Exercices: Suites arithmétiques

Écrire le terme général et calculer le vingtième terme de la suite arithmétique suivante : $7, 11, 15, 19, \dots$

Dans une suite arithmétique, le premier terme est $a_1 = -5$ et la raison est $d = \frac{3}{2}$. Calculer la valeur du terme de rang $40$.

Soit la suite définie par le terme général $b_n = 5 - 3n$. Démontrer qu'il s'agit d'une suite arithmétique et déterminer la valeur de sa raison.

Calculer la somme des $30$ premiers termes d'une suite arithmétique sachant que le premier terme est $a_1 = 4$ et que le trentième terme est $a_{30} = 91$.

Le huitième terme d'une suite arithmétique est $32$ et sa raison est $d = 4$. Déterminer le premier terme $a_1$ et l'expression de son terme général $a_n$.

Déterminer si le nombre $102$ appartient à la suite arithmétique de terme général $c_n = 4n - 6$. Si oui, indiquer quel rang il occupe dans la suite.

Calculer la somme des $50$ premiers multiples positifs de $6$ (c'est-à-dire la somme de la suite $6, 12, 18, \dots$).

Les trois premiers termes d'une suite arithmétique sont $x$, $x+4$ et $2x-1$. Calculer la valeur numérique de $x$ et écrire ces trois premiers termes.

Marc doit résoudre l'exercice suivant : « Insérer $3$ moyennes arithmétiques entre les nombres $8$ et $28$ ». Sur sa copie, il écrit :

« Comme il faut intercaler $3$ nombres, la raison entre termes consécutifs se calcule en divisant l'écart total par $3$ :

Donc les termes demandés sont : $8 + 6,67 = 14,67$ ; $14,67 + 6,67 = 21,34$ ; et $21,34 + 6,67 = 28,01$ ».

1. a) Repérer l'erreur conceptuelle commise par Marc et expliquer, à l'aide de l'idée d'« intervalles » ou de « sauts » entre les termes, pourquoi son dénominateur est incorrect.
2. b) Corriger la résolution en calculant la valeur exacte de la raison $d$ et écrire les $3$ moyennes arithmétiques correctes.

Alexandre prépare une course populaire de $10\text{ km}$ dans sa commune. Sa entraîneuse lui a prescrit un plan de $20$ jours consécutifs de course : le premier jour il parcourra $2\text{ km}$ et, chaque jour suivant, il augmentera la distance d'exactement $300\text{ m}$ ($0,3\text{ km}$) par rapport au jour précédent.

1. a) Avant d'appliquer une formule, faire une estimation argumentée du volume total : s'il courait tous les jours à la distance du premier jour, il cumulerait $40\text{ km}$, et s'il courait tous les jours la distance du dernier jour, il cumulerait nettement plus. Estimer mentalement entre quelles deux valeurs rondes (multiples de $10$) se situera la somme totale et dire s'il est vraisemblable qu'elle dépasse $100\text{ km}$.
2. b) Modéliser la distance quotidienne par une suite arithmétique, déterminer la distance parcourue le jour $20$ et calculer avec la formule de la somme le total exact de kilomètres parcourus pendant les $20$ jours.
3. c) Vérifier si l'estimation initiale était juste et réfléchir à la question de savoir si l'augmentation quotidienne proposée est adaptée pour éviter les blessures.

Une entreprise de construction met en place un plan de primes mensuelles pour motiver ses employés. Le premier mois, un employé reçoit $50$ €, le deuxième mois $65$ €, le troisième mois $80$ €, et ainsi de suite. Quelle somme totale l'employé aura-t-il reçue en primes au bout de $2$ années complètes de travail ?

Une cycliste commence son plan d'entraînement en parcourant $12$ km le premier jour. Pour améliorer son endurance, chaque jour elle augmente la distance de son parcours de $1,5$ km par rapport au jour précédent. Quel jour de son entraînement parcourra-t-elle exactement $42$ km ? Combien de kilomètres aura-t-elle parcourus au total en additionnant tous les jours jusqu'à ce jour inclus ?

Dans une suite arithmétique, on sait que le quatrième terme est $15$ et que le dixième terme est $39$. Poser un système d'équations pour calculer la raison $d$ et le premier terme $a_1$. Déterminer ensuite la somme des $20$ premiers termes de cette suite.

