Exercices: Suite croissante

Écrire les quatre premiers termes de la suite $a_n = 3n - 5$ et vérifier, en calculant la différence $a_{n+1} - a_n$, qu'il s'agit d'une suite strictement croissante.

Soit la suite de terme général $b_n = \frac{n}{2} + 4$. Montrer qu'elle est croissante en vérifiant que $b_{n+1} \geq b_n$ pour tout entier naturel $n$.

Un élève décide d'économiser de l'argent pour un voyage. Le premier mois, il met de côté $10$ euros, et chaque mois suivant, il met de côté $5$ euros de plus que le mois précédent. Écrire le terme général de la somme mise de côté le mois $n$ et justifier mathématiquement pourquoi cette suite est strictement croissante.

Déterminer si la suite $c_n = n^2 + 2n$ est croissante. Pour cela, calculer algébriquement la différence entre le terme $n+1$ et le terme $n$, puis étudier le signe du résultat.

Vérifier que la suite définie par récurrence par $a_1 = 3$ et $a_{n+1} = a_n + \frac{1}{n}$ est strictement croissante pour tout $n \geq 1$.

Soit la suite géométrique $d_n = 3^n$. Utiliser la méthode du quotient (c'est-à-dire calculer $\frac{d_{n+1}}{d_n}$) pour montrer qu'elle est strictement croissante.

Un arbre fraîchement planté mesure $150$ cm. Chaque année, sa hauteur augmente de $5$ % par rapport à la hauteur de l'année précédente. Exprimer sa hauteur $h_n$ au bout de $n$ ans et justifier à l'aide du critère du quotient que la suite de ses hauteurs est croissante.

Identifier laquelle des suites suivantes est strictement croissante en calculant ses trois premiers termes et en analysant son évolution : $x_n = -2n + 10$, $y_n = \frac{1}{n}$, $z_n = \frac{n+1}{n+2}$.

Lucie veut montrer que la suite $a_n = 6n - n^2$ est strictement croissante. Pour cela, elle calcule les deux premiers termes : $a_1 = 6\cdot 1 - 1^2 = 5$ et $a_2 = 6\cdot 2 - 2^2 = 8$. Comme $a_2 > a_1$, elle affirme avec assurance que la suite est strictement croissante pour tout $n \in \mathbb{N}$.

1. a) Expliquer précisément l'erreur de raisonnement commise par Lucie en déduisant le comportement global de la suite à partir de seulement deux termes particuliers.
2. b) Trouver un contre-exemple en calculant les termes $a_3$, $a_4$ et $a_5$ pour montrer que son affirmation générale est fausse.
3. c) Écrire la définition algébrique que Lucie aurait dû vérifier pour tout $n \geq 1$ et calculer la différence $a_{n+1} - a_n$ en fonction de $n$ afin de déterminer à partir de quelle valeur de $n$ la suite cesse de croître.

On considère la suite rationnelle $a_n = \dfrac{3n - 2}{n + 1}$ pour $n \geq 1$.

1. a) Avant tout calcul algébrique compliqué, estimer intuitivement si la suite sera croissante ou décroissante en calculant mentalement les valeurs approchées de $a_1$, $a_2$ et d'un terme éloigné comme $a_{100}$. Vers quel nombre la suite semble-t-elle se rapprocher lorsque $n$ devient très grand ?
2. b) Montrer rigoureusement que la suite est strictement croissante en développant la différence $a_{n+1} - a_n$, en réduisant au même dénominateur et en justifiant le signe du numérateur et du dénominateur obtenus pour tout $n \geq 1$.
3. c) Vérifier si votre estimation initiale était juste et déterminer si la distance entre deux termes consécutifs, $a_{n+1} - a_n$, augmente ou diminue lorsque $n$ croît.

Montrer algébriquement que la suite de terme général $a_n = \frac{3n-1}{2n+5}$ est strictement croissante. Pour cela, développer l'inéquation $a_{n+1} - a_n > 0$ et justifier le signe du numérateur et du dénominateur obtenus.

Dans une expérience de cinématique, la vitesse d'un mobile à l'instant $n$ (en secondes) est donnée par la suite $v_n = 10 - \frac{20}{n+1}$ en m/s. Montrer par le calcul que le mobile accélère en permanence (la suite des vitesses est strictement croissante) et observer le graphique pour déterminer s'il dépassera à un moment les $10$ m/s.

