Exercices: Suites exponentielles. Le nombre e

Calculer la limite de la suite exponentielle suivante :

$a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{3n}$

Déterminer la valeur vers laquelle tend la suite $b_n$ lorsque $n \to \infty$ :

$b_n = \left( 1 + \frac{1}{2n} \right)^{2n}$

Déterminer la limite de la suite formée par le quotient de polynômes élevé à la puissance $n$ :

$c_n = \left( \frac{n+1}{n} \right)^n$

Indiquer quelle est la limite de la suite géométrique suivante :

$d_n = 5 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^n$

Calculer la limite de la suite de terme général :

$e_n = \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n$

Déterminer la limite de la suite suivante, sachant qu'elle présente une forme indéterminée du type $1^\infty$ :

$f_n = \left( 1 + \frac{4}{n} \right)^n$

Déterminer la limite de la suite exponentielle dont l'exposant est $n+5$ :

$g_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n+5}$

Calculer la limite de la suite :

$h_n = \left( \frac{n}{n+1} \right)^n$

Charles résout au tableau la limite de suite suivante : $\lim_{n\to\infty} \left(\frac{n+5}{n+2}\right)^{3n}$. Pour justifier son résultat, il écrit dans son cahier : « Comme $\lim_{n\to\infty} \frac{n+5}{n+2} = 1$ et que le nombre $1$ élevé à n'importe quelle puissance donne toujours $1$, la limite est simplement $1^{3n} = 1$ ».\n\na) Identifier l'erreur conceptuelle que commet Charles en traitant l'expression comme si elle n'était pas une forme indéterminée. Expliquer pourquoi, au passage à la limite, la forme $1^\infty$ n'équivaut pas automatiquement au nombre $1$.\nb) Corriger l'exercice pas à pas en utilisant la formule $\lim a_n^{b_n} = e^{\lim b_n(a_n-1)}$, en déterminant la valeur réelle de la limite comme puissance du nombre $e$.

Considérer la suite $a_n = \left(1 - \frac{1}{2n}\right)^n$.

1. a) Estimer : calculer de façon exacte les deux premiers termes, $a_1$ et $a_2$, et les exprimer sous forme décimale. Calculer aussi, à la calculatrice, $a_{10}$ et $a_{100}$. Observer si ces valeurs sont inférieures ou supérieures à $1$ et comment elles évoluent. À partir de ces observations, raisonner intuitivement : lorsqu'on élève une base inférieure à $1$ à un exposant qui croît vers $+\infty$, la base change aussi et se rapproche de $1$. Que pensez-vous qu'il arrive à la limite ? Donner une estimation de sa valeur et la justifier sans appliquer encore de formules sur les limites.

1. b) Vérifier : calculer la limite $\lim_{n\to\infty} a_n$ en appliquant la formule du nombre $e$, c'est-à-dire $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{k_n}\right)^{k_n}=e$ lorsque $k_n\to\infty$ (ou la version équivalente de la forme indéterminée $1^\infty$). Exprimer le résultat sous la forme la plus simplifiée possible et le comparer à l'estimation du a).

Calculer la limite de la suite suivante, en levant la forme indéterminée correspondante :

$a_n = \left( \frac{n+3}{n-1} \right)^{2n}$

On place $5000$ euros dans un établissement financier à un taux d'intérêt annuel de $4\%$. La formule du capital final après $n$ années avec capitalisation continue est donnée par la suite $C_n = 5000 \cdot e^{0,04n}$. Calculer le capital accumulé après $10$ années et le comparer au capital obtenu si la capitalisation était annuelle, dont l'expression est $C'_n = 5000 \cdot (1,04)^n$.

Déterminer la limite de la suite suivante en levant la forme indéterminée du type $1^\infty$ :

$b_n = \left( \frac{2n+5}{2n+1} \right)^{3n-2}$

La quantité d'un isotope radioactif dans un échantillon diminue de façon exponentielle selon la suite $M_n = 200 \cdot e^{-0,1n}$, où $n$ est le nombre d'années écoulées et $M_n$ est mesuré en grammes. Combien de grammes restera-t-il dans l'échantillon après $20$ années ? Vers quelle valeur tend la masse à long terme (lorsque $n \to \infty$) ?

Déterminer la limite de la suite combinant des polynômes du second degré dans la base :

$c_n = \left( \frac{n^2+2n}{n^2-1} \right)^{5n}$

Un véhicule perd $15\%$ de sa valeur chaque année à cause de la dépréciation. Si son prix initial chez le concessionnaire est de $24000$ euros, la valeur après $n$ années est donnée par la suite $V_n = 24000 \cdot (0,85)^n$. Quelle sera sa valeur après $5$ années ? Que se passe-t-il pour sa valeur lorsque le nombre d'années tend vers l'infini ?