Insérer cinq moyennes arithmétiques entre les nombres $-8$ et $22$. Écrire la suite arithmétique complète obtenue en indiquant sa raison.

Un théâtre a ses fauteuils disposés en éventail. La première rangée compte $20$ fauteuils, la deuxième $24$, la troisième $28$, et ainsi de suite en progression arithmétique. Si le théâtre compte au total $15$ rangées, combien y a-t-il de fauteuils dans la dernière rangée ? Quelle est la capacité d'accueil totale (nombre total de fauteuils) du théâtre ?

Un objet en chute libre sur une planète fictive parcourt $4,9$ m pendant la première seconde. À chaque seconde suivante, la distance parcourue pendant cette seconde augmente de $9,8$ m par rapport à la distance parcourue la seconde précédente. Quelle distance l'objet parcourt-il uniquement pendant la dixième seconde de sa chute ?

Dans une suite arithmétique, le premier terme est $a_1 = 3$ et la raison est $d = 2$. Si la somme des $n$ premiers termes est $S_n = 360$, poser l'équation du second degré correspondante et déterminer le nombre de termes $n$ qui ont été additionnés.

Pour reboiser une forêt après un incendie, une brigade forestière plante des arbres de façon progressive. La première semaine, elle parvient à planter $120$ arbres, mais en raison de la fatigue accumulée et de la moindre disponibilité de terrain accessible, chaque semaine elle plante $5$ arbres de moins que la semaine précédente. Combien de semaines s'écouleront jusqu'à ce que la brigade ait planté exactement $1470$ arbres au total ? (Remarque : analyser mathématiquement les solutions possibles et justifier laquelle a un sens dans le contexte du problème.)

Après les incendies de forêt survenus dans la région de la Sierra de la Culebra (Zamora), un collectif écologiste organise des journées dominicales de reboisement avec des espèces locales. La première semaine, il parvient à planter $140$ plants. Les semaines suivantes, grâce à l'arrivée continue de nouveaux bénévoles, il plante chaque semaine $25$ plants de plus que la semaine précédente.

1. a) Écrire l'expression du terme général $a_n$ qui détermine combien de plants sont plantés la semaine $n$.
2. b) L'objectif de la campagne municipale est d'atteindre un cumul d'au moins $3\,500$ plants plantés au total. Poser l'équation du second degré qui permet de trouver à quelle semaine cet objectif sera atteint.
3. c) Résoudre l'équation, indiquer combien de semaines complètes de travail seront nécessaires et interpréter la signification algébrique de la solution négative en l'écartant par un argument contextuel.

Dans une suite arithmétique, on sait que le terme de rang cinq vaut $a_5 = 19$ et que le terme de rang dix-huit vaut $a_{18} = 71$. Pour déterminer la raison $d$ et le premier terme $a_1$, deux élèves proposent des chemins différents :

• Pauline pose un système de deux équations linéaires à deux inconnues à partir de la formule classique :

• Serge propose de relier directement les deux termes en comptant le nombre de sauts qui les séparent :

1. a) Résoudre le problème avec les deux méthodes et vérifier que l'on obtient les mêmes valeurs pour $d$ et $a_1$.
2. b) Justifier quelle méthode est la plus efficace dans ce cas (moins d'étapes de calcul et moindre risque d'erreur algébrique).
3. c) En utilisant la méthode que vous jugez la plus avantageuse, déterminer rigoureusement si le nombre $250$ peut être un terme de cette suite ou s'il est impossible qu'il en fasse partie.

Dans une suite arithmétique de raison $d = 3$, le premier terme est $a_1 = -10$. Calculer la somme des termes compris entre le rang $20$ et le rang $40$, ces deux rangs étant inclus.

Les angles intérieurs d'un hexagone convexe sont en progression arithmétique. Sachant que le plus grand angle mesure $140^\circ$, calculer la mesure des cinq autres angles intérieurs de l'hexagone. (Rappel : la somme des angles intérieurs d'un polygone à $n$ côtés est $180^\circ \cdot (n-2)$.)

Déterminer les valeurs du paramètre $k$ pour que les expressions littérales $k^2 - 2$, $3k + 1$ et $k^2 + 4k$ soient trois termes consécutifs d'une suite arithmétique. Pour chaque valeur de $k$ trouvée, écrire les trois termes correspondants.

