Exercices: Loi des cosinus

Dans un triangle $ABC$, on connaît les côtés $b=5$ cm, $c=8$ cm et l'angle compris $A=60^\circ$. Calculer la longueur du côté $a$.

Dans un triangle $ABC$, les côtés mesurent $a=3$ cm, $b=5$ cm et $c=7$ cm. Calculer la mesure de l'angle $C$.

Dans un triangle $ABC$, les côtés mesurent $a=10$ cm, $b=12$ cm et l'angle compris est $C=45^\circ$. Écrire la loi des cosinus pour calculer la valeur exacte du côté $c$.

Déterminer la mesure de l'angle $B$ dans un triangle dont les côtés mesurent $a=7$ cm, $b=8$ cm et $c=9$ cm.

Un parallélogramme a deux côtés adjacents qui mesurent 4 cm et 6 cm. Si l'angle compris entre eux est de $120^\circ$, calculer la longueur de la grande diagonale.

Calculer la distance entre deux points inaccessibles $A$ et $B$, sachant que, depuis un point d'observation $C$, on a mesuré les distances $CA = 15$ m et $CB = 20$ m, et que l'angle de vue $ACB$ est de $40^\circ$.

Dans un triangle isocèle $ABC$, les côtés $a$ et $b$ mesurent 6 cm chacun, et l'angle au sommet $C=30^\circ$. Calculer la valeur exacte du côté $c$ en laissant le résultat avec des radicaux.

Déterminer le plus grand angle d'un triangle dont les côtés mesurent 4 cm, 5 cm et 6 cm.

Lucie doit calculer la distance entre deux balises, $B$ et $C$, en connaissant les distances depuis son point d'observation $A$ ($b = AC = 6\text{ m}$ et $c = AB = 10\text{ m}$) et l'angle formé par les lignes de visée, $\widehat{A} = 120^\circ$. Dans son devoir, elle écrit le développement suivant :

1. a) Sans refaire les calculs numériques dans un premier temps, justifier géométriquement pourquoi le résultat de Lucie ne peut pas être correct, en comparant la figure avec un triangle rectangle de côtés de l'angle droit $6\text{ m}$ et $10\text{ m}$.
2. b) Repérer l'erreur mathématique précise commise par Lucie, expliquer quelle propriété des rapports trigonométriques elle n'a pas prise en compte et calculer la valeur correcte du côté $a$ arrondie à deux décimales.

Deux tronçons rectilignes d'un sentier de randonnée balisé dans la région de Cazorla mesurent $b = 7\text{ km}$ et $c = 8\text{ km}$, et se séparent en formant un angle $\widehat{A} = 58^\circ$. Le comité du parc veut tracer un chemin rectiligne direct reliant les deux extrémités libres (côté $a$).

1. a) Avant tout calcul à la calculatrice : sachant que $58^\circ$ est très proche de $60^\circ$ et que les côtés sont presque égaux ($7\text{ km}$ et $8\text{ km}$), faire une estimation argumentée de la longueur approximative du côté $a$. Entre quelles deux valeurs extrêmes doit-il se trouver obligatoirement d'après l'inégalité triangulaire ?
2. b) Appliquer la loi des cosinus avec $\cos(58^\circ) \approx 0,530$ pour calculer la longueur exacte de $a$, arrondie à deux décimales.
3. c) Comparer l'estimation préalable avec le résultat obtenu et justifier si la valeur est vraisemblable physiquement.

Deux avions décollent du même aéroport en même temps. L'avion A vole à $800$ km/h avec un cap de $040^\circ$ et l'avion B vole à $650$ km/h avec un cap de $115^\circ$. Quelle distance en ligne droite les sépare après 1,5 heure de vol ?

Pour mesurer la distance à travers un lac entre les points $A$ et $B$, un géomètre se place au point $C$. Il mesure les distances $CA = 125,5$ m et $CB = 180,2$ m, ainsi que l'angle $ACB = 75^\circ$. Calculer la distance $AB$.

Deux forces de 45 N et 60 N agissent sur un même point matériel en formant un angle de $50^\circ$ entre elles. Calculer l'intensité de la force résultante.

