Exercices: Équations d'une droite du plan

Écrire une équation vectorielle et une représentation paramétrique de la droite passant par le point $A(3\,;\,-2)$ et de vecteur directeur $\vec{v}(-1\,;\,4)$.

Étant donné la droite définie par la représentation paramétrique $x = 2 - 3t$, $y = 1 + 5t$, l'exprimer sous forme continue puis donner une équation cartésienne.

Déterminer le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de la droite d'équation cartésienne $4x - 2y + 8 = 0$.

Écrire l'équation de la droite passant par les points $P(-1\,;\,5)$ et $Q(2\,;\,-1)$ sous la forme point-coefficient directeur.

Vérifier si les points $M(4\,;\,-3)$ et $N(1\,;\,2)$ appartiennent à la droite d'équation continue $\frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{-2}$.

Déterminer l'équation réduite de la droite passant par l'origine du repère et de coefficient directeur $m = -\frac{3}{5}$.

Écrire les équations cartésiennes de la droite horizontale passant par le point $H(-7\,;\,4)$ et de la droite verticale passant par le point $V(3\,;\,-9)$.

Étant donnée l'équation cartésienne $5x + 7y - 11 = 0$, indiquer un vecteur directeur, un vecteur normal et un point de la droite.

Lors d'un contrôle de mathématiques, Alexandre doit écrire l'équation continue de la droite passant par le point $A(-3 ; 5)$ et de vecteur directeur $\vec{v} = (2 ; -4)$. Sur sa copie, il écrit :

Lors de la correction, son professeur signale que la réponse contient une erreur conceptuelle très répandue.

1. a) Identifier précisément les deux erreurs de signe commises par Alexandre dans les numérateurs de l'expression.
2. b) Expliquer l'origine de cette erreur en déduisant l'équation continue pas à pas à partir de la représentation paramétrique : écrire d'abord $x = a_1 + t\cdot v_1$ et $y = a_2 + t\cdot v_2$ avec les données de l'énoncé, puis exprimer le paramètre $t$ dans chacune pour démontrer pourquoi les signes doivent être opposés à ceux qu'a écrits Alexandre.
3. c) Écrire l'équation continue correcte et, à partir de celle-ci, en déduire l'équation cartésienne de la droite en simplifiant au maximum les coefficients entiers.

Concevoir la trajectoire rectiligne d'un robot de transport dans un centre logistique en respectant les spécifications suivantes :

1. a) Écrire une représentation paramétrique d'une droite passant par le point $P(4 ; -1)$ et dont le coefficient directeur est exactement $m = -\frac{2}{3}$.
2. b) À partir des données précédentes, écrire directement l'équation de la droite sous la forme point-coefficient directeur en prenant comme référence le point $P$.
3. c) Une camarade affirme qu'une autre représentation paramétrique valable de la même droite est $x = 1 - 6k$, $y = 1 + 4k$ ($k \in \mathbb{R}$). Vérifier si le point qu'elle a utilisé comme point de départ appartient à la droite et si son vecteur directeur est colinéaire au vôtre. Conclure en expliquant pourquoi les représentations paramétriques d'une droite ne sont pas uniques et quels éléments peuvent varier tout en représentant géométriquement la même droite.

Un drone de surveillance se déplace en ligne droite à vitesse constante du point $A(10 ; 20)$ au point $B(50 ; 80)$, les coordonnées étant exprimées en mètres. Écrire une représentation paramétrique de sa trajectoire et indiquer quelles seront ses coordonnées lorsqu'il aura parcouru exactement la moitié du trajet.

Le coût de production d'un composant électronique suit un modèle affine. Fabriquer $100$ unités coûte $450$ €, et fabriquer $250$ unités coûte $825$ €. Déterminer l'équation réduite qui relie le coût $y$ au nombre d'unités $x$, puis calculer le coût fixe de production (le coût lorsque l'on fabrique $0$ unités).

Déterminer la valeur du paramètre $k$ pour que la droite d'équation $3x - ky + 5 = 0$ passe par le point $P(-2 ; 1)$. Une fois $k$ trouvé, écrire l'équation de la droite sous forme continue.

Dans la conception d'un pont suspendu, l'un des câbles tendeurs en acier doit relier le point d'ancrage $P(0 ; 15)$ à la base $Q(40 ; 0)$ (coordonnées en mètres). Déterminer l'équation cartésienne de la droite qui définit le câble et déterminer à quelle hauteur il se trouve lorsque la distance horizontale à l'axe $Y$ est de $16$ mètres.

