Exercices: Suite décroissante

Soit les suites suivantes définies par leur terme général. Identifier celles qui sont strictement décroissantes en calculant empiriquement leurs quatre premiers termes : $a_n = 5 - 2n$, $b_n = n^2 - 4$, $c_n = \frac{1}{2^n}$, $d_n = (-1)^n \cdot n$.

Montrer, en étudiant le signe de la différence $a_{n+1} - a_n$, que la suite polynomiale de terme général $a_n = -4n + 7$ est strictement décroissante pour tout entier naturel $n$.

Vérifier si la suite rationnelle $b_n = \frac{3}{n+2}$ est décroissante. Pour cela, écrire l'expression $b_{n+1} - b_n$ et déterminer si le résultat est inférieur ou égal à zéro pour tout $n \ge 1$.

Utiliser le critère du quotient $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ pour montrer que la suite géométrique de termes positifs $a_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n$ est strictement décroissante.

Une suite est définie par récurrence par son premier terme $a_1 = 15$ et la relation $a_{n+1} = a_n - \frac{1}{n}$. Justifier mathématiquement pourquoi cette suite est strictement décroissante pour tout $n \ge 1$.

Calculer les cinq premiers termes de la suite quadratique $c_n = -n^2 + 6n$. Est-elle décroissante dès le premier terme ? Déterminer à partir de quelle valeur de $n$ la suite devient strictement décroissante.

Indiquer si l'affirmation suivante est vraie ou fausse et justifier la réponse par un contre-exemple numérique : « Toute suite dont les termes sont tous négatifs est nécessairement une suite décroissante ».

Un alpiniste descend une montagne à un rythme constant. Son altitude en mètres à la fin de chaque heure $n$ de trajet est modélisée par la suite $h_n = 3500 - 150n$. Montrer par le calcul que la suite des altitudes $(h_n)$ est strictement décroissante.

Marc affirme en classe de mathématiques : « Comme tous les termes de la suite $a_n = -\dfrac{4}{n+2}$ sont des nombres négatifs pour toute valeur entière naturelle $n \ge 1$, la suite est nécessairement strictement décroissante ».

1. a) Identifier l'erreur conceptuelle de Marc et donner un contre-exemple numérique en calculant ses trois premiers termes ($a_1$, $a_2$ et $a_3$) pour réfuter son affirmation.
2. b) Démontrer rigoureusement le véritable sens de variation de la suite en calculant la différence $a_{n+1} - a_n$.
3. c) Expliquer pourquoi Marc n'aurait pas non plus pu recourir au critère du quotient $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} < 1$ pour étudier cette suite.

Pour étudier le sens de variation d'une suite, vous disposez de deux outils principaux : l'étude du signe de la différence $a_{n+1} - a_n$ et le critère du quotient $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} < 1$. Soit les suites $b_n = \dfrac{3n+8}{n+2}$ et $c_n = \dfrac{4^n}{n!}$ :

1. a) Choisir laquelle des deux méthodes est la plus adaptée pour la suite $b_n$, justifier ce choix et démontrer qu'elle est strictement décroissante pour tout $n \ge 1$.
2. b) Justifier pourquoi, pour la suite $c_n$, la méthode du quotient est nettement plus commode que celle de la différence, vérifier si elle remplit la condition sur le signe de ses termes pour pouvoir l'appliquer, et démontrer qu'elle est strictement décroissante à partir d'un certain rang, en indiquant quel est le premier entier naturel $n$ à partir duquel elle décroît.

Démontrer que la suite de terme général $a_n = \frac{2n+5}{3n+1}$ est strictement décroissante. Pour cela, poser l'inégalité $a_{n+1} < a_n$, effectuer les calculs algébriques et aboutir à une affirmation vraie pour tout $n \ge 1$.

Une machine industrielle perd chaque année $12\%$ de sa valeur par rapport à l'année précédente. Sa valeur initiale d'achat est de $45000$ euros. Déterminer l'expression du terme général $V_n$ qui donne sa valeur après $n$ années et démontrer que la suite $(V_n)$ est décroissante.

Considérer la suite combinant une puissance et une factorielle $b_n = \frac{5^n}{n!}$. Calculer ses six premiers termes et observer son comportement. À l'aide du critère du quotient, déterminer par le calcul à partir de quelle valeur exacte de $n$ la suite devient strictement décroissante.

