de blé sur la première case, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, et ainsi de suite en doublant la quantité à chaque case jusqu'à la case numéro $64$. Exprimer le nombre total de grains de blé sur l'échiquier à l'aide de la formule de la somme d'une suite géométrique. Si un gramme de blé contient environ $20$ grains et qu'une tonne vaut $10^6$ grammes, estimer l'ordre de grandeur du nombre total de tonnes de blé.
Les angles d'un quadrilatère forment une suite géométrique de raison $2$. Calculer la mesure de chacun des quatre angles. Serait-il possible de construire un pentagone…
Les angles d'un quadrilatère forment une suite géométrique de raison $2$. Calculer la mesure de chacun des quatre angles. Serait-il possible de construire un pentagone convexe dont les angles forment une suite géométrique de raison $2$ ? Justifier la réponse.
Soit $a_n$ une suite géométrique de termes strictement positifs, de premier terme $a_1$ et de raison $r$. Montrer que la suite définie par $b_n = \log(a_n)$ est une…
Soit $a_n$ une suite géométrique de termes strictement positifs, de premier terme $a_1$ et de raison $r$. Montrer que la suite définie par $b_n = \log(a_n)$ est une suite arithmétique. Si $a_1 = 10$ et $r = 100$, calculer la somme des $20$ premiers termes de la suite $b_n$.
Évolution à taux fixe
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Hausse de $3{,}5\,\%$ : $q = 1{,}035$.
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Baisse de $12\,\%$ : $q = 1 - 0{,}12 = 0{,}88$.
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Quantité qui triple : $q=3$.
Un équipement industriel coûte $24\,000$ euros et se déprécie de $12\%$ chaque année par rapport à la valeur de l'année précédente. Écrire le terme général de la suite…
Un équipement industriel coûte $24\,000$ euros et se déprécie de $12\%$ chaque année par rapport à la valeur de l'année précédente. Écrire le terme général de la suite qui modélise sa valeur et calculer combien il vaudra au bout de $6$ ans.
On place $5000$ euros dans un établissement financier à un taux d'intérêts composés annuel de $3,5\%$. Écrire l'expression générale du capital acquis à la fin de l'année…
On place $5000$ euros dans un établissement financier à un taux d'intérêts composés annuel de $3,5\%$. Écrire l'expression générale du capital acquis à la fin de l'année $n$. Quelle somme y aura-t-il sur le compte au bout de $8$ ans si rien n'est retiré ?
Dans une culture de laboratoire, une population de bactéries triple toutes les $4$ heures. Si l'on introduit initialement $100$ bactéries dans la boîte, combien y…
Dans une culture de laboratoire, une population de bactéries triple toutes les $4$ heures. Si l'on introduit initialement $100$ bactéries dans la boîte, combien y aura-t-il de bactéries au bout de $24$ heures ? Exprimer le résultat à l'aide de puissances.
D'après les rapports de l'INSEE sur le défi démographique des territoires ruraux, une commune du département de la Creuse comptait $3\,125$ habitants au 1er janvier…
D'après les rapports de l'INSEE sur le défi démographique des territoires ruraux, une commune du département de la Creuse comptait $3\,125$ habitants au 1er janvier 2020. En raison du vieillissement de la population et du manque de renouvellement des générations, le nombre d'habitants diminue chaque année de $4\%$ de manière constante par rapport à l'année précédente.
- a) Modéliser la population de la commune au 1er janvier de chaque année suivante par une suite géométrique. Justifier la valeur du premier terme $a_1$ (année 2020) et en déduire la raison $r$.
- b) Écrire le terme général $a_n$ de la suite et calculer la population prévue au 1er janvier 2026.
- c) La réglementation considère qu'une commune est en « risque extrême de dépeuplement » si sa population passe sous les $2\,000$ habitants. Écrire une inéquation et la résoudre à l'aide des logarithmes pour déterminer à partir de quelle année cette commune sera dans cette situation si la tendance se maintient.
Lors d'un traitement hospitalier, on administre à un patient une dose fixe de $120\text{ mg}$ d'un médicament toutes les $12$ heures. L'organisme métabolise la substance…
Lors d'un traitement hospitalier, on administre à un patient une dose fixe de $120\text{ mg}$ d'un médicament toutes les $12$ heures. L'organisme métabolise la substance de telle sorte qu'au bout de $12$ heures après une prise (juste avant la suivante), il ne reste dans le sang que $25\%$ de la quantité de médicament présente immédiatement après cette prise.
