Exercices: Fonction exponentielle

Soit la fonction exponentielle $f(x) = 3^x$. Calculer les valeurs numériques de $f(2)$, $f(-1)$, $f(0)$ et $f(\frac{1}{2})$. Exprimer les résultats de façon exacte, en utilisant des racines ou des fractions si nécessaire.

Classer les fonctions exponentielles suivantes en croissantes ou décroissantes, en justifiant la réponse à l'aide de la valeur de leur base :

• $f(x) = 4^x$

• $g(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x$

• $h(x) = 0,8^x$

• $i(x) = e^x$

Déterminer l'ensemble de définition, l'ensemble image et l'équation de l'asymptote horizontale de la fonction $f(x) = 2^x - 5$.

Résoudre l'équation exponentielle suivante en égalant les bases des deux côtés de l'égalité :

$5^{2x-1} = 125$

Une population de bactéries double toutes les heures. Si la culture contient initialement $150$ bactéries, écrire la fonction $P(t)$ qui modélise le nombre de bactéries en fonction du temps $t$ (exprimé en heures). Combien de bactéries la culture contiendra-t-elle au bout de $4$ heures ?

Calculer analytiquement les coordonnées des points d'intersection avec l'axe des abscisses et avec l'axe des ordonnées de la fonction $f(x) = 3^{x+1} - 9$.

Associer chacune des courbes étiquetées A, B, C et D de la figure suivante à sa fonction exponentielle correspondante. Les fonctions sont : $f(x) = 2^x$, $g(x) = 0,5^x$, $h(x) = 3^x$ et $i(x) = -2^x$.

Exprimer les deux membres de l'équation sous forme de puissances de base $2$ puis résoudre :

$8^x = \frac{1}{4}$

Marc doit résoudre l'équation exponentielle $3 \cdot 2^{x+1} = 48$. Sur sa copie, il écrit le développement suivant :

1. a) Repérer et expliquer en détail les deux erreurs de raisonnement commises par Marc dans les deux premières étapes de sa résolution.
2. b) Résoudre correctement l'équation étape par étape, en indiquant explicitement quelle propriété des puissances ou des fonctions exponentielles justifie chaque transformation.

La valeur de revente d'une voiture citadine achetée neuve en France $16\,000$ € se déprécie chaque année de $20\,\%$, de sorte que sa valeur au bout de $t$ années est donnée par $V(t) = 16\,000 \cdot 0,8^t$.

1. a) Sans poser d'équation, estimer de façon argumentée entre quelles deux années entières consécutives la valeur de la voiture passera pour la première fois sous la moitié de son prix initial ($8\,000$ €). Pour justifier votre estimation, calculer simplement et encadrer les valeurs de $V(1)$, $V(2)$, $V(3)$ et $V(4)$.
2. b) Vérifier votre estimation en calculant les valeurs exactes de $V(3)$ et $V(4)$ sous forme décimale. À partir des résultats, expliquer si la voiture perd chaque année la même somme en euros ou non, et expliquer le lien avec la décroissance exponentielle.

Déterminer l'expression d'une fonction exponentielle de la forme $f(x) = k \cdot a^x$ sachant que sa courbe passe par les points $(0 ; 3)$ et $(2 ; 12)$.

On place $5000$ euros sur un livret bancaire qui offre un intérêt composé annuel de $3\%$.

• Écrire la fonction donnant le capital acquis $C(t)$ au bout de $t$ années.

• Calculer le capital total acquis au bout de $10$ ans.

Résoudre l'équation exponentielle suivante en effectuant un changement de variable adapté :

$9^x - 10 \cdot 3^x + 9 = 0$

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction suivante :

$f(x) = \frac{x+2}{e^x - e^2}$

Un isotope radioactif a une demi-vie (temps nécessaire pour que sa masse initiale soit divisée par deux) de $8$ jours. On part d'un échantillon initial de $200$ grammes :

• Écrire la fonction $M(t)$ qui donne la masse restante de l'isotope en fonction du temps $t$ exprimé en jours.

• Quelle masse de cet isotope restera-t-il au bout de $24$ jours ?

