Exercices: Positions relatives de deux droites

Déterminer la position relative des droites $r: 2x - 3y + 5 = 0$ et $s: -4x + 6y - 10 = 0$ en comparant directement leurs coefficients.

Étant données les droites $r: y = \frac{3}{2}x - 1$ et $s: y = \frac{3}{2}x + 4$, indiquer leur position relative en justifiant la réponse à partir de la valeur de leurs coefficients directeurs.

Étudier la position relative de la droite $r$, passant par les points $A(1\,;\,2)$ et $B(3\,;\,5)$, et de la droite $s: \frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{3}$.

Calculer les coordonnées exactes du point d'intersection des droites sécantes $r: x + 2y - 4 = 0$ et $s: 3x - y - 5 = 0$.

Déterminer la valeur du paramètre $k$ pour que les droites $r: kx + 4y - 2 = 0$ et $s: 3x - 2y + 5 = 0$ soient strictement parallèles.

Deux drones d'exploration suivent des trajectoires rectilignes décrites par les équations $r: x - y + 2 = 0$ et $s: 2x + y - 8 = 0$. Calculer les coordonnées du point du plan où leurs trajectoires se croisent.

Déterminer la position relative des droites données sous forme paramétrique $r: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -3 + t \end{cases}$ et $s: \begin{cases} x = 5 - 4\lambda \\ y = 2 - 2\lambda \end{cases}$.

Déterminer la valeur de $m$ pour que les droites $r: mx - 6y + 1 = 0$ et $s: 2x + 3y - 4 = 0$ soient sécantes et non parallèles.

Lucie doit déterminer la position relative des droites $r: 4x - 6y + 3 = 0$ et $s: \dfrac{x - 1}{3} = \dfrac{y + 2}{2}$. Dans sa copie, elle écrit le raisonnement suivant :

« La droite $r$ a pour coefficient directeur $m_r = -\dfrac{4}{6} = -\dfrac{2}{3}$. Pour la droite $s$, un vecteur directeur est $\vec{v}_s = (3, 2)$, donc son coefficient directeur est $m_s = \dfrac{2}{3}$. Comme les coefficients directeurs ont des signes différents ($-\dfrac{2}{3} \ne \dfrac{2}{3}$), je conclus que les droites sont sécantes et se coupent en un unique point ; s'ils avaient le même signe, elles seraient parallèles ».

Identifier et expliquer de façon argumentée les deux erreurs (l'une de calcul algébrique et l'autre de concept) commises par Lucie. Ensuite, résoudre correctement l'exercice en déterminant la véritable position relative des deux droites par comparaison de leurs vecteurs directeurs ou de leurs coefficients directeurs.

Étant donné la droite $r: 3x - 4y + 12 = 0$, établir et déterminer les équations cartésiennes de deux droites distinctes, $s$ et $t$, vérifiant respectivement les conditions géométriques suivantes :

1. a) La droite $s$ doit être parallèle à $r$ et passer exactement par l'origine du repère $(0 ; 0)$.
2. b) La droite $t$ doit être parallèle à $r$, mais son ordonnée à l'origine doit être le triple de celle de $r$.

Justifier algébriquement pourquoi aucune des trois droites ($r$, $s$ et $t$) n'est confondue avec les autres, en étudiant la proportionnalité de leurs coefficients.

Dans un système de sécurité, deux faisceaux laser sont modélisés dans un repère du plan. Le premier faisceau suit la droite $r: x + y - 6 = 0$ et le second passe par les émetteurs situés en $P(2\,;\,1)$ et $Q(-2\,;\,-1)$. Déterminer si les faisceaux laser sont parallèles, confondus ou sécants. S'ils sont sécants, déterminer le point d'intersection exact.

Les trajectoires de deux avions sur l'écran d'un radar bidimensionnel sont données par $r: \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 1 - t \end{cases}$ et $s: \begin{cases} x = -1 + 2\lambda \\ y = 4 + \lambda \end{cases}$. Vérifier si les routes se croisent et, si oui, calculer le point d'intersection des trajectoires dans le plan.

Discuter la position relative des droites $r: (m-1)x + 2y - 3 = 0$ et $s: 4x + (m+1)y - 6 = 0$ selon les valeurs possibles du paramètre $m$.