- a) Modéliser la quantité d'antibiotique présente dans le sang immédiatement après la 1re, la 2e et la 3e prise. Déduire en justifiant l'expression de la quantité cumulée $C_n$ juste après la $n$-ième dose comme somme des termes d'une suite géométrique.
- b) Le seuil de toxicité du médicament est fixé à $170\text{ mg}$. Lors des traitements de longue durée (plus de trois mois), le personnel soignant craint que le médicament s'accumule de façon incontrôlée jusqu'à dépasser ce seuil. Montrer mathématiquement, à l'aide de la limite de la somme cumulée lorsque $n \to \infty$, pourquoi ce risque n'existe pas, et calculer la concentration maximale théorique que le patient ne dépassera jamais.
- c) Si, après avoir atteint pratiquement la stabilité, le patient oublie accidentellement une dose et reçoit la suivante $24$ heures après la précédente, calculer la quantité de médicament qui restera dans son sang juste avant la nouvelle prise et après l'avoir reçue.
Que devient $q^n$ quand $n$ grandit ?
Prenons $q = 0{,}5$ et calculons à la calculatrice : $0{,}5^{10} \approx 0{,}000\,98$ ; $0{,}5^{30} \approx 9 \times 10^{-10}$. Les valeurs se rapprochent de $0$. On conjecture que si $-1
Si $q>1$, $q^n$ devient aussi grand qu'on veut. Si $q = 1$, il vaut toujours $1$.
On peut le voir avec un algorithme de seuil en Python : on cherche le premier $n$ tel que $0{,}8^n < 0{,}01$.
n = 0
u = 1
while 100 * u >= 1:
u = 4 * u / 5
n = n + 1
print(n)
Déterminer la somme des termes (en nombre infini) d'une suite géométrique dont le premier terme est $a_1 = 10$ et dont la raison est $r = \frac{1}{5}$.
Déterminer la somme des termes (en nombre infini) d'une suite géométrique dont le premier terme est $a_1 = 10$ et dont la raison est $r = \frac{1}{5}$.
Exprimer le nombre décimal périodique $0,4444\dots$ comme la somme des termes (en nombre infini) d'une suite géométrique et en obtenir l'écriture fractionnaire.
Exprimer le nombre décimal périodique $0,4444\dots$ comme la somme des termes (en nombre infini) d'une suite géométrique et en obtenir l'écriture fractionnaire.
On considère la suite géométrique de premier terme $a_1 = 18$ et de raison $r = \frac{1}{3}$. a) Écrire ses quatre premiers termes. À partir de ceux-ci, faire une…
On considère la suite géométrique de premier terme $a_1 = 18$ et de raison $r = \frac{1}{3}$.
- a) Écrire ses quatre premiers termes. À partir de ceux-ci, faire une estimation argumentée : entre quels deux nombres entiers consécutifs pensez-vous que se situera la somme de ses termes en nombre infini ($S_\infty$) ? Expliquer votre intuition avant d'employer une quelconque formule.
- b) Appliquer la formule théorique de la somme infinie $S_\infty = \frac{a_1}{1-r}$ pour calculer sa valeur exacte et vérifier si l'estimation initiale était juste.
- c) Calculer la somme finie des quatre premiers termes ($S_4$) et déterminer quel pourcentage de la somme infinie totale ($S_\infty$) est déjà atteint en additionnant seulement ces quatre premiers termes.
La somme des termes d'une suite géométrique infinie est $18$ et son premier terme est $6$. Déterminer la raison de la suite et la valeur du quatrième terme.
La somme des termes d'une suite géométrique infinie est $18$ et son premier terme est $6$. Déterminer la raison de la suite et la valeur du quatrième terme.
On lâche une balle élastique d'une hauteur initiale de $5$ mètres. À chaque rebond, la balle remonte en atteignant $80\%$ de la hauteur du rebond précédent. Poser la…
On lâche une balle élastique d'une hauteur initiale de $5$ mètres. À chaque rebond, la balle remonte en atteignant $80\%$ de la hauteur du rebond précédent. Poser la suite des hauteurs atteintes et calculer la distance totale parcourue par la balle (en additionnant les descentes et les montées) jusqu'à son arrêt théorique.