Calculer la limite de la suite suivante, qui présente un exposant rationnel sous forme de fraction :

$d_n = \left( \frac{n-2}{n+4} \right)^{\frac{n^2+1}{n}}$

Dans une expérience de thermodynamique, l'écart de température entre un corps métallique et son environnement diminue exponentiellement selon la suite $T_n = 80 \cdot e^{-0,05n}$, où $n$ est le nombre de minutes écoulées depuis le début du refroidissement. Calculer l'écart de température au bout de $30$ minutes et déterminer la limite de la suite lorsque $n \to \infty$.

Pour calculer la limite $L = \lim_{n\to\infty} \left(\frac{n+4}{n-1}\right)^{2n+1}$, deux camarades de classe proposent des stratégies différentes :\n- Lucie préfère la méthode A (ajustement à la définition classique) : manipuler algébriquement la base en ajoutant et retranchant des termes pour l'écrire sous la forme $\left(1 + \frac{1}{f(n)}\right)$, puis compenser l'exposant en multipliant et divisant par $f(n)$.\n- Manon préfère la méthode B (formule générale de la forme indéterminée $1^\infty$) : vérifier que $\lim a_n = 1$ et $\lim b_n = \infty$, et calculer directement $e^{\lim b_n(a_n-1)}$.\n\na) Développer entièrement la résolution de la limite avec les deux méthodes et vérifier qu'elles conduisent au même résultat exact.\nb) Comparer les deux démarches : laquelle exige le plus de manipulations algébriques avec des fractions ? Dans laquelle y a-t-il, selon vous, le plus grand risque d'erreurs de signes ou d'exposants ? Justifier laquelle des deux méthodes vous choisiriez lors d'une évaluation et pourquoi.

Une personne en France décide de placer $12\,000\text{ \euro}$ de ses économies sur un dépôt bancaire à terme de $1$ an. L'établissement bancaire propose un taux d'intérêt nominal annuel de $4\%$ ($r = 0{,}04$) et permet de choisir la fréquence à laquelle les intérêts sont versés et réinvestis. Si les intérêts sont versés $n$ fois par an, le capital final accumulé est donné par la suite $C_n = 12\,000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}04}{n}\right)^n$.\n\na) Modéliser le capital final si l'établissement versait les intérêts de manière instantanée et continue ($n \to \infty$). Exprimer cette valeur exacte en fonction du nombre $e$ et calculer son montant arrondi au centime d'euro (sachant que $e^{0{,}04} \approx 1{,}0408108$).\nb) Calculer le bénéfice net en euros que génère le dépôt avec un versement annuel unique ($n = 1$) et le comparer au bénéfice obtenu par capitalisation continue.\nc) Une brochure commerciale affirme : « Si l'on divise l'année en périodes de plus en plus courtes (secondes, millisecondes…), vos intérêts généreront de nouveaux intérêts de façon continue, de sorte que vos gains croîtront sans plafond ». En utilisant la notion de limite et les propriétés du nombre $e$, réfuter formellement ce slogan publicitaire et déterminer quel est le gain supplémentaire maximal que la capitalisation continue offre par rapport à la capitalisation annuelle.

Déterminer la valeur du paramètre réel $a$ pour que l'égalité suivante avec le nombre $e$ soit vérifiée :

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+a}{n+1} \right)^{2n} = e^6$

Calculer la limite de la suite exponentielle formée de polynômes du second degré aussi bien dans la base que dans l'exposant :

$a_n = \left( \frac{2n^2-3n+1}{2n^2+n-5} \right)^{\frac{n^2+3}{n}}$

Un patient reçoit une dose de $50$ mg d'un médicament toutes les $24$ heures. Sachant que le corps élimine $40\%$ du médicament présent pendant cet intervalle de temps, la quantité accumulée dans le corps juste après la $n$-ième dose suit la suite géométrique $C_n = 50 + 50 \cdot 0,6 + 50 \cdot 0,6^2 + \dots + 50 \cdot 0,6^{n-1}$. Calculer la quantité accumulée à long terme (la limite de la suite lorsque $n \to \infty$).

Déterminer les valeurs des paramètres $a$ et $b$ pour que la suite suivante ait pour limite $e^{-4}$, sachant que $a$ est un nombre réel positif :

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{an+3}{2n+1} \right)^{bn} = e^{-4}$

Déterminer la limite de la suite combinant des racines carrées dans sa base et un exposant linéaire :

$c_n = \left( \sqrt{\frac{n+2}{n-1}} \right)^{3n+1}$

La concentration d'un polluant dans un lac se réduit naturellement selon un processus qui suit la suite $C_n = C_0 \left( 1 - \frac{2}{n} \right)^n$, où $n$ représente le nombre d'étapes de filtrage appliquées. Si l'on applique une infinité d'étapes de filtrage, démontrer mathématiquement à quelle fraction exacte de la concentration initiale $C_0$ le polluant sera réduit.

