Exercices: Mesure des angles : degrés et radians

Exprimer en radians, sous forme de fractions irréductibles de $\pi$, les angles suivants donnés en degrés : $15^\circ$, $135^\circ$, $210^\circ$ et $330^\circ$.

Convertir en degrés les angles suivants exprimés en radians : $\frac{\pi}{5}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{4}$ et $\frac{11\pi}{3}$.

Ramener les angles suivants au premier tour (c'est-à-dire déterminer leur mesure équivalente comprise entre $0^\circ$ et $360^\circ$) et indiquer dans quel quadrant se situe le côté final de chacun : $1250^\circ$ et $2460^\circ$.

Déterminer la mesure positive équivalente sur le premier tour (comprise entre $0$ et $2\pi$ rad) pour les angles négatifs suivants : $-\frac{\pi}{4}$ et $-\frac{13\pi}{6}$.

Calculer l'angle au centre interceptant un arc de $12$ cm de longueur sur un cercle de rayon $4$ cm. Exprimer le résultat en radians et en degrés.

Déterminer la longueur de l'arc décrit par l'extrémité inférieure d'un pendule de $60$ cm de longueur lorsqu'il oscille d'un angle de $\frac{\pi}{8}$ radians.

Calculer la somme des angles intérieurs d'un octogone régulier et exprimer la mesure de chacun de ses angles intérieurs en radians, sous forme de fractions de $\pi$.

Un angle mesure exactement $3$ radians. Sans utiliser la calculatrice, déterminer en justifiant si cet angle est supérieur, inférieur ou égal à un angle plat ($180^\circ$) et préciser dans quel quadrant il se situe.

Lucie doit calculer l'aire d'une parcelle aménagée en jardin ayant la forme d'un secteur circulaire, de rayon $6\text{ m}$ et d'angle au centre $45^\circ$. Pour cela, elle applique directement la formule $A = \frac{1}{2}r^2\theta$ et écrit sur sa copie :

En voyant le résultat, le professeur lui demande de revoir ses calculs, car le disque complet de rayon $6\text{ m}$ a une aire d'à peine $113,1\text{ m}^2$. Identifier et expliquer en détail l'erreur de raisonnement commise par Lucie, justifier pourquoi la formule utilisée exige que l'angle soit exprimé en radians, et calculer la solution correcte, sous forme exacte (en fonction de $\pi$) puis avec une valeur approchée à deux décimales.

Sur une piste d'entraînement circulaire de $50\text{ m}$ de rayon, un athlète parcourt un arc interceptant un angle au centre de $2,4\text{ rad}$.

1. a) Avant de calculer, faire une estimation intuitive : sachant qu'un radian est l'angle au centre qui intercepte un arc de longueur égale au rayon, justifier sans calculatrice si la distance parcourue par l'athlète dépassera $100\text{ m}$ et si elle sera supérieure ou inférieure à $150\text{ m}$.
2. b) Sachant que $1\text{ rad} \approx 57,3^\circ$ (presque $60^\circ$), estimer mentalement une valeur approchée de l'angle en degrés.
3. c) Calculer maintenant avec précision la longueur de l'arc parcouru et la valeur exacte de l'angle en degrés (arrondie à deux décimales). Comparer les résultats avec les estimations précédentes et dire, en justifiant, si l'approximation initiale était correcte.

Un disque vinyle tourne sur une platine à la vitesse de $33$ tours par minute. Calculer sa vitesse angulaire en radians par seconde et déterminer l'angle, en radians, décrit par un point de son bord en $2,5$ secondes.

Sur une piste d'athlétisme circulaire, un coureur se déplace sur le couloir intérieur en restant à $50$ mètres du centre. S'il parcourt une distance de $120$ mètres, calculer l'angle, en radians, qu'il a décrit par rapport au centre de la piste. Exprimer aussi ce résultat en degrés, minutes et secondes.

Calculer le plus petit angle, exprimé en degrés et en radians, formé par les aiguilles d'une horloge analogique (la petite et la grande aiguille) à 16 h 20 exactement.

Deux villes, A et B, sont situées sur un même méridien terrestre. La latitude de la ville A est $41^\circ$ Nord et celle de la ville B est $28^\circ$ Sud. En supposant que la Terre est une sphère parfaite de rayon moyen $6371$ km, calculer la distance à la surface de la Terre qui sépare les deux villes.

Une grande roue de fête foraine a un diamètre de $40$ mètres et possède $24$ nacelles régulièrement espacées sur sa circonférence. Calculer la longueur de l'arc qui sépare deux nacelles consécutives et l'angle, en radians, qu'elles forment par rapport à l'axe central.