Calculer la valeur de $k$ pour que les droites $r: 2x - y + 1 = 0$, $s: x + y - 4 = 0$ et $t: 3x + ky - 2 = 0$ soient concourantes en un même point du plan.

Un architecte conçoit deux allées rectilignes dans un parc. L'allée A a pour direction le vecteur $\vec{u} = (4 ; -2)$ et passe par la fontaine située en $F(0 ; 5)$. L'allée B est donnée par l'équation $x + 2y - 10 = 0$. Démontrer analytiquement que les deux allées sont superposées, c'est-à-dire qu'il s'agit en réalité de la même droite.

Déterminer les coordonnées des sommets du triangle formé par l'intersection des trois droites $r: x - y - 2 = 0$, $s: 2x + 3y - 9 = 0$ et $t: x + 4y - 12 = 0$.

Étant données les droites $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3}$ et $s: 3x - 2y + k = 0$, déterminer s'il existe une valeur du paramètre $k$ pour laquelle les droites sont confondues. Justifier la réponse de façon analytique.

Un rayon lumineux, dans une expérience d'optique, suit la trajectoire décrite par la droite $r: x - 2y + 4 = 0$. Un miroir plan est placé exactement sur l'axe des abscisses ($y = 0$). Déterminer les coordonnées du point d'incidence du rayon sur le miroir.

Étant données les droites $r: 3x - 2y + 7 = 0$ et $s: \begin{cases} x = 1 - 4\lambda \\ y = 2 - 6\lambda \end{cases}$ (avec $\lambda \in \mathbb{R}$), on souhaite déterminer leur position relative et trouver leur point d'intersection s'il existe. Pour cela, on propose deux stratégies :

• Méthode A : Transformer la droite $s$ en son équation cartésienne $Ax + By + C = 0$ et comparer la proportionnalité des coefficients $\frac{A_1}{A_2}$, $\frac{B_1}{B_2}$ et $\frac{C_1}{C_2}$.

• Méthode B : Substituer directement les expressions paramétriques de $x(\lambda)$ et $y(\lambda)$ de la droite $s$ dans l'équation cartésienne de $r$ et résoudre l'équation du premier degré obtenue en $\lambda$.

Appliquer les deux méthodes pas à pas pour déterminer la position relative des droites et justifier laquelle des deux procédures est la plus directe, la plus efficace et la moins exposée aux erreurs dans ce cas particulier.

Le centre de sauvetage en mer de Marseille surveille deux embarcations au large des côtes à l'aide de coordonnées cartésiennes (où $1\text{ unité} = 1\text{ mille marin}$). Une vedette de sauvetage navigue en ligne droite le long de la droite $r$, qui passe par le point $A(-1 ; 3)$ et a pour direction le vecteur $\vec{u}\,(2 ; -1)$. Au même moment, un cargo suit une route décrite par l'équation $s: x + 2y - 15 = 0$.

1. a) Déterminer, en justifiant, la position relative des deux trajectoires. Existe-t-il un risque de collision si les deux navires poursuivaient indéfiniment leur route ? S'ils se coupent, déterminer les coordonnées du point de rencontre.
2. b) À la suite d'une avarie de gouvernail, le cargo modifie sa trajectoire et suit désormais la droite $s_k: kx + 6y - 10 = 0$. Calculer la valeur exacte de $k$ pour que le nouveau cap soit strictement parallèle à celui de la vedette de sauvetage, puis étudier s'il existe une valeur de $k$ pour laquelle les deux trajectoires seraient confondues.

Discuter la position relative des droites $r: ax + y - b = 0$ et $s: 2x - ay + 4 = 0$ en réalisant une étude exhaustive selon les valeurs simultanées des paramètres $a$ et $b$.

Trois routes rectilignes sont modélisées dans un plan topographique par les équations $r: x + 2y - 4 = 0$, $s: 2x - y - 3 = 0$ et $t: ax + y - 2 = 0$. Déterminer les valeurs du paramètre $a$ pour lesquelles les trois routes sont concourantes en un unique point ou parallèles entre elles, empêchant ainsi la formation d'un triangle délimité par ces routes.