Déterminer les valeurs du paramètre $k \in \mathbb{R}$ pour lesquelles la suite définie par $a_n = (k-3)n + 5$ est strictement croissante. Justifier la réponse à partir de la différence $a_{n+1} - a_n$.

La population d'une colonie de bactéries dans une culture contrôlée est modélisée par la suite $P_n = 200 \cdot (1,15)^n$, où $n \geq 1$ représente le nombre de jours écoulés. Utiliser le critère du quotient $\frac{P_{n+1}}{P_n}$ pour montrer rigoureusement que la population est en croissance constante.

Montrer que la suite $b_n = \frac{n^2}{n^2+1}$ est strictement croissante pour tout $n \geq 1$. Existe-t-il une valeur de $n$ pour laquelle $b_n \geq 1$ ? Justifier la réponse.

Une entreprise de technologie prévoit que ses bénéfices mensuels (en milliers d'euros) suivent la suite $B_n = 50 - \frac{100}{2^n}$. Démontrer mathématiquement que les bénéfices augmentent d'un mois au suivant.

On considère la suite avec radicaux $c_n = \sqrt{n+5}$. Montrer qu'elle est strictement croissante. Pour éviter de travailler directement avec des inégalités de racines, multiplier et diviser l'expression $c_{n+1} - c_n$ par son conjugué.

Déterminer l'ensemble des valeurs de $x \in \mathbb{R}$ pour lesquelles la suite géométrique $a_n = (2x - 1)^n$ est strictement croissante et à termes tous positifs.

Pour montrer que la suite $a_n = \dfrac{2^n}{n + 1}$ est strictement croissante pour tout $n \geq 1$, on envisage deux démarches algébriques différentes :

• Méthode 1 : Étudier le signe de la différence $a_{n+1} - a_n$.

• Méthode 2 : Appliquer le critère du quotient en étudiant si $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} > 1$.

1. a) Expliquer pourquoi il est indispensable de vérifier que tous les termes de la suite sont strictement positifs avant de pouvoir appliquer valablement la Méthode 2.
2. b) Développer entièrement la démonstration selon les deux méthodes, en simplifiant au maximum les expressions algébriques obtenues dans chacune.
3. c) Comparer les deux procédés et justifier lequel est le plus rapide et le plus pratique lorsque interviennent des expressions exponentielles comme $2^n$.

RTE surveille l'intégration de la puissance solaire photovoltaïque au réseau métropolitain. Un modèle de prévision de la puissance cumulée installée dans une région au cours des prochains semestres ($n \geq 1$) est donné, en gigawatts ($\text{GW}$), par le terme général $P_n = \dfrac{12n + 5}{2n + 9}$.

1. a) Montrer par le calcul que la puissance cumulée sera strictement croissante tout au long des semestres en prouvant que $P_{n+1} - P_n > 0$ pour tout $n \geq 1$.
2. b) Un rapport technique affirme que, puisque la puissance croît toujours d'un semestre au suivant, on dépassera à coup sûr les $7\text{ GW}$ avec le temps. Utiliser vos connaissances sur le comportement de cette suite pour confirmer ou infirmer cette affirmation en justifiant.
3. c) Calculer l'augmentation de puissance entre le premier et le deuxième semestre ($P_2 - P_1$) et la comparer à l'augmentation entre le dixième et le onzième ($P_{11} - P_{10}$). Interpréter ce que signifie concrètement le fait que la suite croisse alors que la différence entre termes consécutifs devient de plus en plus petite.

Montrer que la suite rationnelle $a_n = \frac{pn+q}{rn+s}$ (en supposant que $r > 0$ et $rn+s > 0$ pour tout $n \geq 1$) est strictement croissante si et seulement si la condition $ps - qr > 0$ est vérifiée.

Étudier la croissance de la suite $a_n = \frac{n^2+k}{n}$, où $k$ est un nombre réel. Montrer que la suite est strictement croissante pour tout $n \geq 1$ si et seulement si le paramètre $k$ vérifie la condition $k < 2$.

Dans un procédé de chauffage industriel, la température d'un alliage métallique à la minute $n$ suit la loi $T_n = 120 - 90(0,75)^n$ en degrés Celsius. Montrer mathématiquement que la température est strictement croissante. À partir du graphique, en déduire si la suite est majorée.