Démontrer que la suite construite à l'aide de radicaux $c_n = \sqrt{n+2} - \sqrt{n}$ est strictement décroissante. Multiplier et diviser par l'expression conjuguée avant d'étudier si $c_{n+1} < c_n$.

On lâche une balle en caoutchouc d'une hauteur initiale de $5$ mètres. À chaque rebond successif, la balle atteint une hauteur égale à $\frac{3}{4}$ de la hauteur maximale du rebond précédent. Soit $h_n$ la hauteur maximale atteinte après le $n$-ième impact avec le sol. Écrire le terme général de la suite et démontrer qu'elle est strictement décroissante.

Soit la suite polynomiale $a_n = -kn^2 + 8n - 3$. Déterminer l'ensemble des valeurs que doit prendre le paramètre réel $k$ pour que la suite soit strictement décroissante pour tout $n \ge 1$.

La température en degrés Celsius d'une pièce de métal qui refroidit dans une salle à température ambiante est donnée par la suite $T_n = 20 + 80 \cdot (0,85)^n$, où $n$ représente le temps écoulé en minutes. Démontrer que $(T_n)$ est une suite décroissante et calculer algébriquement l'expression de la baisse exacte de température entre la minute $n$ et la minute $n+1$.

Étudier le sens de variation de la suite $d_n = \frac{(-1)^n}{n}$. Est-ce une suite décroissante ? Définir une nouvelle suite $e_n = |d_n|$ en prenant la valeur absolue de chaque terme et démontrer pas à pas que $(e_n)$ est bien une suite strictement décroissante.

Le ministère de la Transition écologique surveille régulièrement la réserve en eau des barrages en France. Dans un bassin du sud du pays soumis à une période sèche estivale, le volume d'eau stockée (en hectomètres cubes, $\text{hm}^3$) au fil des semaines $n \ge 1$ écoulées depuis le 1er juin est modélisé par :

1. a) Démontrer rigoureusement, par l'étude algébrique de la différence $V_{n+1} - V_n$, que la réserve en eau décroît strictement de semaine en semaine.
2. b) Déterminer si la suite est minorée et majorée. Indiquer quel est le volume maximal initial estimé ($V_1$) et justifier s'il existe un seuil minimal d'eau en dessous duquel le barrage ne descendrait jamais d'après ce modèle.
3. c) Calculer la quantité d'eau perdue entre la semaine 1 et la semaine 2 ($V_1 - V_2$), et la comparer à celle perdue entre la semaine 2 et la semaine 3 ($V_2 - V_3$). Le rythme de perte hebdomadaire s'accélère-t-il ou ralentit-il au fil du temps ?

Considérer la suite de terme général $a_n = \dfrac{12n}{n^2 + 9}$ pour $n \ge 1$.

1. a) Estimer : avant tout calcul algébrique formel, calculer les quatre premiers termes ($a_1, a_2, a_3, a_4$) et conjecturer à partir de quelle valeur entière de $n$ la suite devient strictement décroissante, en identifiant quel terme semble atteindre la valeur maximale.
2. b) Vérifier : poser formellement l'inéquation $a_{n+1} - a_n < 0$, simplifier la fraction obtenue et résoudre l'inéquation dans l'ensemble des entiers naturels pour trouver en toute rigueur le premier terme à partir duquel la suite est strictement décroissante.
3. c) Apprécier si votre estimation initiale coïncidait exactement avec le résultat algébrique et expliquer de façon argumentée pourquoi le degré du dénominateur finit par l'emporter sur celui du numérateur pour des valeurs de $n$ suffisamment grandes.

Déterminer la condition rigoureuse que doit vérifier le paramètre réel $p$ pour que la suite rationnelle $a_n = \frac{pn+4}{2n+3}$ soit strictement décroissante sur tout son ensemble de définition $n \ge 1$.

Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de nombres réels strictement positifs. Sachant que $(u_n)$ est strictement décroissante et que $(v_n)$ est également strictement décroissante, démontrer algébriquement que la suite produit définie par $w_n = u_n \cdot v_n$ est elle aussi strictement décroissante.