Déterminer l'équation cartésienne de la droite passant par le point $A(-4 ; 6)$ et parallèle à la droite passant par les points $B(1 ; 1)$ et $C(3 ; -5)$.

Une canalisation souterraine suit la trajectoire donnée par la représentation paramétrique $x = -5 + 2t$, $y = 12 - 3t$ (en km). Déterminer en quels points exacts la canalisation coupe les axes du repère.

Calculer l'aire du triangle formé par la droite $2x + 5y - 20 = 0$ et les axes du repère.

Exprimer la droite $y = -\frac{1}{4}x + 2$ sous forme vectorielle et trouver trois points distincts lui appartenant, dont au moins un d'abscisse négative.

Considérer la droite $r$ passant par les points $A(-2 ; 7)$ et $B(4 ; -5)$.

1. a) Avant de calculer toute équation :

• Observer comment varient les coordonnées en passant de $A$ à $B$ et estimer le signe du coefficient directeur (la droite monte-t-elle ou descend-elle de gauche à droite ?).

• Sachant que le point $A$ a $x = -2$ avec $y = 7$ et que le point $B$ a $x = 4$ avec $y = -5$, estimer en justifiant si l'ordonnée à l'origine $n$ (l'intersection avec l'axe $Y$, où $x = 0$) sera positive ou négative, et si sa valeur sera plus proche de $7$ ou de $-5$.

1. b) Écrire l'équation continue de la droite $r$ et la transformer par des étapes algébriques soignées jusqu'à obtenir son équation réduite $y = mx + n$.
2. c) À partir de l'équation réduite, calculer les coordonnées exactes des points d'intersection avec l'axe des ordonnées ($x = 0$) et avec l'axe des abscisses ($y = 0$). Vérifier si la valeur de l'ordonnée à l'origine coïncide avec l'estimation initiale et justifier géométriquement pourquoi cette valeur se situe à cette hauteur.

On cherche l'équation cartésienne de la droite $s$ passant par le point $P(-3 ; 2)$ et perpendiculaire à la droite $r: 2x - 5y + 11 = 0$. Deux élèves proposent des stratégies différentes :

• Méthode de Sergio : Exprimer $y$ dans la droite $r$ pour trouver son coefficient directeur $m_r$ ; calculer le coefficient directeur perpendiculaire $m_s = -\frac{1}{m_r}$ ; écrire l'équation sous la forme point-coefficient directeur avec $P(-3 ; 2)$ puis, enfin, supprimer les dénominateurs et regrouper les termes pour obtenir l'équation cartésienne.

• Méthode d'Irène : Obtenir directement à partir des coefficients de $r$ son vecteur normal $\vec{n}_r = (2 ; -5)$ ; en déduire que ce vecteur est un vecteur directeur de la droite perpendiculaire $s$ ; en tirer un vecteur normal pour $s$, $\vec{n}_s = (5 ; 2)$ ; et poser l'équation $5x + 2y + C = 0$, en déterminant $C$ par substitution des coordonnées de $P$.

1. a) Comparer les deux approches en analysant leurs avantages et inconvénients : nombre d'étapes, apparition de fractions intermédiaires et risque d'erreurs de calcul sur les signes.
2. b) Justifier laquelle des deux méthodes est la plus efficace et la plus directe pour cet exercice.
3. c) Appliquer la méthode choisie comme préférable pour déterminer l'équation cartésienne de $s$.

Déterminer les valeurs des paramètres $a$ et $b$ pour que la droite donnée par la représentation paramétrique $x = a + 2t$, $y = 3 - bt$ soit la même que la droite d'équation cartésienne $4x + 3y - 10 = 0$.

Un rayon laser part du point $A(2\,;\,5)$, frappe un miroir plan situé le long de l'axe des abscisses, se réfléchit et passe par le point $B(8\,;\,3)$. Sachant que l'angle d'incidence est égal à l'angle de réflexion, déterminer les équations des droites portant le rayon incident et le rayon réfléchi, ainsi que le point exact de rebond sur le miroir.

Les côtés d'un triangle sont portés par les droites $r: x - 2y + 4 = 0$, $s: 3x + y - 9 = 0$ et $t: x + 5y + 4 = 0$. Calculer les coordonnées de ses trois sommets et déterminer, en calculant les longueurs de ses côtés, la nature de ce triangle.

Démontrer que si une droite coupe les axes du repère aux points $(a ; 0)$ et $(0 ; b)$, avec $a \neq 0$ et $b \neq 0$, son équation peut s'écrire sous la forme segmentaire $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$. Utiliser ce résultat pour déterminer l'équation d'une droite qui forme avec les axes du repère un triangle d'aire $12 \text{ u}^2$ sachant que $a = 2b$ et que $a$ et $b$ sont strictement positifs.

