Exercices: Angles orientés et cercle trigonométrique

Un angle supérieur à $360º$ correspond à plus d'un tour complet. Exprimer chacun de ces angles comme un nombre de tours complets plus un angle inférieur à $360º$ :

• $\alpha = 750º$

• $\beta = 1180º$

• $\gamma = 2000º$

Les angles négatifs se parcourent dans le sens horaire. Exprimer chacun de ces angles sous la forme d'un angle positif inférieur à $360º$ ayant le même côté d'arrivée :

• $\alpha = -60º$

• $\beta = -150º$

• $\gamma = -400º$

Indiquer dans quel cadran se trouve le côté d'arrivée de chacun de ces angles :

• $\alpha = 95º$

• $\beta = 262º$

• $\gamma = 310º$

• $\delta = -80º$

• $\varepsilon = 500º$

Sur le cercle trigonométrique, le sinus d'un angle est l'ordonnée et le cosinus l'abscisse du point où le côté d'arrivée coupe le cercle, comme le montre la figure.

À l'aide de la figure, calculer en justifiant la valeur de :

• $\sin 90º$ et $\cos 90º$

• $\sin 180º$ et $\cos 180º$

• $\sin 270º$ et $\cos 270º$

• $\sin 360º$ et $\cos 360º$

Sans utiliser la calculatrice, indiquer le signe (positif ou négatif) de chacune de ces lignes trigonométriques, en justifiant à quel cadran appartient chaque angle :

• $\sin 130º$

• $\cos 200º$

• $\tan 320º$

• $\cos 95º$

• $\sin 350º$

• $\tan 140º$

Sur la figure, un angle $\alpha$ est représenté sur le cercle trigonométrique, avec les projections de son point $P$ sur les axes.

À l'aide de la figure, indiquer le signe de $\sin \alpha$, de $\cos \alpha$ et de $\tan \alpha$, en justifiant chaque réponse à partir des coordonnées du point $P$.

Marc doit calculer les lignes trigonométriques de l'angle $\alpha = 120^\circ$. Dans son cahier, il écrit l'explication suivante : « Comme il manque $30^\circ$ au côté d'arrivée de $120^\circ$ pour atteindre le demi-axe vertical positif $Y$, son angle de référence est $30^\circ$. Donc $\sin 120^\circ = \sin 30^\circ = 0,5$ et $\cos 120^\circ = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ ». Identifier l'erreur conceptuelle commise par Marc dans la détermination de l'angle de référence, expliquer pourquoi la définition exige de prendre toujours comme référence l'axe horizontal $X$ et écrire les valeurs correctes de $\sin 120^\circ$, $\cos 120^\circ$ et $\tan 120^\circ$.

On considère l'angle orienté $\alpha = 310^\circ$ sur le cercle trigonométrique.

1. a) Sans calculatrice, estimer en justifiant dans quel cadran se trouve son côté d'arrivée et quels seront les signes de son abscisse (cosinus), de son ordonnée (sinus) et de sa tangente.
2. b) Le côté d'arrivée de $310^\circ$ est à $50^\circ$ du demi-axe positif $X$ ($360^\circ - 310^\circ$) et à $40^\circ$ du demi-axe négatif $Y$ ($310^\circ - 270^\circ$). À partir de cette position relative sur le cercle, estimer laquelle des deux valeurs absolues doit être la plus grande : $|\sin 310^\circ|$ ou $|\cos 310^\circ|$.
3. c) Vérifier votre estimation en calculant son angle de référence aigu par rapport à l'axe $X$ et en déduisant quel côté de l'angle droit du triangle rectangle associé est le plus long.

Sur la figure, l'angle de $135º$ est représenté sur le cercle trigonométrique, avec son triangle de référence.

Sachant que $\sin 45º = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\cos 45º = \frac{\sqrt{2}}{2}$, calculer la valeur exacte de $\sin 135º$ et de $\cos 135º$, en tenant compte du cadran dans lequel se trouve le point $P$.

Déterminer dans quel cadran se trouve chacun des angles $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ sachant que :

• $\sin \alpha < 0$ et $\tan \alpha > 0$

• $\cos \beta > 0$ et $\sin \beta < 0$

• $\cos \gamma < 0$ et $\tan \gamma < 0$

Indiquer aussi le signe de la ligne trigonométrique manquante dans chaque cas.

