Inéquations du second degré
Un jeu vidéo lance un projectile et tu veux savoir pendant combien de temps il passe au-dessus d'une certaine hauteur. Une inéquation du second degré ne s'isole pas comme une équation : elle s'étudie. On cherche les racines du trinôme, on découpe la droite réelle en intervalles et on détermine le signe sur chacun. Tout dépend du signe de $a$ (parabole tournée vers le haut ou vers le bas) et du nombre de racines réelles.
La méthode : racines et tableau de signes
Résoudre l'inéquation incomplète : $2x^2 - 8x \le 0$
Résoudre l'inéquation incomplète :
$2x^2 - 8x \le 0$
Résoudre l'inéquation du second degré suivante et exprimer la solution sous forme d'intervalle : $x^2 - 5x + 6 \ge 0$
Résoudre l'inéquation du second degré suivante et exprimer la solution sous forme d'intervalle :
$x^2 - 5x + 6 \ge 0$
Pour résoudre l'inéquation du second degré $x^2 \ge 6x$, Marc écrit dans sa copie le raisonnement suivant : « Je divise les deux membres par $x$ et j'obtiens $x \ge 6$.…
Pour résoudre l'inéquation du second degré $x^2 \ge 6x$, Marc écrit dans sa copie le raisonnement suivant :
« Je divise les deux membres par $x$ et j'obtiens $x \ge 6$. Donc l'ensemble des solutions est l'intervalle $[6 ; +\infty[$ ».
- a) Repérer et expliquer en détail l'erreur de raisonnement commise par Marc. Pourquoi n'est-il pas permis de diviser une inéquation par une inconnue sans connaître son signe ?
- b) Corriger l'exercice en résolvant l'inéquation par la méthode générale (tout passer dans le membre de gauche, déterminer les racines et étudier le signe sur les intervalles obtenus) et exprimer l'ensemble des solutions correct sous forme d'intervalle.
Quand il n'y a pas deux racines distinctes
Si $\Delta<0$, la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses : le trinôme est toujours du signe de $a$. Si $\Delta=0$, il y a une racine double $x_0$ et le trinôme est du signe de $a$ partout, sauf en $x_0$ où il s'annule.
Déterminer l'ensemble des solutions de l'inéquation : $x^2 + 6x + 9 \le 0$
Déterminer l'ensemble des solutions de l'inéquation :
$x^2 + 6x + 9 \le 0$
Indiquer l'ensemble des solutions de l'inéquation en justifiant la réponse : $x^2 - 2x + 5 > 0$
Indiquer l'ensemble des solutions de l'inéquation en justifiant la réponse :
$x^2 - 2x + 5 > 0$
Déterminer pour quelles valeurs de $x$ l'inégalité suivante est vérifiée : $4x^2 - 12x + 9 > 0$
Déterminer pour quelles valeurs de $x$ l'inégalité suivante est vérifiée :
$4x^2 - 12x + 9 > 0$
Construire une inéquation à partir de ses solutions
On peut aussi faire le chemin inverse : connaissant les racines $x_1$ et $x_2$ d'un trinôme et son coefficient dominant $a$, on écrit sa forme factorisée $a(x-x_1)(x-x_2)$, puis on la développe. On a alors $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$ et $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$. Le sommet est situé en $x=-\dfrac{b}{2a}$, au milieu des deux racines.
Construire une inéquation du second degré de la forme $ax^2 + bx + c < 0$ vérifiant simultanément les deux conditions suivantes : 1) Son ensemble de solutions est…
Construire une inéquation du second degré de la forme $ax^2 + bx + c < 0$ vérifiant simultanément les deux conditions suivantes :
1) Son ensemble de solutions est exactement l'intervalle ouvert $]-4 ; 1[$.
2) Le coefficient dominant est $a = 2$.
- a) Déterminer, en justifiant, les valeurs numériques des coefficients $b$ et $c$.
- b) Expliquer, à l'aide du signe de $a$ et de l'allure de la parabole associée, pourquoi le polynôme obtenu prend des valeurs strictement négatives uniquement entre les deux racines et non à l'extérieur.
On cherche à déterminer de façon unique les coefficients d'une inéquation du second degré de la forme $ax^2 + bx + c \le 0$ à partir des informations suivantes sur le…
On cherche à déterminer de façon unique les coefficients d'une inéquation du second degré de la forme $ax^2 + bx + c \le 0$ à partir des informations suivantes sur le polynôme $P(x) = ax^2 + bx + c$ :
1) L'ensemble des solutions de l'inéquation $P(x) \le 0$ est exactement l'intervalle fermé $[-1 ; 5]$.
2) Le sommet de la parabole associée à $P(x)$ atteint un minimum absolu égal à $-18$.
- a) Justifier le signe du coefficient dominant $a$ à partir de la géométrie de la parabole et du fait que la solution est un unique intervalle borné et non la réunion de deux demi-droites disjointes.
- b) Déterminer les valeurs numériques exactes de $a$, $b$ et $c$.