Résoudre l'équation exponentielle suivante en utilisant les logarithmes :

$4^{x-1} = 15$

Donner le résultat exact à l'aide de logarithmes ainsi qu'une valeur approchée arrondie à deux décimales.

À partir de la fonction $f(x) = 2^x$, expliquer en détail quelles transformations géométriques il faut appliquer à sa courbe pour obtenir la courbe de la fonction $g(x) = 2^{x-3} + 1$. Déterminer l'ensemble de définition, l'ensemble image et l'équation de l'asymptote horizontale de $g(x)$.

La valeur d'une machine industrielle décroît exponentiellement avec le temps. Elle a été achetée $40000$ euros et on sait que chaque année elle perd $15\%$ de sa valeur par rapport à l'année précédente.

• Écrire la fonction $V(t)$ qui donne la valeur de la machine en fonction du nombre d'années écoulées.

• Quelle sera sa valeur au bout de $5$ ans ?

• Combien de temps exactement faut-il pour que sa valeur soit divisée par deux ?

Concevoir une équation exponentielle vérifiant simultanément ces trois conditions :

1. Elle se résout en effectuant le changement de variable $t = 2^x$, qui la transforme en une équation du second degré d'inconnue $t$.

2. La résolution de l'équation du second degré en $t$ donne deux racines réelles distinctes, mais l'équation exponentielle initiale d'inconnue $x$ admet une unique solution réelle, qui doit être exactement $x = 3$.

3. Le terme constant de l'équation du second degré en $t$ doit être un entier strictement négatif.

1. a) Poser l'équation en $t$ et justifier quelle valeur doit avoir la seconde racine pour qu'elle ne fournisse aucune solution réelle lorsqu'on revient à la variable initiale.
2. b) Écrire l'équation exponentielle complète d'inconnue $x$, développée sous la forme $a \cdot 4^x + b \cdot 2^x + c = 0$ avec $a, b, c \in \mathbb{Z}$.
3. c) Vérifier de façon analytique qu'en résolvant votre équation exponentielle, l'unique solution réelle obtenue est $x = 3$.

Selon les recensements du ministère espagnol de la Transition écologique et du Défi démographique (MITECO), la population de lynx ibérique dans la péninsule ibérique est passée d'environ $100$ individus en $2002$ ($t = 0$) à environ $1\,600$ individus en $2022$ ($t = 20$). On suppose un modèle de croissance exponentielle de la forme $P(t) = P_0 \cdot a^t$, où $t$ est le temps en années écoulées depuis $2002$ :

1. a) Déterminer les valeurs exactes de la constante $P_0$ et de la base de croissance annuelle $a$. Exprimer la base $a$ sous la forme d'une puissance irréductible de base $2$.
2. b) À partir de la valeur de $a$, calculer le taux de croissance annuel moyen en pourcentage prévu par ce modèle, en arrondissant à $0,1\,\%$.
3. c) En utilisant uniquement les propriétés des puissances de base $2$ (sans valeurs décimales approchées ni logarithmes), déterminer en quelle année le modèle prévoirait que la population atteigne $6\,400$ lynx. Expliquer pourquoi un modèle purement exponentiel cesse d'être réaliste sur le plan biologique lorsqu'on l'extrapole à très long terme.

La propagation d'un virus dans une population isolée de $10000$ habitants suit un modèle de croissance logistique donné par la fonction :

$P(t) = \frac{10000}{1 + 99 e^{-0,5t}}$

où $P(t)$ est le nombre de personnes contaminées et $t$ le temps écoulé en jours depuis le début de l'épidémie.

• Calculer le nombre initial de personnes contaminées à l'instant $t = 0$.

• Déterminer combien de personnes seront contaminées au bout de $10$ jours.

• Calculer le temps exact nécessaire pour que la moitié de la population soit contaminée.

Résoudre le système d'équations exponentielles suivant :

Soit la fonction $f(x) = e^{\frac{2x}{x-1}}$. Mener une étude analytique pour déterminer :

• Son ensemble de définition.

• Les points d'intersection avec les axes du repère.

