Problèmes d'optimisation

Décomposer le nombre $24$ en somme de deux nombres positifs de sorte que leur produit soit maximal. Poser la fonction à optimiser et résoudre à l'aide de la dérivée.

Quel nombre positif dépasse son carré de la plus grande quantité possible ? Exprimer cette quantité en fonction du nombre et la maximiser à l'aide de la dérivée.

Déterminer deux nombres positifs dont la somme est $18$ et dont la somme des carrés est minimale.

Parmi tous les rectangles de périmètre $36\ \text{m}$, déterminer les dimensions de celui qui a l'aire maximale et calculer cette aire.

Un jardinier veut clôturer un potager rectangulaire adossé au mur de sa maison, de sorte qu'il n'a besoin de clôturer que trois côtés. Il dispose de $60\ \text{m}$ de clôture.

1. a) Exprimer l'aire du potager en fonction du côté $x$ perpendiculaire au mur.

1. b) Déterminer les dimensions pour lesquelles l'aire est maximale et la valeur de cette aire.

On cherche le point de la parabole $y = x^2$ le plus proche du point $P(0 ; 3)$.

1. a) Exprimer le carré de la distance d'un point quelconque de la parabole à $P$ (minimiser le carré de la distance revient à minimiser la distance).

1. b) Déterminer les points de la parabole qui minimisent cette distance et calculer la distance minimale.

Avec un carton carré de $24\ \text{cm}$ de côté, on veut construire une boîte sans couvercle en découpant quatre carrés identiques de côté $x$ dans les coins et en pliant les côtés, comme indiqué sur la figure.

1. a) Exprimer le volume de la boîte $V(x)$ en fonction de $x$ et indiquer l'ensemble de définition de $x$.

1. b) Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle le volume est maximal.

1. c) Calculer le volume maximal et vérifier, avec le signe de $V'(x)$ de part et d'autre, qu'il s'agit bien d'un maximum.

Un éleveur dispose de $240\ \text{m}$ de clôture pour construire un enclos rectangulaire divisé en deux parcelles par une clôture intérieure parallèle à l'un des côtés, comme sur la figure.

1. a) Exprimer l'aire totale de l'enclos en fonction d'un de ses côtés.

1. b) Déterminer les dimensions pour lesquelles l'aire totale est maximale et calculer cette aire.

Un magasin de vêtements vend chaque semaine $80$ tee-shirts à $12\ \text{€}$ l'unité. Il estime que pour chaque euro de baisse du prix, il vendra $10$ tee-shirts de plus par semaine.

1. a) Exprimer la recette hebdomadaire $I(x)$ en fonction de la baisse de prix $x$ en euros.

1. b) Déterminer le prix qui maximise la recette et la recette hebdomadaire maximale.

Dans un tronc de section circulaire de diamètre $d$, on veut découper une poutre de section rectangulaire, comme le montre la figure. La résistance de la poutre à la flexion est proportionnelle au produit de sa base par le carré de sa hauteur : $R = k \cdot b \cdot h^2$.

1. a) Exprimer la résistance en fonction de la base $b$ en utilisant la relation qui lie $b$, $h$ et $d$.

1. b) Déterminer les dimensions de la poutre de résistance maximale.

Dire si l'affirmation suivante est vraie ou fausse en justifiant : « Le maximum d'une fonction continue sur un intervalle fermé est toujours atteint en un point où $f'(x) = 0$ ». Si elle est fausse, donner un contre-exemple avec une fonction simple sur un intervalle précis.