Deux avions se déplacent dans le plan d'un radar. L'avion $A$ suit la trajectoire $x = 2 + 3t$, $y = 1 + 4t$, et l'avion $B$ suit la trajectoire $x = 10 - t$, $y = -2 + 5t$ (où $t$ est le temps en minutes et les coordonnées sont en km). Déterminer le point exact où leurs trajectoires se croisent et déterminer si les avions entrent en collision (c'est-à-dire s'ils passent par ce point au même instant $t$).

Déterminer l'équation de la droite passant par le point d'intersection des droites $r: 2x - y + 5 = 0$ et $s: x + 3y - 1 = 0$, et formant avec les demi-axes négatifs du repère un triangle isocèle.

Étant donnés le point $P(3 ; 4)$ et la droite $r: 2x + y - 5 = 0$, déterminer les coordonnées d'un point $Q$ situé sur l'axe des ordonnées de sorte que la droite passant par $P$ et $Q$ ait la même ordonnée à l'origine que la droite $r$.

Considérer le faisceau de droites défini par l'équation $(2 + k)x + (1 - 2k)y + (3k - 4) = 0$. Déterminer le centre du faisceau (le point par lequel passent toutes les droites quelle que soit la valeur de $k$) et déterminer la valeur de $k$ pour laquelle la droite du faisceau a un coefficient directeur de $\frac{3}{5}$.

Lors d'une étude météorologique de l'AEMET (agence météorologique espagnole) dans le parc national de la Sierra Nevada (Grenade, Espagne), on analyse la variation de la température avec l'altitude au cours d'une journée d'hiver anticyclonique. À la station de Pradollano (cote $x_1 = 2100\text{ m}$), on mesure à midi une température de $y_1 = 8,4\ ^\circ\text{C}$, tandis qu'à la station proche du sommet du Veleta (cote $x_2 = 3100\text{ m}$) le thermomètre indique simultanément $y_2 = 1,9\ ^\circ\text{C}$. On suppose un comportement affine entre l'altitude $x$ (en mètres) et la température $y$ (en $^\circ\text{C}$).

1. a) Écrire l'équation continue qui modélise cette relation affine en prenant Pradollano comme point de référence et un vecteur directeur dont les composantes traduisent la variation de température pour chaque $1000\text{ m}$ de montée.
2. b) Transformer cette équation sous forme réduite $y = mx + n$. Interpréter avec rigueur physique la signification du coefficient directeur $m$ (gradient thermique vertical) et de l'ordonnée à l'origine $n$. La valeur numérique de $n$ a-t-elle un sens physique si on la compare à une température vraisemblable au niveau de la mer ($x = 0$) sur la côte méditerranéenne andalouse ?
3. c) Utiliser le modèle affine pour calculer l'altitude de la limite pluie-neige (isotherme zéro : altitude où la température descend jusqu'à $0\ ^\circ\text{C}$). À partir de ce résultat, justifier si un alpiniste atteignant le sommet du Mulhacén ($3479\text{ m}$) relèvera des températures positives ou négatives au même instant.

Une droite $r$ de coefficient directeur négatif passe par le point $A(2 ; 3)$ et coupe les demi-axes positifs du repère aux points $P(p ; 0)$ et $Q(0 ; q)$, déterminant avec l'origine un triangle rectangle situé dans le premier quadrant dont l'aire vaut exactement $12\text{ u}^2$.

1. a) Montrer pas à pas que l'équation continue de la droite passant par $(p ; 0)$ et $(0 ; q)$ peut se réécrire sous la forme segmentaire $\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1$.
2. b) Sachant que le point $A(2 ; 3)$ appartient à la droite et que l'aire du triangle est $\frac{p\cdot q}{2} = 12$, poser un système de deux équations d'inconnues $p$ et $q$.
3. c) Résoudre le système et montrer qu'il n'existe qu'un seul couple de valeurs réelles $(p ; q)$ vérifiant simultanément les deux conditions. Avec ces valeurs, écrire l'équation cartésienne de la droite.
4. d) Analyser algébriquement pourquoi le discriminant de l'équation du second degré obtenue en résolvant le système est exactement nul pour une aire de $12\text{ u}^2$, et interpréter géométriquement ce qui se passerait pour l'existence de droites passant par $A(2 ; 3)$ si l'on avait exigé que l'aire du triangle soit plus petite, par exemple $10\text{ u}^2$.