• Les équations de ses asymptotes horizontales et verticales, s'il y en a.

Déterminer les valeurs des paramètres $a$ et $b$ pour que la fonction définie par morceaux suivante soit continue sur $\mathbb{R}$ :

Résoudre l'équation exponentielle suivante en factorisant après avoir utilisé les propriétés des puissances :

$2^{x+2} + 2^{x-1} - 2^{x-2} = 34$

D'après la loi de refroidissement de Newton, la température d'un objet à l'instant $t$ (en minutes) est donnée par l'expression $T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$, où $T_a$ est la température ambiante et $T_0$ la température initiale de l'objet. Une tasse de café à $90^\circ\text{C}$ est laissée dans une pièce maintenue à une température constante de $20^\circ\text{C}$. Si, au bout de $10$ minutes, la température du café est descendue à $60^\circ\text{C}$ :

• Calculer la valeur exacte de la constante de refroidissement $k$.

• Déterminer le temps total écoulé depuis le début pour que le café atteigne une température de $30^\circ\text{C}$.

Déterminer de façon analytique les intervalles sur lesquels le signe de la fonction est constant (c'est-à-dire ceux où elle est strictement positive et ceux où elle est strictement négative) pour la fonction :

$f(x) = (x^2 - 5x + 6)e^{-x}$

Le graphique ci-joint représente les fonctions $f(x) = e^x$ et $g(x) = e^{-x}$, ainsi que la droite horizontale $y = e$.

Déterminer de façon analytique les coordonnées du point d'intersection des courbes des fonctions $f(x)$ et $g(x)$. Calculer ensuite l'aire exacte du triangle dont les sommets sont ce point d'intersection et les deux points où les courbes coupent la droite $y = e$.

On considère les deux équations exponentielles suivantes :

Équation 1 : $3^{x+1} - 2 \cdot 3^{x-1} = 21$

Équation 2 : $9^x - 4 \cdot 3^{x+1} + 27 = 0$

Trois stratégies algébriques sont envisageables :

• Stratégie A : prendre les logarithmes des deux membres dès la première étape.

• Stratégie B : factoriser par la puissance de base $3$ ayant le plus petit exposant.

• Stratégie C : utiliser les propriétés des puissances pour transformer l'expression grâce au changement de variable $t = 3^x$.

1. a) Justifier pourquoi la stratégie A n'est pas envisageable comme première étape dans les deux équations, en identifiant l'erreur algébrique classique associée à $\log(u + v)$.
2. b) Pour chaque équation, choisir en justifiant la stratégie la plus adaptée entre B et C, en indiquant quelle structure algébrique particulière de l'équation motive votre choix.
3. c) Résoudre pas à pas les deux équations en utilisant dans chaque cas la stratégie que vous avez justifiée comme la plus adaptée.

À la station Météo-France de Langres (Haute-Marne), durant une nuit d'hiver, la température extérieure reste constante à $T_a = -5$ °C. Un récipient isotherme contenant un liquide à la température initiale $T_0 = 75$ °C est placé à l'extérieur. Sa température évolue selon la loi de refroidissement de Newton :

où $t$ est le temps écoulé en minutes et $a \in ]0 ; 1[$ est la base de décroissance thermique par minute.

1. a) Au bout de $15$ minutes d'exposition, la température du liquide est de $35$ °C. Calculer la valeur exacte de la base $a$ sous forme de puissance irréductible et écrire l'expression analytique finale de $T(t)$.
2. b) Démontrer formellement que $T(t)$ est strictement décroissante pour tout $t \ge 0$. Déterminer l'asymptote horizontale de la fonction lorsque $t \to +\infty$ et interpréter sa signification physique dans le contexte de l'expérience.
3. c) Un élève affirme que, si l'on attend assez longtemps, le thermomètre indiquera exactement $-5$ °C. Poser l'équation correspondante et démontrer, à partir de l'ensemble image de la fonction exponentielle, pourquoi le modèle mathématique continu contredit cette affirmation. Expliquer brièvement d'où provient cette différence entre la prédiction théorique et la réalité physique de la thermodynamique.