Cercle
La zone couverte par une antenne wifi, la portée d'un radar, l'onde d'un caillou jeté dans l'eau : toutes ces situations se décrivent par un cercle. Dans ce chapitre, tu donnes une équation à ce cercle, puis tu t'en sers pour résoudre des problèmes avec des droites et d'autres cercles. À la fin, tu sauras dire si une antenne située en un point donné « touche » une route.
Équation d'un cercle
Écrire l'équation du cercle qui décrit la zone de couverture d'une antenne wifi, sachant que l'antenne est située au point $(2 ; -3)$ d'un repère (mesuré en kilomètres)…
Écrire l'équation du cercle qui décrit la zone de couverture d'une antenne wifi, sachant que l'antenne est située au point $(2 ; -3)$ d'un repère (mesuré en kilomètres) et que sa portée maximale est de $5$ km.
Déterminer les coordonnées du centre et la longueur du rayon de la zone circulaire arrosée par un arroseur agricole dont la frontière est donnée par l'équation…
Déterminer les coordonnées du centre et la longueur du rayon de la zone circulaire arrosée par un arroseur agricole dont la frontière est donnée par l'équation $(x-4)^2+(y+1)^2=36$.
Déterminer l'équation du cercle qui représente le balayage du radar d'un bateau. On sait que le radar est positionné aux coordonnées $(-1 ; 4)$ et qu'à l'extrémité…
Déterminer l'équation du cercle qui représente le balayage du radar d'un bateau. On sait que le radar est positionné aux coordonnées $(-1 ; 4)$ et qu'à l'extrémité exacte de son écran il détecte une bouée située au point $(2 ; 0)$.
Équation développée et reconnaissance d'un cercle
Si on développe l'équation précédente, on obtient une forme sans parenthèses.
Pour faire le chemin inverse, on ne retient pas une formule : on utilise la complétion du carré avec $x^2+2ax=(x+a)^2-a^2$.
Déterminer le centre et le rayon du cercle qui décrit le bord extérieur d'un engrenage sur un plan de conception assistée par ordinateur, dont l'équation générale est…
Déterminer le centre et le rayon du cercle qui décrit le bord extérieur d'un engrenage sur un plan de conception assistée par ordinateur, dont l'équation générale est $x^2+y^2-6x+8y=0$.
Déterminer si l'équation $2x^2+2y^2+4x-8y+20=0$ représente mathématiquement un cercle valide dans le moteur physique d'un jeu vidéo. Justifier la réponse en calculant…
Déterminer si l'équation $2x^2+2y^2+4x-8y+20=0$ représente mathématiquement un cercle valide dans le moteur physique d'un jeu vidéo. Justifier la réponse en calculant son centre et la valeur du carré de son rayon.
On considère la famille de courbes d'équation $x^2 + y^2 - 4x + 6y + k = 0$, où $k$ est un nombre réel. a) Déterminer, en justifiant, la valeur que doit prendre le…
On considère la famille de courbes d'équation $x^2 + y^2 - 4x + 6y + k = 0$, où $k$ est un nombre réel.
- a) Déterminer, en justifiant, la valeur que doit prendre le paramètre $k$ pour que l'équation représente un cercle de rayon exactement égal à $5$ unités, et écrire son équation réduite.
- b) Justifier quelle figure ou quel objet géométrique représente cette équation si l'on prend $k = 13$, et ce qui se passe si l'on choisit une valeur quelconque $k > 13$.
Cercle de diamètre $[AB]$ et cercle défini par trois points
Un point $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$ si et seulement si $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$.
Pour un cercle passant par trois points, on écrit que le centre est équidistant des trois points (il est sur les médiatrices), ou on reporte les coordonnées dans $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ pour obtenir un système.
Écrire l'équation du cercle qui délimite un rond-point, sachant que les extrémités de l'un de ses diamètres (où se situent deux passages piétons opposés) correspondent…
Écrire l'équation du cercle qui délimite un rond-point, sachant que les extrémités de l'un de ses diamètres (où se situent deux passages piétons opposés) correspondent aux points $(1 ; 2)$ et $(7 ; -6)$.
Déterminer l'équation du cercle qui reconstitue le bord d'un ancien vase en céramique trouvé lors d'une fouille archéologique. Les restaurateurs ont mesuré trois points…
Déterminer l'équation du cercle qui reconstitue le bord d'un ancien vase en céramique trouvé lors d'une fouille archéologique. Les restaurateurs ont mesuré trois points intacts du bord, qui dans un repère correspondent à $(0 ; 0)$, $(4 ; 0)$ et $(0 ; 3)$.
Déterminer l'équation du cercle circonscrit au parc triangulaire délimité par les avenues d'équations $x=0$, $y=0$ et $3x+4y-12=0$.
Déterminer l'équation du cercle circonscrit au parc triangulaire délimité par les avenues d'équations $x=0$, $y=0$ et $3x+4y-12=0$.
Position d'un point par rapport à un cercle
Pour un cercle de centre $\Omega$ et de rayon $r$, on compare $\Omega M$ à $r$ (ou $\Omega M^2$ à $r^2$) :
-
$\Omega M
-
$\Omega M=r$ : $M$ est sur le cercle ;
-
$\Omega M>r$ : $M$ est à l'extérieur.
Un sismographe détecte que l'épicentre d'un séisme se situe à l'origine du repère et que l'onde sismique a atteint un rayon exact de $10$ km. Vérifier analytiquement si…
Un sismographe détecte que l'épicentre d'un séisme se situe à l'origine du repère et que l'onde sismique a atteint un rayon exact de $10$ km. Vérifier analytiquement si une station météorologique située au point $(6 ; -8)$ a ressenti le séisme ou si elle se trouve exactement à la limite de l'onde.
