Exercices: Droites et points remarquables d'un triangle

Calculer les coordonnées du centre de gravité du triangle dont les sommets sont $A(1 ; 2)$, $B(3 ; -4)$ et $C(-1 ; 5)$.

Déterminer l'équation réduite de la médiane issue du sommet $A$ dans le triangle de sommets $A(0 \,;\, 0)$, $B(4 \,;\, -2)$ et $C(2 \,;\, 6)$.

Déterminer l'équation cartésienne de la hauteur issue du sommet $B$ dans le triangle de sommets $A(-2 ; 1)$, $B(4 ; 3)$ et $C(1 ; -5)$.

Calculer l'équation cartésienne de la médiatrice du côté $AB$ d'un triangle sachant que les sommets correspondants sont $A(2\,;\,5)$ et $B(-4\,;\,1)$.

Déterminer les coordonnées de l'orthocentre du triangle rectangle de sommets $A(0\,;\,0)$, $B(6\,;\,0)$ et $C(0\,;\,4)$.

Calculer les coordonnées du centre du cercle circonscrit au triangle de sommets $A(0 ; 0)$, $B(8 ; 0)$ et $C(0 ; 6)$.

Vérifier analytiquement si le point $P(1 ; 2)$ est le centre de gravité du triangle de sommets $A(2 ; 3)$, $B(-1 ; 4)$ et $C(5 ; 1)$.

Calculer les équations des deux bissectrices des angles formés par les droites qui portent les côtés d'un triangle, dont les équations sont $3x-4y+1=0$ et $4x+3y-5=0$.

Lors d'un contrôle de mathématiques de première, on demande de déterminer l'équation cartésienne de la hauteur issue du sommet $A$ dans le triangle de sommets $A(1 ; 3)$, $B(-2 ; 1)$ et $C(4 ; -1)$.

Marc rend la résolution suivante :

1) Il détermine le milieu du côté $BC$ : $M = \left(\frac{-2+4}{2} ; \frac{1+(-1)}{2}\right) = (1 ; 0)$.

2) Il calcule le coefficient directeur du côté $BC$ : $m_{BC} = \frac{-1-1}{4-(-2)} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.

3) Il en déduit le coefficient directeur de la perpendiculaire : $m_\perp = 3$.

4) Il écrit la droite de coefficient directeur $3$ passant par $M(1 ; 0)$ : $y - 0 = 3(x - 1) \implies 3x - y - 3 = 0$.

Identifier et expliquer en détail l'erreur conceptuelle commise par Marc : quelle droite remarquable a-t-il réellement calculée à la place de la hauteur ? Rédiger ensuite la démarche correcte et obtenir l'équation cartésienne de la hauteur demandée.

Dans un triangle $\triangle ABC$, on connaît deux sommets : $A(-3 ; 2)$ et $B(5 ; -4)$. On sait de plus que son centre de gravité est situé au point $G(1 ; 1)$.

1. a) Poser les équations vectorielles ou analytiques nécessaires et déterminer en justifiant les coordonnées du troisième sommet $C$.
2. b) Avec les coordonnées des trois sommets ainsi calculées, classer le triangle selon la longueur de ses côtés (équilatéral, isocèle ou scalène), en justifiant la réponse par le calcul explicite de leurs longueurs.
3. c) Déterminer une équation cartésienne de la droite qui porte la médiane issue du sommet $C$.

Trois arbres d'une plantation agricole sont situés aux points $A(1\,;\,1)$, $B(5\,;\,3)$ et $C(1\,;\,5)$ (coordonnées exprimées en dizaines de mètres). On souhaite installer un arroseur équidistant des trois arbres. Calculer les coordonnées du point où il doit être placé (centre du cercle circonscrit) et le rayon de portée de l'eau nécessaire pour les arroser.

Trois antennes de télécommunications forment un triangle de sommets $A(-4 ; 0)$, $B(2 ; -2)$ et $C(5 ; 5)$. Calculer l'emplacement du centre de gravité pour y placer un émetteur central, et déterminer la distance exacte de cet émetteur à l'antenne $C$.

Dans un triangle de sommets $A(1 ; 2)$, $B(3 ; 4)$ et $C(a ; b)$, on sait que le centre de gravité est le point $G(2 ; 1)$. Calculer les coordonnées du sommet $C$ et une équation de la médiane issue de ce sommet.

Un bâtiment a un plan triangulaire de sommets $A(-1 ; -1)$, $B(5 ; -1)$ et $C(2 ; 5)$. Calculer les coordonnées de l'orthocentre de ce triangle.

L'orthocentre d'un triangle est le point $H(2\,;\,2)$. On connaît deux de ses sommets, $A(-1\,;\,3)$ et $B(4\,;\,1)$. Calculer les coordonnées du sommet $C$.

Étant donné le triangle de sommets $A(0 ; 0)$, $B(4 ; 0)$ et $C(2 ; 6)$, déterminer les coordonnées de son centre de gravité et de son orthocentre. Obtenir ensuite l'équation cartésienne de la droite d'Euler passant par ces deux points.