Le système de transmission d'une machine industrielle est constitué de deux poulies reliées par une courroie tendue. La poulie motrice a un rayon de $15$ cm et la poulie réceptrice un rayon de $45$ cm. Si la poulie motrice tourne d'un angle de $\frac{7\pi}{2}$ radians, calculer de combien de radians tourne la poulie réceptrice et combien de tours complets elle effectue.

Un arroseur agricole couvre un secteur circulaire. Le jet d'eau atteint une distance maximale de $18$ mètres et la tête de l'arroseur balaie un angle de $140^\circ$. Calculer l'aire totale du terrain arrosé et la longueur de l'arc extérieur décrit par l'eau.

Les trois angles d'un triangle sont en progression arithmétique. Sachant que le plus grand angle mesure $80^\circ$, déterminer la mesure des trois angles en radians (sous forme de fractions de $\pi$).

Pour arroser une pelouse dans un parc public, on utilise un arroseur oscillant d'une portée de $8\text{ m}$ qui balaie un angle de $135^\circ$. Deux techniciens de maintenance calculent la surface arrosée par des chemins différents :

• Méthode A (Marc) : Il pose une proportionnalité fondée sur la géométrie classique en degrés : $\frac{A}{135^\circ} = \frac{\pi\cdot 8^2}{360^\circ}$.

• Méthode B (Sarah) : Elle convertit d'abord l'angle en radians sous forme de fraction irréductible de $\pi$ puis applique l'expression $A = \frac{1}{2}r^2\theta$.

1. a) Développer les deux méthodes pas à pas et vérifier si les deux techniciens obtiennent exactement le même résultat.
2. b) Analyser les avantages et les inconvénients de chaque méthode. Laquelle est la plus directe et la plus cohérente s'il faut ensuite calculer la vitesse linéaire de l'eau à l'extrémité, sachant que l'arroseur effectue ce balayage en $3\text{ s}$ ? Justifier la réponse à l'aide de la relation $v = \omega\cdot r$.

On prévoit de construire une aire de jeux pour enfants en forme de secteur circulaire, qui sera entièrement clôturée sur son pourtour (les deux bords rectilignes correspondant aux rayons et le bord courbe de l'arc) avec exactement $36\text{ m}$ de grillage métallique.

1. a) Exprimer l'aire $A$ du secteur circulaire uniquement en fonction du rayon $r$, en éliminant l'angle $\theta$ (en radians) grâce à la condition sur le périmètre total de la clôture.
2. b) Si l'on fixe le rayon de l'aire à $r = 9\text{ m}$, déterminer l'angle au centre $\theta$ que doit avoir le secteur (en radians et en degrés). Quelle fraction exacte du disque complet cette aire représente-t-elle ?
3. c) Résoudre le problème inverse : si l'angle au centre doit obligatoirement valoir $\theta = 2\text{ rad}$, quelle doit être la valeur du rayon pour utiliser exactement les $36\text{ m}$ de grillage ? Démontrer qu'avec cet angle au centre, la longueur de l'arc est toujours égale à la somme des deux rayons, quelle que soit la longueur totale de grillage disponible.

Un phare maritime projette un faisceau lumineux qui tourne à une vitesse angulaire constante de $4$ tours par minute. Le faisceau éclaire la surface de la mer jusqu'à une distance maximale de $5$ km. En raison du relief de la côte, il existe un secteur aveugle de $\frac{2\pi}{5}$ radians vers l'intérieur des terres où la lumière n'est pas visible. Calculer l'aire totale de mer éclairée par le phare à chaque tour complet et le temps exact, en secondes, que met le faisceau à traverser la zone visible.

Déterminer l'heure exacte, comprise entre 7 h et 8 h, à laquelle les aiguilles d'une horloge analogique (la petite et la grande aiguille) sont parfaitement superposées. Exprimer aussi, en radians, l'angle total balayé par la petite aiguille depuis 7 h jusqu'à cet instant précis.

Le rayon des roues d'une automobile est de $32$ cm. Si le véhicule roule à une vitesse constante de $90$ km/h, calculer la vitesse angulaire des roues en radians par seconde. Déterminer ensuite l'angle total dont tourne une roue sur un trajet de $15$ minutes et le convertir en nombre de tours complets.

Un train d'engrenages est composé de trois roues dentées A, B et C montées en série, de sorte que A engrène avec B et B engrène avec C. Les rayons primitifs des roues sont $R_A = 12$ cm, $R_B = 8$ cm et $R_C = 20$ cm. Si la roue A tourne d'un angle de $150^\circ$ dans le sens horaire, déterminer l'angle de rotation de la roue C en radians et préciser son sens de rotation.