Calculer la limite de la suite en levant la forme indéterminée engendrée par le quotient rationnel dans l'exposant :

$d_n = \left( \frac{n^2+5n-2}{n^2+3n+1} \right)^{\frac{n^3}{n^2+1}}$

On investit $10000$ euros à un taux d'intérêt nominal annuel de $5\%$. La suite qui décrit le capital final si les intérêts sont capitalisés $n$ fois par an est $C_n = 10000 \left( 1 + \frac{0,05}{n} \right)^n$. Calculer la limite de cette suite lorsque $n \to \infty$ pour déterminer le capital final en capitalisation continue. Comparer ce résultat avec le capital obtenu si la capitalisation est trimestrielle ($n=4$).

Un professeur souhaite concevoir un exercice d'évaluation et cherche à construire une suite de la forme :\n$$a_n = \left(\frac{A n^2 + B n - 1}{3n^2 + 5}\right)^{C n}$$\noù $A$, $B$ et $C$ sont des entiers constants ($A > 0$, $B \neq 0$, $C \neq 0$).\n\na) Déterminer, en justifiant, la valeur que doit obligatoirement prendre le coefficient $A$ pour que la suite conduise à une forme indéterminée du type $1^\infty$. Expliquer ce qu'il adviendrait de la limite si $A$ était supérieur ou inférieur à cette valeur.\nb) Avec la valeur de $A$ fixée à la question précédente, établir par le calcul la relation que doivent vérifier les paramètres $B$ et $C$ pour que la limite de la suite soit exactement égale à $\frac{1}{e^2}$.\nc) À partir de la relation obtenue, proposer deux triplets distincts d'entiers $(A, B, C)$ convenant pour cet exercice. Choisir l'un d'eux et démontrer étape par étape que la limite de la suite correspondante est bien $e^{-2}$.

On considère la famille de suites exponentielles suivante dépendant d'un paramètre entier naturel $k \in \{1, 2, 3, 4, \ldots\}$ :\n$$s_n = \left(\frac{n^k + 4n}{n^k + 1}\right)^{n^3}$$\n\na) Estimer et analyser les ordres de croissance : si $k = 1$, obtient-on la forme indéterminée $1^\infty$ ? Si $k \ge 2$, la base tend vers $1$ et l'exposant vers $+\infty$. Analyser les degrés du numérateur et du dénominateur lors du calcul de la différence $(a_n - 1)$, où $a_n$ désigne la base, et en déduire pour quelle valeur critique de $k$ la vitesse à laquelle la base s'approche de $1$ compense exactement la vitesse à laquelle l'exposant $n^3$ tend vers $+\infty$, de sorte que la limite soit une puissance finie de $e$ différente de $1$ et de $+\infty$.\nb) Vérifier rigoureusement cette déduction en calculant la limite $\lim_{n\to\infty} s_n$ dans les trois cas suivants : pour $k = 2$, pour la valeur critique de $k$ obtenue, et pour $k = 5$.\nc) Au vu des résultats, énoncer une conclusion générale argumentée sur la valeur de $\lim_{n\to\infty} s_n$ selon que $k$ est inférieur, égal ou supérieur à cette valeur critique.

Défi du thème. Comment évolue un capital à intérêts composés et comment pouvons-nous le représenter dynamiquement ? Concevoir un modèle financier et géométrique à partir de données réelles.

1. Données réelles : Consulter le site de la Banque de France et relever la valeur actuelle de l'Euribor ($r$, par ex. $3,2\,\% \rightarrow r = 0,032$). Fixer un capital initial de $1000$ €.

2. Modélisation et nombre $e$ : Formuler le terme général du capital accumulé selon les périodes de capitalisation : $C_n = 1000\left(1 + \frac{r}{n}\right)^n$. Vérifier à l'aide d'un tableur s'il s'agit d'une suite croissante ou décroissante, justifier si elle est majorée et calculer sa limite lorsque $n \to \infty$ en utilisant le nombre $e$. Comparer ce modèle exponentiel avec une suite arithmétique d'épargne mensuelle constante.

3. Dynamique dans le plan complexe : Modéliser le réinvestissement trimestriel dans GeoGebra en associant à chaque étape un nombre complexe de module $C_k$ et d'argument $k\frac{\pi}{4}$ : $z_k = C_k\,e^{ik\frac{\pi}{4}}$. Multiplier successivement par $w = \left(1 + \frac{r}{4}\right)e^{i\frac{\pi}{4}}$ pour engendrer une suite géométrique de nombres complexes. Justifier, par des calculs sous forme trigonométrique, si la spirale obtenue est croissante ou décroissante.

4. Compte rendu final : Rédiger une proposition argumentée comparant les deux modèles, avec leur tableau et leur graphique.

Seront évalués :

• La rigueur dans le relevé des données réelles et la formulation du terme général.

• La justification analytique du sens de variation, du caractère majoré et du calcul de la limite avec le nombre $e$.

• L'exactitude des calculs sur les nombres complexes sous forme trigonométrique et leur représentation dans GeoGebra.