Soit la suite définie comme la somme partielle $S_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{n^2}$. Justifier par le calcul pourquoi cette suite est strictement croissante et en déduire si la différence entre termes consécutifs augmente ou diminue lorsque $n$ devient très grand.

Montrer que la suite de terme général $a_n = \sqrt{n^2+n} - n$ est strictement croissante. Indice : multiplier et diviser par l'expression conjuguée avant d'étudier la différence $a_{n+1} - a_n$.

Étudier le sens de variation de la suite $x_n = \frac{2^n}{n!}$. Montrer qu'elle n'est pas strictement croissante pour tout $n$, en indiquant à partir de quel terme précis elle commence à décroître strictement.

Un réseau de serveurs enregistre le temps de latence moyen (en millisecondes) au moyen de la suite récurrente $u_1 = 2$, $u_{n+1} = \sqrt{6 + u_n}$. Sachant que tous les termes générés sont positifs et strictement inférieurs à $3$, montrer, en étudiant le signe de $u_{n+1}^2 - u_n^2$, que la suite est strictement croissante.

Soit la suite $a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$. Sachant que cette suite modélise la croissance d'un capital soumis à des intérêts composés de 100 % par an avec $n$ capitalisations (dont la limite est la capitalisation continue), calculer ses trois premiers termes pour vérifier empiriquement qu'elle croît. Ensuite, amorcer sa démonstration générale en développant le binôme de Newton pour $a_n$ et $a_{n+1}$.

Concevoir une suite rationnelle de la forme $a_n = \dfrac{a\cdot n + b}{n + 3}$ (où $a$ et $b$ sont des entiers fixés) vérifiant simultanément les trois conditions suivantes :

1. Son premier terme est négatif : $a_1 = -1$.

2. Elle est strictement croissante pour tout $n \geq 1$.

3. Aucun terme de la suite n'atteint ni ne dépasse la valeur $4$ (c'est-à-dire $a_n < 4$ pour tout $n \geq 1$).

Pour cela :

1. a) Traduire chacune des trois conditions en relations ou inéquations algébriques faisant intervenir les paramètres $a$ et $b$.
2. b) Déduire l'ensemble des valeurs entières admissibles pour $a$ et choisir un couple concret $(a\,;\,b)$ qui vérifie toutes les conditions imposées, en écrivant le terme général définitif de votre suite.
3. c) Démontrer avec rigueur, à partir de l'étude algébrique de la différence $a_{n+1} - a_n$, que la suite que vous avez construite est bien strictement croissante pour tout $n \geq 1$.

Charles essaie de démontrer que la suite avec radicaux $a_n = \sqrt{n^2 + 5n} - n$ est strictement croissante pour tout $n \geq 1$. Pour étudier la différence $a_{n+1} - a_n$, il écrit :

$a_{n+1} - a_n = \left(\sqrt{(n+1)^2 + 5(n+1)} - (n+1)\right) - \left(\sqrt{n^2 + 5n} - n\right) = \sqrt{n^2 + 7n + 6} - \sqrt{n^2 + 5n} - 1$.

Ne sachant pas comment justifier le signe de cette expression, il décide d'élever chaque terme au carré séparément et écrit :

$(\sqrt{n^2 + 7n + 6})^2 - (\sqrt{n^2 + 5n})^2 - 1^2 = (n^2 + 7n + 6) - (n^2 + 5n) - 1 = 2n + 5$.

Comme $2n + 5 > 0$ pour tout $n \geq 1$, il conclut que la suite est strictement croissante.

1. a) Expliquer en détail l'erreur algébrique commise par Charles et montrer à l'aide d'un exemple numérique élémentaire pourquoi l'opération qu'il a effectuée ne conserve ni le signe ni l'ordre d'une différence de termes.
2. b) Corriger l'exercice en démontrant rigoureusement que la suite est strictement croissante. Pour cela, réécrire le terme général $a_n$ en multipliant et en divisant par son expression conjuguée, et en déduire à partir de cette fraction que $a_{n+1} > a_n$ pour tout $n \geq 1$.
3. c) Déterminer par le calcul s'il existe un majorant pour cette suite et trouver le plus petit entier $M$ vérifiant $a_n < M$ pour tout $n \geq 1$.