Une grande roue tourne dans le sens antihoraire. Une de ses cabines part du point le plus bas et, après le parcours complet d'un cycle, a tourné d'un total de $750º$.

• Combien de tours complets la cabine a-t-elle effectués ?

• Quel angle inférieur à $360º$ décrit sa position finale par rapport à la position de départ ?

• Si la rotation avait été de $1500º$, où la cabine se retrouverait-elle ?

Un voilier navigue au cap $220º$. En navigation, le cap se mesure dans le sens horaire à partir du nord ; en mathématiques, les angles se mesurent dans le sens antihoraire à partir de l'est (demi-axe $X$ positif).

• Exprimer le cap du voilier comme un angle mathématique $\alpha$ compris entre $0º$ et $360º$.

• Indiquer dans quel cadran navigue le voilier et le signe de $\sin \alpha$ et de $\cos \alpha$.

On considère l'angle $\alpha = 215º$.

• Indiquer dans quel cadran se trouve son côté d'arrivée.

• Déterminer le signe de $\sin \alpha$, $\cos \alpha$ et $\tan \alpha$.

• Écrire $\alpha$ comme $180º$ plus un angle aigu, et aussi comme un angle négatif compris entre $-360º$ et $0º$.

Indiquer si chacune de ces affirmations est vraie ou fausse, en justifiant la réponse :

• Il existe un angle $\alpha$ tel que $\cos \alpha = 1,4$.

• Si $\sin \alpha > 0$, alors $\alpha$ appartient au premier cadran.

• La tangente de $90º$ n'existe pas.

• $\sin(-40º) = \sin 40º$.

Le radar météorologique de Météo-France situé à Toulouse tourne dans le sens antihoraire en émettant un faisceau de balayage. L'orientation se mesure comme un angle trigonométrique où l'Est correspond au demi-axe positif $X$ ($0^\circ$) et le Nord au demi-axe positif $Y$ ($90^\circ$). À un certain moment de la surveillance, l'antenne enregistre une rotation cumulée de $\alpha = -510^\circ$.

1. a) Ramener l'angle $\alpha$ au premier tour en l'exprimant comme un nombre de tours complets plus un angle positif $\beta \in [0^\circ ; 360^\circ[$.
2. b) Vers quel cadran géographique (Nord-Est, Nord-Ouest, Sud-Ouest ou Sud-Est) le faisceau du radar pointe-t-il à cet instant ?
3. c) Si le radar repère le cœur d'un nuage à une distance normalisée de rayon $1$, déterminer les coordonnées cartésiennes $(x ; y)$ du point sur le cercle trigonométrique, en les exprimant de manière exacte à l'aide des lignes trigonométriques de son angle de référence aigu avec l'axe $X$.

Sur le cercle trigonométrique (rayon $1$, centre à l'origine), le côté d'arrivée d'un angle $\alpha$ coupe le cercle en un point $P(x ; y)$ dont l'abscisse est $x = -0,8$. On sait de plus que $\tan \alpha > 0$.

1. a) Déterminer en justifiant dans quel cadran se trouve l'angle $\alpha$ à partir des signes de son abscisse et de sa tangente.
2. b) Utiliser la relation fondamentale sur le cercle trigonométrique ($x^2 + y^2 = 1$) pour déduire la valeur exacte de l'ordonnée $y$ (c'est-à-dire $\sin \alpha$) et calculer la valeur de $\tan \alpha$.
3. c) Sachant que l'angle aigu du premier cadran dont le cosinus vaut $0,8$ est environ $36,87^\circ$, calculer :

1. La valeur de l'angle positif $\alpha$ appartenant au premier tour ($[0^\circ ; 360^\circ[$).

2. Un angle négatif $\beta$ ayant exactement le même côté d'arrivée que $\alpha$ après avoir effectué un tour complet dans le sens horaire (compris entre $-720^\circ$ et $-360^\circ$).

Un élève a écrit dans son cahier la résolution suivante :

« $\cos 130º = \cos(180º - 50º) = \cos 50º \approx 0,64$ »

Trouver l'erreur commise, expliquer pourquoi c'est une erreur et calculer correctement la valeur de $\cos 130º$ avec la calculatrice, avec quatre décimales.

Sur la figure, deux angles, $\alpha$ et $\beta$, sont représentés sur le cercle trigonométrique ; les points de leur côté d'arrivée sont à la même hauteur.