La somme des $n$ premiers termes d'une suite est donnée par l'expression $S_n = 2n^2 + 5n$. Déterminer l'expression du terme général $a_n$ et démontrer rigoureusement que cette suite est une suite arithmétique.

Dans un entrepôt industriel, on empile des tubes d'acier cylindriques de sorte que chaque rangée compte exactement un tube de moins que la rangée immédiatement inférieure sur laquelle elle repose. Si la rangée la plus haute (le sommet) ne compte $1$ seul tube et qu'il y a en tout $210$ tubes empilés, combien de rangées de tubes composent l'empilement ? Combien y a-t-il de tubes dans la rangée de base posée sur le sol ?

Déterminer trois nombres en progression arithmétique sachant que leur somme est $24$ et que la somme de leurs carrés est $242$.

Démontrer algébriquement que si les nombres $a^2$, $b^2$ et $c^2$ sont en progression arithmétique, alors les nombres $\frac{1}{b+c}$, $\frac{1}{a+c}$ et $\frac{1}{a+b}$ forment aussi une progression arithmétique.

Une entreprise achète une machine industrielle pour $32000$ € et convient de la payer par mensualités formant une suite arithmétique. Sachant que la première mensualité est de $500$ € et que la dernière sera de $2700$ €, en combien de mois l'entreprise soldera-t-elle sa dette ? Quelle est l'augmentation mensuelle exacte de la mensualité par rapport au mois précédent ?

Au lieu de donner les termes d'une suite arithmétique pour en calculer la somme, on connaît uniquement la fonction polynôme qui donne la somme cumulée de ses $n$ premiers termes :

1. a) Déduire de façon argumentée la valeur du premier terme $a_1$ en évaluant convenablement $S_1$.
2. b) À partir du principe $a_n = S_n - S_{n-1}$ (pour tout $n \ge 2$), obtenir l'expression simplifiée du terme général $a_n$ en fonction de $n$.
3. c) Démontrer formellement que la suite obtenue est une suite arithmétique en calculant la différence $a_n - a_{n-1}$ et en vérifiant qu'elle est constante.
4. d) Poser maintenant le problème inverse complémentaire : concevoir l'expression algébrique de la somme $S_n$ correspondant à une suite arithmétique dont le premier terme est $a_1 = 10$ et dont la raison est $d = -3$. Vérifier que l'expression est correcte en calculant avec elle $S_4$ et en la comparant à la somme calculée à la main des quatre premiers termes.

Un auditorium municipal à Bordeaux prévoit de renouveler les fauteuils de son parterre principal avec une disposition en trapèze échelonné. La réglementation technique et la conception de l'espace imposent les conditions suivantes :

1. La première rangée (la plus proche de la scène) comptera $a_1 = 15$ places.

2. Chaque rangée suivante aura exactement $2$ places de plus que la précédente ($d = 2$).

3. Pour des raisons de sécurité et de largeur des voies d'évacuation, la capacité totale de la salle ne peut en aucun cas dépasser $650$ spectateurs, mais la mairie exige de maximiser la capacité sans dépasser cette limite.

4. La profondeur physique de la salle ne permet pas de construire plus de $25$ rangées.

1. a) Modéliser algébriquement la capacité cumulée $S_n$ en fonction du nombre de rangées $n$.
2. b) Poser l'inéquation de capacité $S_n \le 650$, résoudre l'équation du second degré associée et déterminer, en justifiant le choix dans l'ensemble des nombres entiers naturels, le nombre exact de rangées $n$ à installer pour atteindre la capacité maximale autorisée.
3. c) Indiquer combien de fauteuils comptera la dernière rangée installée et à combien s'élève la capacité totale définitive de l'auditorium.
4. d) Si, pour des raisons de visibilité, on décide finalement de supprimer les $5$ premières rangées complètes (le public commençant à s'asseoir à partir de ce qui était auparavant la rangée $6$) tout en conservant la même dernière rangée calculée à la question précédente, combien de fauteuils utilisables restera-t-il dans l'auditorium ? Le résoudre en appliquant les propriétés de la somme de termes d'une suite arithmétique, sans calculer rangée par rangée.