Considérer la suite des sommes partielles $S_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{3^i}$. Soit $E_n = \frac{1}{2} - S_n$ la suite qui mesure la distance entre $S_n$ et la limite théorique de la série infinie. Démontrer que $(E_n)$ est une suite strictement décroissante et l'exprimer sous forme explicite en fonction de $n$.

Dans un réacteur chimique, la concentration $C_n$ d'un isotope radioactif après $n$ heures est donnée par la relation de récurrence $C_1 = 100$ et $C_{n+1} = 0,5 \cdot C_n + 10$. Démontrer par récurrence que $C_{n+1} < C_n$ pour tout $n \ge 1$, et en conclure que la suite des concentrations est strictement décroissante.

La méthode de Babylone pour approcher la valeur de $\sqrt{3}$ génère une suite définie par $x_1 = 2$ et la relation de récurrence $x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{3}{x_n} \right)$. Sachant que tous les termes de la suite vérifient $x_n > \sqrt{3}$, démontrer par le calcul que $x_{n+1} < x_n$ pour tout $n \ge 1$, prouvant ainsi que la suite des approximations est strictement décroissante.

Étudier le sens de variation de la suite logarithmique $a_n = \ln\left(\frac{n+1}{n+2}\right)$. Démontrer ensuite que la suite des sommes partielles $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ est strictement décroissante et trouver une expression algébrique simplifiée de $S_n$ en appliquant les propriétés des logarithmes.

Considérer la suite définie par $a_n = \frac{3^n + 2}{3^n}$. Démontrer qu'elle est minorée par $1$ et qu'elle est strictement décroissante. Enfin, déterminer à partir de quelle valeur de $n$ la différence entre deux termes consécutifs est inférieure en valeur absolue à $10^{-4}$.

Soit la suite définie par $a_n = \frac{n^n}{n! \cdot e^n}$. Sachant que l'inégalité $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n < e$ est vérifiée pour tout entier naturel $n$, démontrer à l'aide du critère du quotient que $(a_n)$ est une suite strictement décroissante.

On souhaite concevoir un algorithme générant une suite d'approximations numériques de la forme $a_n = \dfrac{k \cdot n + 10}{n + p}$, où $k$ et $p$ sont des paramètres réels fixés. L'algorithme doit satisfaire simultanément trois exigences techniques :

1. La première valeur générée doit être exactement $a_1 = 3$.

2. Lorsque l'on avance dans le processus ($n$ de plus en plus grand), les termes se rapprochent autant qu'on veut de $2$ sans jamais devenir inférieurs ou égaux à $2$ (c'est-à-dire que $2$ est le minorant strict et la limite de la suite).

3. La suite doit être strictement décroissante pour tout $n \ge 1$.

1. a) Déterminer, en justifiant, les valeurs uniques des paramètres $k$ et $p$ à partir des exigences 1 et 2.
2. b) Avec les valeurs trouvées, démontrer rigoureusement, à l'aide de la différence $a_{n+1} - a_n < 0$, que la suite satisfait l'exigence 3 pour tout $n \ge 1$.
3. c) Étudier ce qui se passerait pour le sens de variation si, en conservant la valeur obtenue de $p$, on modifiait le paramètre $k$ pour qu'il devienne $k = 5$. Démontrer si la nouvelle suite serait strictement décroissante ou strictement croissante.

On considère la suite $a_n = \dfrac{2^n + 5}{2^{n+1} + 1}$ définie pour tout $n \ge 1$.

1. a) Démontrer rigoureusement que $(a_n)$ est strictement décroissante pour tout $n \ge 1$ en calculant la différence $a_{n+1} - a_n$. Pour calculer avec clarté, garder regroupées les puissances de base $2$ et justifier le signe final de la fraction obtenue.
2. b) Démontrer que la suite est majorée par son premier terme $a_1$ et minorée par la valeur $m = 0,5$, en prouvant algébriquement que la différence $a_n - 0,5$ est strictement positive pour tout entier naturel $n$.
3. c) En s'appuyant sur le caractère décroissant et sur le minorant trouvé, déterminer à partir de quel entier naturel $n$ la distance entre le terme $a_n$ et la valeur $0,5$ devient inférieure à un centième ($0,01$).