On considère un carré de côté $10$ cm. En joignant les milieux de ses côtés, on forme un deuxième carré. En joignant les milieux des côtés de ce deuxième carré, on forme…
On considère un carré de côté $10$ cm. En joignant les milieux de ses côtés, on forme un deuxième carré. En joignant les milieux des côtés de ce deuxième carré, on forme un troisième carré, et ainsi de suite. Calculer la somme des aires des carrés, en nombre infini, formés par ce procédé.
Pour étalonner un capteur physique, on doit reconstituer une suite géométrique de termes réels strictement positifs. On ne connaît que deux données globales : la somme…
Pour étalonner un capteur physique, on doit reconstituer une suite géométrique de termes réels strictement positifs. On ne connaît que deux données globales : la somme de ses deux premiers termes est $a_1 + a_2 = 24$, et la somme de ses termes infinis converge vers $S_\infty = 32$.
- a) Écrire un système d'équations en fonction du premier terme $a_1$ et de la raison $r$ en utilisant les expressions de $a_2$ et de $S_\infty$.
- b) Résoudre le système et montrer qu'on obtient deux valeurs algébriques possibles pour la raison $r$. Justifier précisément pourquoi l'une d'elles doit être écartée au vu des conditions de l'énoncé.
- c) À partir de la solution valide, donner le terme général $a_n$ et calculer la valeur exacte de la somme des six premiers termes ($S_6$).
La courbe appelée « flocon de Koch » se construit à partir d'un triangle équilatéral de côté $L$. À chaque étape, le tiers central de chaque segment est remplacé par…
La courbe appelée « flocon de Koch » se construit à partir d'un triangle équilatéral de côté $L$. À chaque étape, le tiers central de chaque segment est remplacé par deux segments de même longueur formant une pointe vers l'extérieur. Soit $P_n$ le périmètre de la figure à l'étape $n$ (où $P_0 = 3L$). Montrer que $P_n$ est une suite géométrique, déterminer son terme général et calculer la limite du périmètre lorsque $n \to \infty$.
Achille et la tortue font une course. Achille court à $10$ m/s et la tortue à $1$ m/s. La tortue part avec une avance de $100$ mètres. Quand Achille a parcouru ces $100$…
Achille et la tortue font une course. Achille court à $10$ m/s et la tortue à $1$ m/s. La tortue part avec une avance de $100$ mètres. Quand Achille a parcouru ces $100$ mètres, la tortue a avancé de $10$ mètres. Quand Achille a parcouru ces $10$ mètres, la tortue avance de $1$ mètre, et ainsi de suite. Exprimer la distance totale parcourue par Achille comme la somme des termes, en nombre infini, d'une suite géométrique et montrer que le résultat est fini.
Dans un carré de côté $L = 20$ cm, on inscrit un cercle. Dans ce disque, on inscrit un nouveau carré, dans lequel on inscrit un autre cercle, et le procédé se répète…
Dans un carré de côté $L = 20$ cm, on inscrit un cercle. Dans ce disque, on inscrit un nouveau carré, dans lequel on inscrit un autre cercle, et le procédé se répète indéfiniment. Déterminer l'expression de l'aire du n-ième disque et calculer la somme des aires des disques, en nombre infini, ainsi formés.
Pour déterminer l'écriture fractionnaire irréductible du nombre décimal périodique $1{,}2\widehat{45} = 1{,}2454545\dots$, deux élèves de première défendent des méthodes…
Pour déterminer l'écriture fractionnaire irréductible du nombre décimal périodique $1{,}2\widehat{45} = 1{,}2454545\dots$, deux élèves de première défendent des méthodes différentes :
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Méthode 1 (élimination par les puissances de 10) : Multiplier le nombre $x = 1{,}2\widehat{45}$ par $1000$ et par $10$, soustraire membre à membre les deux égalités ($1000x - 10x$) pour éliminer la partie périodique infinie et isoler $x$.
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Méthode 2 (somme d'une série géométrique infinie) : Décomposer le nombre en sa partie non périodique plus une somme infinie :
Identifier la suite géométrique qui commence au terme $\frac{45}{10^3}$, déterminer sa somme $S_\infty$ à l'aide de sa formule et l'ajouter à la fraction décimale initiale.
- a) Développer entièrement les deux méthodes jusqu'à obtenir, dans les deux cas, la même fraction irréductible.
- b) Comparer avec esprit critique les deux procédés : lequel est le plus rapide pour un calcul courant, et pourquoi la Méthode 2 apporte-t-elle le véritable fondement mathématique rigoureux (théorie des limites et des séries convergentes) qui justifie la soustraction de développements décimaux infinis que la Méthode 1 effectue sans justification ?