Les diagonales d'un parallélogramme mesurent 12 cm et 16 cm, et se coupent en formant un angle de $65^\circ$. Calculer la longueur des quatre côtés du parallélogramme.

Une ferme de toit triangulaire a des côtés de 5 m, 7 m et 9 m. Calculer l'angle opposé au plus grand côté.

Sur un terrain de football, un joueur se trouve à 25 m d'un poteau du but et à 28 m de l'autre poteau. Sachant que le but a une largeur réglementaire de 7,32 m, sous quel angle le joueur voit-il le but d'un poteau à l'autre ?

Deux satellites orbitent autour de la Terre. Depuis une station de suivi, les distances en ligne droite aux satellites sont de 400 km et 600 km, et l'angle entre leurs lignes de visée est de $35^\circ$. Quelle est la distance entre les deux satellites ?

Dans un cercle de 10 cm de rayon, une corde sous-tend un angle au centre de $100^\circ$. Calculer la longueur de la corde en utilisant la loi des cosinus dans le triangle formé par les rayons et la corde.

Dans un triangle de côtés connus $a = 4\text{ cm}$, $b = 6\text{ cm}$ et $c = 9\text{ cm}$, on souhaite déterminer la mesure de ses trois angles en combinant la loi des cosinus et la loi des sinus pour gagner du temps de calcul. Deux camarades proposent des stratégies différentes pour la première étape :

• Marc propose : « Calculons d'abord le plus petit angle, $\widehat{A}$, avec la loi des cosinus, puis déterminons le plus grand angle, $\widehat{C}$, avec la loi des sinus ».

• Sarah rétorque : « Il est beaucoup plus sûr de calculer d'abord le plus grand angle, $\widehat{C}$, avec la loi des cosinus, puis d'en déduire $\widehat{A}$ avec la loi des sinus ».

1. a) Justifier mathématiquement laquelle des deux méthodes est préférable et expliquer quel risque ou quelle ambiguïté mathématique présente l'autre lorsqu'on utilise la fonction réciproque $\arcsin$ sur l'intervalle $[0^\circ ; 180^\circ]$.
2. b) En suivant la bonne stratégie, déterminer en justifiant si le triangle est acutangle ou obtusangle en examinant uniquement le signe de $\cos \widehat{C}$, et calculer la valeur des trois angles du triangle arrondies au degré près.

Lors des opérations de surveillance des incendies dans les Alpes, une tour de contrôle située au point d'observation $P$ aperçoit deux colonnes de fumée en des points inaccessibles l'un depuis l'autre, $F_1$ et $F_2$.

Avec le télémètre laser et le goniomètre de la station, on obtient les mesures suivantes :

• Distance à la première colonne : $d(P, F_1) = 3,4\text{ km}$.

• Distance à la seconde colonne : $d(P, F_2) = 5,2\text{ km}$.

• Angle horizontal formé par les deux lignes de visée : $\widehat{F_1 P F_2} = 115^\circ$.

1. a) Modéliser la disposition des trois points par un triangle, identifier les éléments connus et calculer la distance en ligne droite qui sépare les deux foyers de fumée (arrondir à deux décimales).
2. b) La brigade héliportée dispose d'un tuyau de déploiement rapide d'urgence de $7\text{ km}$. Justifier si, avec cet équipement, il serait possible de relier directement les deux foyers sans passer par le poste d'observation $P$.

Dans un triangle, les longueurs des côtés sont $x$, $x+2$ et $x+4$. Si le plus grand des angles mesure $120^\circ$, poser l'équation correspondante, déterminer la valeur de $x$ et les longueurs exactes des trois côtés.

Démontrer algébriquement que, dans tout triangle $ABC$, la relation suivante est vérifiée :

$a^2 + b^2 + c^2 = 2(ab \cos C + bc \cos A + ca \cos B)$

Dans un triangle $ABC$, les côtés mesurent $a=8$ cm, $b=10$ cm et $c=12$ cm. Calculer la longueur exacte de la médiane $m_a$ issue du sommet $A$ jusqu'au milieu du côté $a$.