Un triangle a pour sommets $A(1 ; 1)$ et $B(5 ; 1)$. Le sommet $C$ se trouve sur la droite d'équation $y = x+2$. Sachant que le triangle est isocèle et que le côté différent des deux autres est $AB$, déterminer les coordonnées du sommet $C$ et du centre de son cercle circonscrit.

Trois refuges de montagne sont situés aux coordonnées $A(0 ; 4)$, $B(4 ; 0)$ et $C(-2 ; -2)$ (exprimées en kilomètres). Un hélicoptère de secours se maintient en vol stationnaire au centre du cercle circonscrit au triangle formé par les refuges. Calculer les coordonnées de l'hélicoptère et le rayon du cercle qui passe par les trois refuges.

On considère le triangle de sommets $A(-4 ; 0)$, $B(4 ; 0)$ et $C(0 ; 6)$.

1. a) Estimer avant de calculer : en observant les coordonnées et la symétrie du triangle par rapport à l'axe des ordonnées, sur quelle droite doivent nécessairement se situer le centre de gravité $G$, l'orthocentre $H$ et le centre du cercle circonscrit $O$ ? Déterminer en outre la nature de l'angle au sommet $C$ (en calculant le signe du produit scalaire $\vec{CA} \cdot \vec{CB}$) pour déterminer si l'orthocentre et le centre du cercle circonscrit seront à l'intérieur ou à l'extérieur du triangle.
2. b) Calculer : obtenir analytiquement les coordonnées du centre du cercle circonscrit $O$ (par l'intersection des médiatrices ou la condition d'équidistance aux sommets) et de l'orthocentre $H$ (en intersectant deux hauteurs).
3. c) Vérifier : déterminer les coordonnées du centre de gravité $G$ à l'aide de sa formule directe et vérifier si vos estimations de la question a) étaient correctes. Vérifier numériquement si la relation de la droite d'Euler $\vec{HG} = 2\,\vec{GO}$ est satisfaite.

Le dispositif de lutte contre les incendies de forêt de la Corse analyse l'emplacement d'un poste de commandement avancé héliporté pour coordonner trois tours de guet situées aux points $A(1 ; 3)$, $B(8 ; 10)$ et $C(9 ; 3)$, dont les coordonnées sont données en kilomètres par rapport au centre de la région. La commission technique envisage deux critères :

• Critère 1 (Équidistance) : placer le poste au centre du cercle circonscrit $O$, de sorte que la distance en ligne droite à chacune des trois tours soit exactement la même.

• Critère 2 (Centre de masse) : placer le poste au centre de gravité $G$, de sorte à minimiser le déplacement moyen habituel de l'hélicoptère.

1. a) Modéliser analytiquement les deux critères en calculant les coordonnées exactes de la base selon le critère 1 et selon le critère 2.
2. b) Si l'hélicoptère de reconnaissance a un rayon d'action garanti de $6\text{ km}$ sans ravitaillement depuis son poste de commandement, déterminer en justifiant si les deux emplacements permettent d'atteindre les trois tours dans cette limite de sécurité.

Étant donné un triangle rectangle quelconque dont les sommets sont $A(0 ; 0)$, $B(a ; 0)$ et $C(0 ; b)$ avec $a, b > 0$, démontrer analytiquement que son orthocentre coïncide avec l'origine du repère et que le centre de son cercle circonscrit est exactement le milieu de l'hypoténuse.

Les sommets d'un triangle sont $A(1 ; 0)$, $B(3 ; 0)$ et $C(t ; 2t)$, où $t$ est un paramètre réel qui détermine la position du sommet $C$ sur une droite. Déterminer l'équation du lieu géométrique décrit par le centre de gravité du triangle lorsque $t$ varie.

D'un triangle $ABC$, on connaît le sommet $A(1 ; 3)$ et les équations de deux de ses médianes : $x-2y+1=0$ et $y-1=0$. Calculer les coordonnées des sommets $B$ et $C$.

Étant donnés les sommets d'un triangle $A(-2 ; -1)$, $B(4 ; -1)$ et $C(1 ; 5)$, déterminer les coordonnées de l'orthocentre $H$, du centre de gravité $G$ et du centre du cercle circonscrit $O$. Démontrer analytiquement que la distance entre l'orthocentre et le centre de gravité est le double de la distance entre le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit ($HG = 2GO$).

Trois routes se croisent en formant un triangle délimité par les droites $x=0$, $y=0$ et $3x+4y-12=0$. Calculer les coordonnées du centre du cercle inscrit pour y placer un rond-point tangent aux trois voies, ainsi que le rayon de ce rond-point.

Dans un triangle $ABC$, le sommet $A$ a pour coordonnées $(-1 ; 2)$. Les hauteurs issues des sommets $B$ et $C$ sont portées respectivement par les droites d'équations $x-y+1=0$ et $2x+y-4=0$. Déterminer les coordonnées des sommets $B$ et $C$.

On connaît le sommet $A(2 ; 5)$ d'un triangle $ABC$. Les médiatrices des côtés $AB$ et $AC$ ont pour équations $x-y+2=0$ et $2x+y-3=0$, respectivement. Déterminer les coordonnées des sommets $B$ et $C$.