- c) Sans calcul algébrique supplémentaire ni nouveau tableau de signes, déduire en justifiant l'ensemble des solutions des trois inéquations suivantes :
-
$ax^2 + bx + c < -18$
-
$ax^2 + bx + c \ge -18$
-
$ax^2 + bx + c > 0$
Systèmes et problèmes
Pour un système d'inéquations, on résout chaque inéquation séparément, puis on prend l'intersection des ensembles de solutions : toutes les inéquations doivent être vérifiées en même temps. Dans un problème, l'inéquation vient souvent d'une fonction du second degré qui modélise une situation (hauteur d'un projectile, bénéfice d'une entreprise, aire d'un terrain).
Position relative de deux courbes
Pour comparer $f(x) Pour une inéquation bicarrée $ax^4+bx^2+c\leq 0$, on pose $X=x^2$ (avec $X\geq 0$), on résout en $X$, puis on revient à $x$. Pour $|u|\leq k$ (avec $k>0$), on écrit $-k\leq u\leq k$, c'est-à-dire un système de deux inéquations, puis on prend l'intersection. Par exemple $|x^2-1|\leq 3$ équivaut à $x^2-4\leq 0$ et $x^2+2\geq 0$ : $S=[-2 ; 2]$. Une racine carrée exige un radicande $\geq 0$ ; un dénominateur doit être $\neq 0$. Pour $\dfrac{1}{\sqrt{u}}$, il faut donc $u>0$. On résout ces conditions, puis on prend l'intersection. Résoudre le système d'inéquations du second degré à une inconnue suivant : $x^2 - 4 \le 0$ $x^2 - x \ge 0$ Déterminer l'ensemble de définition de la fonction réelle d'une variable réelle suivante : $f(x) = \sqrt{-2x^2 + 7x - 3}$ Résoudre l'inéquation bicarrée suivante à l'aide d'un changement de variable et exprimer la solution finale comme réunion d'intervalles : $x^4 - 13x^2 + 36 \le 0$ Résoudre l'inéquation avec valeur absolue en la transformant d'abord en un système d'inéquations du second degré : $|x^2 - 4x| \le 5$ Déterminer l'ensemble de définition de la fonction suivante, qui combine des contraintes sur des radicandes et des dénominateurs : $g(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 4}} + \sqrt{9 - x^2}$ La hauteur $h$, en mètres, d'un projectile lancé verticalement vers le haut en fonction du temps $t$, en secondes, est donnée par l'expression $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Écrire et résoudre l'inéquation correspondante pour déterminer pendant quel intervalle de temps le projectile se trouve à une hauteur strictement supérieure à $17$ mètres. Résoudre le système d'inéquations suivant et donner la solution finale sous forme d'intervalle : $x^2 - 3x - 10 < 0$ $2x + 5 \ge 1$ Le câble principal de suspension d'un pont a la forme d'une parabole. En prenant comme origine du repère le point le plus bas du câble, la hauteur $y$ (en mètres) du câble par rapport à la chaussée, à une distance horizontale $x$ (en mètres) du centre, est donnée par la fonction $y = 0,005x^2 + 2$. Pour des raisons de sécurité aérienne, des feux de balisage doivent être installés sur les portions du câble dont la hauteur par rapport à la chaussée est comprise entre $10 \text{ m}$ et $22 \text{ m}$. Écrire le système d'inéquations et calculer sur quels intervalles de distance horizontale depuis le centre ces feux seront installés.Changement de variable et valeur absolue
Ensemble de définition
Résoudre le système d'inéquations du second degré à une inconnue suivant : $x^2 - 4 \le 0$ $x^2 - x \ge 0$
Déterminer l'ensemble de définition de la fonction réelle d'une variable réelle suivante : $f(x) = \sqrt{-2x^2 + 7x - 3}$
Résoudre l'inéquation bicarrée suivante à l'aide d'un changement de variable et exprimer la solution finale comme réunion d'intervalles : $x^4 - 13x^2 + 36 \le 0$
Résoudre l'inéquation avec valeur absolue en la transformant d'abord en un système d'inéquations du second degré : $|x^2 - 4x| \le 5$
Déterminer l'ensemble de définition de la fonction suivante, qui combine des contraintes sur des radicandes et des dénominateurs :…
La hauteur $h$, en mètres, d'un projectile lancé verticalement vers le haut en fonction du temps $t$, en secondes, est donnée par l'expression $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$.…
Résoudre le système d'inéquations suivant et donner la solution finale sous forme d'intervalle : $x^2 - 3x - 10 < 0$ $2x + 5 \ge 1$
Le câble principal de suspension d'un pont a la forme d'une parabole. En prenant comme origine du repère le point le plus bas du câble, la hauteur $y$ (en mètres) du…
Avec un paramètre
Quand l'inéquation contient un paramètre $m$, on demande parfois pour quelles valeurs de $m$ elle est vérifiée pour tout réel $x$. C'est le cas quand la parabole ne coupe jamais l'axe des abscisses.
Déterminer pour quelles valeurs du paramètre $m$ l'inéquation du second degré $x^2 - mx + (m + 3) > 0$ est vérifiée pour tout nombre réel $x$.
Déterminer pour quelles valeurs du paramètre $m$ l'inéquation du second degré $x^2 - mx + (m + 3) > 0$ est vérifiée pour tout nombre réel $x$.
Retour au début : pour savoir quand le projectile dépasse une hauteur donnée, on pose l'inéquation $h(t)>$ seuil, on met tout dans un membre et on lit le signe du trinôme entre ses racines.