Un parallélogramme a deux de ses côtés sur les droites $r: x - 2y + 4 = 0$ et $s: x - 2y - 6 = 0$. Un autre de ses côtés se trouve sur la droite $t: 2x + y - 2 = 0$. Sachant que l'un des sommets du parallélogramme est le point $P(4 ; 4)$, déterminer l'équation de la droite qui contient le quatrième côté et calculer les coordonnées exactes des quatre sommets.

Déterminer la ou les valeurs de $k$ pour que le point d'intersection des droites sécantes $r: 2x + ky - 6 = 0$ et $s: x - y + 2 = 0$ appartienne à la bissectrice du premier et du troisième quadrant ($y = x$).

On considère la famille (faisceau) de droites définie par l'expression $(2x - y + 1) + k(x + 2y - 3) = 0$. Démontrer que toutes les droites de ce faisceau passent par un même point fixe et calculer ses coordonnées. Ensuite, déterminer l'équation cartésienne de la droite de ce faisceau qui est parallèle à $s: 3x - 4y + 5 = 0$.

Une bille de billard suit la trajectoire donnée par la droite $r: x - y + 2 = 0$ et rebondit sur la bande représentée par la droite $s: x + 2y - 8 = 0$. Sachant que l'angle d'incidence est égal à l'angle de réflexion, calculer les coordonnées du point exact où la bille heurte la bande et déterminer l'équation de la droite décrivant la trajectoire après le rebond.

Étant données les droites $r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - 2\lambda \end{cases}$ et $s: ax + by - 5 = 0$, calculer les valeurs des paramètres $a$ et $b$ pour que les deux droites soient confondues. Ensuite, déterminer l'équation cartésienne d'une droite perpendiculaire à toutes deux et passant par l'origine du repère.

Les orbites projetées de deux comètes dans un plan spatial suivent les trajectoires $r: (m+1)x + my - 2 = 0$ et $s: mx + (m-1)y - 1 = 0$. Déterminer s'il existe une valeur de $m$ pour laquelle les trajectoires sont strictement parallèles. Pour quelles valeurs de $m$ les orbites se coupent-elles en un unique point ?

On considère les droites $r: x - 2y + 4 = 0$ et $s: 3x + y - 9 = 0$.

1. a) Estimer : Sans résoudre algébriquement le système d'équations ni les représenter à l'échelle, déduire par un raisonnement dans quel quadrant du repère ces deux droites se coupent nécessairement, et démontrer pourquoi l'abscisse de ce point d'intersection appartient strictement à l'intervalle ouvert $]0 ; 3[$. Fonder cette estimation exclusivement sur le signe des coefficients directeurs et sur les points d'intersection de chaque droite avec les axes du repère.
2. b) Vérifier : Résoudre analytiquement le système formé par les équations de $r$ et $s$ pour déterminer les coordonnées exactes du point d'intersection $P(x ; y)$.
3. c) Évaluer : Confronter le résultat analytique obtenu avec l'estimation initiale et réfléchir à la manière dont l'analyse qualitative préalable permet de détecter des incohérences dans des calculs algébriques.

Dans le plan affine, on considère deux droites fixes, $r: x - y - 1 = 0$ et $s: 2x + y - 5 = 0$, ainsi qu'une troisième droite dépendant d'un paramètre réel : $t_k: kx + y - 7 = 0$.

On souhaite étudier à quelles conditions les trois droites délimitent un triangle dans le plan.

1. a) Expliquer de façon déductive quelles sont les deux seules causes géométriques pour lesquelles trois droites coplanaires (sachant que $r$ et $s$ sont déjà sécantes) ne forment PAS un triangle.
2. b) Poser les conditions algébriques de position relative pour calculer les valeurs de $k$ qui rendent $t_k$ parallèle à la droite $r$ ou parallèle à la droite $s$. Vérifier en outre si, pour l'une de ces valeurs, $t_k$ est confondue avec elles.
3. c) Déterminer la valeur de $k$ pour laquelle les trois droites sont concourantes, c'est-à-dire passent simultanément par le même point.
4. d) À partir des questions précédentes, déterminer avec précision l'ensemble des valeurs de $k \in \mathbb{R}$ pour lesquelles les trois droites déterminent bien un triangle.