Écrire l'équation du cercle qui décrit le châssis d'un robot aspirateur de $15$ cm de rayon lorsqu'il est exactement coincé dans l'angle d'une pièce. On considère que…
Écrire l'équation du cercle qui décrit le châssis d'un robot aspirateur de $15$ cm de rayon lorsqu'il est exactement coincé dans l'angle d'une pièce. On considère que les murs coïncident avec les demi-axes positifs du repère (premier quadrant) et que le robot est tangent aux deux murs.
Droite et cercle, tangente
Une droite $d$ et un cercle peuvent avoir deux points communs (sécante), un seul (tangente) ou aucun (extérieure).
Méthode 1 (algébrique). On remplace $y$ (ou $x$) tiré de l'équation de la droite dans celle du cercle, puis on regarde le discriminant $\Delta$ : $\Delta>0$ sécante, $\Delta=0$ tangente, $\Delta<0$ extérieure.
Méthode 2 (géométrique). On calcule la distance $\Omega H$ du centre à la droite, où $H$ est le projeté orthogonal de $\Omega$ sur la droite, et on la compare à $r$.
Tangentes issues d'un point extérieur
Pour mener les tangentes au cercle depuis un point $P$ extérieur, on écrit une équation cartésienne de la droite passant par $P$ avec un paramètre, puis on impose que la distance du centre à cette droite soit égale au rayon (ou que $\Delta=0$ après substitution).
Étudier analytiquement la position relative entre l'orbite d'un satellite artificiel, modélisée par le cercle $x^2+y^2=4$, et la trajectoire rectiligne d'un astéroïde…
Étudier analytiquement la position relative entre l'orbite d'un satellite artificiel, modélisée par le cercle $x^2+y^2=4$, et la trajectoire rectiligne d'un astéroïde donnée par l'équation $y=x+2$. Déterminer les points d'intersection s'ils existent.
Calculer l'équation de la tangente à la trajectoire circulaire décrite par un lanceur de marteau au moment exact où il lâche le câble. La trajectoire du marteau est…
Calculer l'équation de la tangente à la trajectoire circulaire décrite par un lanceur de marteau au moment exact où il lâche le câble. La trajectoire du marteau est donnée par le cercle $x^2+y^2=25$ et l'athlète lâche le câble lorsque la boule passe par le point $(3\ ;\ 4)$.
Écrire l'équation du cercle qui représente une poulie dont l'axe de rotation est fixé au point $(3\,;\,-2)$ et qui est en contact tangentiel avec une courroie de…
Écrire l'équation du cercle qui représente une poulie dont l'axe de rotation est fixé au point $(3\,;\,-2)$ et qui est en contact tangentiel avec une courroie de transmission dont la ligne d'action est la droite $4x-3y+2=0$.
Calculer la longueur de la surface libre de l'eau à l'intérieur d'une canalisation circulaire d'équation $x^2+y^2=100$. On sait que le niveau de l'eau s'est stabilisé en…
Calculer la longueur de la surface libre de l'eau à l'intérieur d'une canalisation circulaire d'équation $x^2+y^2=100$. On sait que le niveau de l'eau s'est stabilisé en formant une corde horizontale sur la droite $y=6$.
Déterminer les équations des deux tangentes menées depuis un phare situé au point $(0 ; 4)$ vers un réservoir cylindrique de carburant dont la base occupe la région…
Déterminer les équations des deux tangentes menées depuis un phare situé au point $(0 ; 4)$ vers un réservoir cylindrique de carburant dont la base occupe la région délimitée par le cercle $x^2+y^2=4$. Ces droites représentent les limites des ombres projetées sur le sol.
Position relative de deux cercles
Pour deux cercles de centres $\Omega_1$, $\Omega_2$ et de rayons $r_1$, $r_2$, on compare $d=\Omega_1\Omega_2$ à $r_1+r_2$ et à $|r_1-r_2|$ :
| Condition | Position |
|---|---|
| $d>r_1+r_2$ | extérieurs |
| $d=r_1+r_2$ | tangents extérieurement |
$|r1-r2|| sécants en deux points |
|
| $d=|r_1-r_2|$ | tangents intérieurement |
| $d<|r_1-r_2|$ | l'un à l'intérieur de l'autre |
Pour trouver les points communs, on soustrait les deux équations développées : on obtient l'équation d'une droite, qu'on coupe ensuite avec l'un des cercles.
Étudier la position relative des fronts d'onde générés par deux gouttes tombant dans un étang, modélisés par les cercles $C_1: x^2+y^2=9$ et $C_2: (x-4)^2+y^2=4$.
Étudier la position relative des fronts d'onde générés par deux gouttes tombant dans un étang, modélisés par les cercles $C_1: x^2+y^2=9$ et $C_2: (x-4)^2+y^2=4$.
Le GPS d'un téléphone portable reçoit les signaux de deux tours de télécommunication. La première tour est à l'origine du repère et estime que le portable est à $5$ km…
Le GPS d'un téléphone portable reçoit les signaux de deux tours de télécommunication. La première tour est à l'origine du repère et estime que le portable est à $5$ km de distance. La seconde tour est au point $(5\,;\,0)$ et estime que le portable est à $4$ km de distance. Déterminer les coordonnées exactes des deux points où pourrait se trouver le téléphone en calculant l'intersection des deux cercles.
L'essentiel
Vers le début : l'antenne « touche » la route lorsque la distance du centre à la route est inférieure ou égale au rayon (sécante ou tangente).