Un quadrilatère inscriptible (cyclique) $ABCD$ a des côtés de longueurs $AB=3$ cm, $BC=4$ cm, $CD=5$ cm et $DA=6$ cm. En tenant compte des propriétés des angles opposés dans un quadrilatère cyclique, poser un système en utilisant la loi des cosinus (théorème d'Al-Kashi) dans les triangles $ABC$ et $ADC$ pour calculer la longueur exacte de la diagonale $AC$.

Si, dans un triangle $ABC$, la relation algébrique $a^2 = b^2 + c^2 + \sqrt{2}bc$ est vérifiée, déterminer la mesure exacte de l'angle $A$ sans utiliser la calculatrice.

Un triangle a une base fixe $c = 10$ cm et un périmètre constant $p = 26$ cm. Si l'angle $C$ opposé à la base mesure $60^\circ$, poser un système d'équations et déterminer les longueurs exactes des deux autres côtés $a$ et $b$.

Deux cercles de rayons 5 cm et 8 cm se coupent en deux points. La distance entre leurs centres est de 10 cm. Calculer la longueur de la corde commune aux deux cercles. (Indication : utiliser la loi des cosinus pour trouver l'angle au centre dans le triangle formé par les rayons et la droite des centres, puis en déduire la hauteur du triangle.)

Calculer l'angle aigu que forment deux grandes diagonales d'un cube. Pour cela, exprimer la longueur de la diagonale en fonction de l'arête $a$ et appliquer la loi des cosinus dans le triangle formé par les moitiés de deux diagonales et une arête du cube.

On projette une ferme triangulaire en acier pour la toiture d'un hangar industriel. Deux des barres de la structure ont des longueurs fixes de $b = 5\text{ m}$ et $c = 8\text{ m}$.

1. a) Écrire une inéquation en fonction de la longueur du troisième côté, $a$, qui garantisse que l'angle $\widehat{A}$ compris entre les deux barres données soit strictement obtus ($90^\circ < \widehat{A} < 180^\circ$). Déterminer l'intervalle des valeurs réelles possibles pour la longueur $a$.
2. b) On suppose maintenant que le cahier des charges est modifié en fixant la barre $a = 7\text{ m}$ et l'angle $\widehat{A} = 60^\circ$, en conservant $c = 8\text{ m}$, mais en laissant la longueur de la barre $b$ comme inconnue à dimensionner. Poser l'équation du second degré que doit vérifier $b$ en appliquant la loi des cosinus.
3. c) Résoudre l'équation obtenue, vérifier si les solutions trouvées sont géométriquement possibles à l'aide de l'inégalité triangulaire et expliquer pourquoi ce cas fournit deux configurations triangulaires distinctes et valides avec les mêmes données initiales.

Lors des manœuvres d'accostage dans l'avant-port de Ferrol, deux remorqueurs tirent simultanément un cargo en exerçant des forces coplanaires d'intensités fixes $|\vec{F}_1| = 50\text{ kN}$ et $|\vec{F}_2| = 70\text{ kN}$. Les câbles de remorquage forment entre eux un angle $\alpha = 40^\circ$.

1. a) Estimer en justifiant entre quelles deux bornes extrêmes doit se situer la norme de la force résultante $\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$, en considérant les situations limites où les câbles tireraient dans la même direction et le même sens, ou en sens opposés.
2. b) En représentant la somme vectorielle par la règle du parallélogramme, on obtient un triangle dont les côtés adjacents sont $|\vec{F}_1|$ et $|\vec{F}_2|$, et dont le troisième côté représente le vecteur résultant $\vec{R}$. Justifier géométriquement pourquoi l'angle opposé à $\vec{R}$ dans ce triangle mesure $180^\circ - \alpha = 140^\circ$, et non $40^\circ$.
3. c) Appliquer la loi des cosinus pour déterminer la norme exacte de la force résultante $\vec{R}$ (en $\text{kN}$, arrondie au dixième) et vérifier la précision de l'estimation.
4. d) Pour des raisons de sécurité structurelle de la coque, la force résultante totale ne peut pas dépasser $105\text{ kN}$. Poser l'inéquation correspondante et en déduire l'angle minimal $\alpha$ que doivent former les câbles des remorqueurs pour ne pas dépasser cette limite.