Lors de la célèbre expérience d'Ératosthène, on observa qu'à Syène les rayons du Soleil arrivaient perpendiculairement au sol (angle $0^\circ$) à midi, le jour du solstice d'été. Au même moment, à Alexandrie, située à environ $800$ km au nord sur le même méridien, les rayons formaient un angle de $\frac{\pi}{25}$ radians avec la verticale. À partir de ces seules données, en déduire le rayon de la Terre et la longueur de sa circonférence méridienne.

Un rouleau cylindrique de $25$ cm de rayon sert à compacter l'asphalte d'une rue. Lorsqu'on le pousse, le rouleau avance en ligne droite en roulant sans glisser et effectue exactement $14,5$ tours complets. Calculer la distance horizontale parcourue par l'axe du rouleau en mètres et l'angle total dont tourne un point quelconque de sa surface, exprimé en degrés.

On considère un secteur circulaire initial de rayon $R$ et d'angle au centre $\alpha$ (en radians). On dessine un nouveau secteur circulaire dont l'aire doit être exactement égale à celle du secteur initial. Si, pour des contraintes de conception, le rayon du nouveau secteur doit être le triple de celui du secteur initial ($3R$), déterminer algébriquement quelle fraction de l'angle $\alpha$ doit avoir le nouveau secteur.

Un pendule de longueur $L = 1$ mètre oscille en décrivant des arcs de cercle ; chaque oscillation est le trajet d'une extrémité à l'extrémité opposée. Lors de sa première oscillation, l'angle maximal qu'il forme avec la verticale est de $\frac{\pi}{6}$ radians. À cause des frottements, à chaque oscillation suivante, l'angle maximal atteint diminue de $10\%$ par rapport à l'oscillation immédiatement précédente. En utilisant la somme de la série géométrique infinie correspondante, calculer la distance totale parcourue par la masse du pendule jusqu'à son arrêt complet.

Dans un parc éolien situé dans le département de la Somme, une éolienne à trois pales possède un rotor dont le rayon (longueur de chaque pale) est de $65\text{ m}$. Le rotor tourne à une vitesse angulaire constante de $14\text{ rpm}$ (tours par minute).

1. a) Modéliser la vitesse angulaire $\omega$ du rotor en l'exprimant en $\text{rad/s}$ (donner la fraction exacte en multiples de $\pi$ ainsi que la valeur décimale approchée avec trois chiffres significatifs).
2. b) Déterminer la vitesse linéaire $v$ de l'extrémité de chaque pale en $\text{m/s}$ et la convertir en $\text{km/h}$. Comparer, en justifiant, ce résultat avec la vitesse maximale autorisée sur une autoroute française ($120\text{ km/h}$) et interpréter les contraintes mécaniques subies par les extrémités des pales par rapport aux zones proches de l'axe.
3. c) Un technicien de maintenance installe un capteur de vibrations en un point intermédiaire d'une pale. Si le capteur enregistre une vitesse linéaire d'exactement $50\text{ km/h}$, calculer à quelle distance de l'axe de rotation il est placé et en déduire la longueur totale de l'arc (en kilomètres) décrit par ce capteur après une journée de fonctionnement ininterrompu de $8\text{ heures}$.

Lors d'une étape de plaine du Tour de France, un coureur roule sur un vélo de course dont la roue arrière a un rayon extérieur total de $35\text{ cm}$ (pneu compris). Le système de transmission comprend un plateau de pédalier de rayon $r_1 = 10,5\text{ cm}$ et un pignon arrière de rayon $r_2 = 4,2\text{ cm}$, reliés par une chaîne tendue, inextensible et qui ne patine pas.

1. a) Établir algébriquement la relation entre la vitesse angulaire du plateau $\omega_{\text{plateau}}$ et la vitesse angulaire de la roue arrière $\omega_{\text{roue}}$, en s'appuyant sur le fait que la chaîne transmet la même vitesse linéaire aux bords des deux pignons ($v = \omega_1 r_1 = \omega_2 r_2$). Justifier si ce développement multiplie la vitesse angulaire ou la force du cycliste.
2. b) Le vélo roule sur la route à une vitesse linéaire d'avancement constante de $42\text{ km/h}$. Par un raisonnement inverse, calculer la vitesse angulaire de la roue arrière en $\text{rad/s}$ et la cadence de pédalage du cycliste exprimée en tours par minute.
3. c) Si le cycliste parcourt un tronçon rectiligne de $2,1\text{ km}$, calculer l'angle total dont tourne la roue arrière en radians et l'angle total dont tourne l'axe du pédalier en radians. Vérifier que le quotient des deux angles coïncide avec le rapport de transmission établi à la première question.