• Quelle relation y a-t-il entre les angles $\alpha$ et $\beta$ ? L'exprimer par une égalité.

• Si $\sin \alpha = 0,42$ et $\alpha \approx 25º$, trouver un autre angle de $[0º ; 360º[$ qui a le même sinus.

• Quelle relation y a-t-il entre deux angles de $[0º ; 360º[$ qui ont le même cosinus ? Justifier avec le cercle trigonométrique.

Le point $P$ de la figure appartient au cercle trigonométrique, se trouve dans le troisième cadran et vérifie $\cos \alpha = -0,8$.

• Quel est le signe de $\sin \alpha$ ? Et celui de $\tan \alpha$ ?

• Calculer la valeur exacte de $\sin \alpha$ en utilisant l'identité fondamentale $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

• Calculer $\tan \alpha$.

• Soit $\beta = \alpha - 180º$. Indiquer dans quel cadran se trouve $\beta$ et calculer ses trois lignes trigonométriques.

À partir de la définition $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ :

• Déterminer tous les angles $\alpha$ de $[0º ; 360º[$ pour lesquels $\tan \alpha$ n'existe pas, en justifiant la réponse.

• Déterminer tous les angles $\alpha$ de $[0º ; 360º[$ pour lesquels $\tan \alpha = 0$.

• Écrire, à l'aide d'un entier relatif $k$ quelconque, l'expression générale de tous les angles pour lesquels la tangente n'existe pas.

En classe, on cherche tous les angles $\alpha$ du premier tour ($0^\circ \le \alpha < 360^\circ$) qui vérifient la condition $\sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$. Deux élèves proposent des méthodes différentes pour la résoudre :

• Sophie (méthode trigonométrique) : elle dit que, comme $\cos \alpha = x$ et $\sin \alpha = y$ sur le cercle trigonométrique, la condition équivaut à $y^2 = x^2$, c'est-à-dire $|y| = |x|$. Les points cherchés sont donc les intersections du cercle trigonométrique avec les bissectrices des quatre cadrans ($y = x$ et $y = -x$).

• Mathis (méthode algébrique) : il propose de diviser les deux membres par $\cos^2 \alpha$ pour obtenir $\tan^2 \alpha = 1$, ce qui donne $\tan \alpha = 1$ ou $\tan \alpha = -1$.

1. a) Appliquer la méthode de Sophie et identifier les quatre angles solutions en justifiant géométriquement leur symétrie par rapport aux axes et leur angle de référence dans le premier cadran.
2. b) Analyser la méthode de Mathis : quelle vérification mathématique préalable est obligatoire avant de diviser toute l'expression par $\cos^2 \alpha$, et pourquoi, dans ce cas particulier, est-on sûr de ne perdre aucune solution ?
3. c) Comparer les deux procédés et justifier lequel apporte la meilleure compréhension géométrique du comportement des signes des lignes trigonométriques dans les quatre cadrans.

Le bras d'un robot industriel d'assemblage a une longueur normalisée de $1$ mètre, avec une base fixe à l'origine $(0 ; 0)$. L'extrémité du bras est orientée par un angle $\theta$ mesuré dans le sens antihoraire à partir du demi-axe positif $X$, et se situe en un point $P(x ; y)$ du cercle trigonométrique. Pour réaliser une soudure à l'intérieur d'une pièce, l'extrémité doit être placée dans le troisième quadrant de sorte que sa distance horizontale à l'axe vertical soit exactement le double de sa distance verticale à l'axe horizontal ($|x| = 2 \cdot |y|$).

1. a) Écrire la condition algébrique précédente avec l'équation du cercle trigonométrique ($x^2 + y^2 = 1$) et obtenir les valeurs exactes de $\cos \theta$, $\sin \theta$ et $\tan \theta$.
2. b) Sachant que l'angle de référence aigu avec l'axe horizontal vérifie $\tan \theta_{\text{ref}} = 0,5$ (dont la valeur approchée est $26,57^\circ$), déterminer la mesure de l'angle positif $\theta \in [0^\circ ; 360^\circ[$ à programmer dans le robot.
3. c) À cause d'une erreur de transmission des servomoteurs, l'ordinateur de contrôle enregistre une rotation totale cumulée de $-1413,43^\circ$. Démontrer, en se ramenant au premier tour, si le bras robotisé se trouve exactement dans la position de travail requise ou dans une autre.