Exercices: Longueurs et orthogonalité dans l'espace

Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne $\vec{u}(1\,;2\,;-2)$ et $\vec{v}(3\,;-1\,;2)$.

1. a) Calculer $\|\vec{u}\|$.

1. b) Calculer $\vec{u}\cdot\vec{v}$.

Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne $A(1\,;0\,;2)$ et $B(4\,;4\,;2)$.

1. a) Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$.

1. b) Calculer la distance $AB$.

Dans un repère orthonormé de l'espace, les vecteurs $\vec{u}(2\,;-1\,;3)$ et $\vec{v}(1\,;5\,;1)$ sont-ils orthogonaux ? Justifier.

Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne $A(1\,;1\,;0)$, $B(3\,;2\,;1)$ et $C(2\,;4\,;-1)$.

1. a) Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.

1. b) Calculer $AB$ et $AC$.

1. c) En déduire une valeur approchée au degré près de l'angle $\widehat{BAC}$.

Soit le cube $ABCDEFGH$ d'arête 1, avec $A$ l'origine du repère orthonormé $(A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$.

1. a) Donner les coordonnées de $C$, $F$ et $H$.

1. b) Montrer que $\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BD} = 0$ puis que $\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BE} = 0$.

1. c) Calculer la longueur de la diagonale $AG$.

Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne $A(0\,;0\,;0)$, $B(2\,;0\,;0)$, $C(0\,;3\,;0)$ et $D(0\,;0\,;6)$.

1. a) Montrer que les droites $(AD)$ et $(BC)$ sont orthogonales.

1. b) Calculer les longueurs $BC$, $BD$ et $CD$.

1. c) Montrer que le triangle $BCD$ n'est pas rectangle.

Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne $A(1\,;0\,;0)$, $B(0\,;2\,;0)$ et $C(0\,;0\,;3)$.

1. a) Montrer que le triangle $ABC$ n'est pas isocèle.

1. b) Soit $H(x\,;y\,;z)$ le pied de la hauteur issue de $O$ dans le tétraèdre $OABC$ sur le plan $(ABC)$ ; on admet que $\overrightarrow{OH}$ est orthogonal à $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$. Montrer que $H$ appartient à la droite engendrée par $\vec{n}(6\,;3\,;2)$ en montrant que $\vec{n}$ est orthogonal à $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.

1. c) En déduire les coordonnées de $H$ sachant que $H$ appartient à $(ABC)$ et que $6x + 3y + 2z = 6$.

1. d) Calculer la distance $OH$.

Soit le cube $ABCDEFGH$ d'arête $a>0$ dans un repère orthonormé d'origine $A$ dont les axes sont dirigés respectivement par $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}$. Le point $I$ est le milieu de $[EF]$ et $J$ celui de $[CG]$.

1. a) Donner les coordonnées de $I$ et $J$ en fonction de $a$.

1. b) Calculer $\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AJ}$ et les longueurs $AI$ et $AJ$.

1. c) En déduire $\cos\widehat{IAJ}$ puis une valeur approchée de l'angle au degré près.

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère la sphère $S$ de centre $\Omega(1\,;2\,;3)$ et de rayon $3$, et le point $A(3\,;4\,;4)$.

1. a) Montrer que $A$ appartient à $S$.

1. b) Montrer que $M(x\,;y\,;z)$ appartient à $S$ si et seulement si $\overrightarrow{\Omega M}\cdot\overrightarrow{\Omega M} = 9$.

1. c) Déterminer l'ensemble des points $M$ de $S$ tels que $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{\Omega A} = 0$ : donner la nature de cet ensemble en utilisant une équation.

1. d) Calculer la distance du point $\Omega$ au plan d'équation $2x + 2y + z = 12$ et en déduire la position de ce plan par rapport à $S$.