Déterminer les coordonnées des sommets $B$ et $C$ d'un triangle sachant que le sommet $A$ est $(-3 ; 1)$, que le centre de son cercle circonscrit est le point $O(5 ; 2)$ et que son centre de gravité est $G(4 ; 2)$.

Pour calculer les coordonnées du centre du cercle circonscrit $O$ du triangle de sommets $A(1 ; 5)$, $B(-1 ; 1)$ et $C(5 ; -2)$, trois élèves proposent des stratégies différentes :

• Stratégie A : obtenir les équations de deux médiatrices (en calculant des milieux et des vecteurs normaux) et résoudre le système linéaire $2 \times 2$.

• Stratégie B : exiger l'égalité des distances $d(O, A)^2 = d(O, B)^2 = d(O, C)^2$ pour un point quelconque $O(x ; y)$, développer les identités remarquables et résoudre le système linéaire obtenu.

• Stratégie C : vérifier d'abord les propriétés géométriques particulières du triangle (en calculant les produits scalaires entre les vecteurs de ses côtés) au cas où il serait rectangle, auquel cas une propriété du cours permet de déterminer directement le centre du cercle circonscrit.

1. a) Comparer de façon critique les stratégies A et B : combien d'étapes algébriques chacune demande-t-elle et dans laquelle est-il plus facile de commettre des erreurs de signe ou de calcul ?
2. b) Appliquer la stratégie C : calculer les vecteurs $\vec{BA}$ et $\vec{BC}$, effectuer leur produit scalaire $\vec{BA} \cdot \vec{BC}$ et interpréter géométriquement le résultat obtenu.
3. c) En s'appuyant sur la conclusion de la question b), obtenir les coordonnées du centre du cercle circonscrit $O$ avec le minimum de calculs et justifier pourquoi cette stratégie est très supérieure aux deux autres pour ce triangle précis.

Dans un triangle non équilatéral $\triangle ABC$, les coordonnées des sommets $B$ et $C$ ont été égarées, mais on connaît avec certitude les données suivantes :

• Le centre du cercle circonscrit du triangle est $O(1 ; -2)$.

• L'orthocentre du triangle est $H(7 ; 4)$.

• L'un des sommets est $A(-1 ; 2)$.

1. a) Déduire en justifiant les coordonnées du centre de gravité $G$ en utilisant la propriété vectorielle de la droite d'Euler ($\vec{HG} = 2\,\vec{GO}$), en démontrant qu'il n'est pas nécessaire de connaître au préalable les sommets $B$ et $C$.
2. b) Sachant que le centre de gravité divise la médiane issue de $A$ dans le rapport $2:1$ à partir de ce sommet (c'est-à-dire $\vec{AG} = 2\,\vec{GM_A}$, où $M_A$ est le milieu du côté $BC$), déterminer les coordonnées de $M_A$.
3. c) Justifier pourquoi la droite passant par le centre du cercle circonscrit $O$ et par le milieu $M_A$ est nécessairement la médiatrice du segment $BC$. Écrire son équation cartésienne et en déduire le coefficient directeur de la droite qui porte le côté $BC$.
4. d) Expliquer en justifiant comment on pourrait déterminer exactement les coordonnées des deux sommets manquants, $B$ et $C$, à partir de l'intersection de la droite qui porte le côté $BC$ avec le cercle circonscrit de centre $O$ et de rayon $R = d(O, A)$ (il n'est pas nécessaire de résoudre l'équation du second degré obtenue : il suffit de formuler la démarche et de justifier pourquoi elle donne exactement deux solutions).

Défi du thème. Où placeriez-vous un héliport d'urgence pour desservir de façon optimale trois communes de votre département ?

1. Recueil de données : Accéder au Géoportail de l'IGN ou à Google Maps et choisir trois localités formant un triangle. Fixer une origine d'un repère orthonormé (en km) afin d'obtenir les coordonnées des trois sommets : $A$, $B$ et $C$.

2. Construction et droites remarquables : Reporter les points dans GeoGebra. Déterminer par le calcul les milieux des côtés ainsi que les équations réduites et cartésiennes de deux médiatrices. Étudier leur position relative et calculer les coordonnées de leur point d'intersection afin d'obtenir le centre du cercle circonscrit (point d'évacuation équidistant).

3. Distances et angles : Déterminer la distance euclidienne de l'héliport à chaque commune ainsi que la distance à la droite passant par $A$ et $B$. Déterminer aussi l'angle au sommet $A$ en degrés et en radians ($rad$) à partir des vecteurs directeurs des côtés.

4. Proposition argumentée : Rédiger un compte rendu d'une page, accompagné de la figure GeoGebra, qui justifie s'il est préférable de construire la base au centre du cercle circonscrit ou au centre de gravité.

Seront évalués :

• La rigueur dans le calcul des équations, des distances et dans la conversion des angles.

• L'exactitude dans la détermination des milieux, des points remarquables et des positions relatives.

• L'usage précis de GeoGebra et la cohérence de la justification du choix du lieu.