Exercices: Angle entre deux droites. Parallélisme et perpendicularité

Calculer l'angle aigu formé par les droites $r: 2x - y + 4 = 0$ et $s: 3x + y - 1 = 0$.

Déterminer l'équation cartésienne de la droite parallèle à $y = 3x - 5$ passant par le point $P(2 ; -1)$.

Déterminer l'équation de la droite perpendiculaire à $x + 4y - 7 = 0$ passant par l'origine du repère. Exprimer le résultat sous forme réduite.

Étant données les droites $r: kx - 2y + 5 = 0$ et $s: 3x + 4y - 1 = 0$, déterminer la valeur du paramètre $k$ pour que les deux droites soient parallèles.

Déterminer la valeur de $m$ pour que les droites $r: 5x + 2y = 0$ et $s: mx - 5y + 3 = 0$ soient perpendiculaires.

Calculer l'angle formé par les droites données par leurs équations réduites $y = 2x + 1$ et $y = -3x + 4$.

Indiquer parmi les droites suivantes lesquelles sont parallèles et lesquelles sont perpendiculaires entre elles :

• $r_1: 2x - 3y + 1 = 0$

• $r_2: 6x + 4y - 5 = 0$

• $r_3: -4x + 6y + 7 = 0$

Déterminer l'angle que forme la droite $\sqrt{3}x - y + 2 = 0$ avec la direction positive de l'axe des abscisses.

Marcos doit calculer la mesure de l'angle formé par les droites $r: 2x - y + 3 = 0$ et $s: 3x + y - 5 = 0$. Pour cela, il exprime leurs coefficients directeurs et obtient $m_r = 2$ et $m_s = -3$. Ensuite, il applique la formule de l'angle :

Marcos en déduit que $\alpha = \arctan(-1) = -45^\circ$ et argumente : « Comme un angle géométrique entre deux droites ne peut pas être négatif, j'ajoute $180^\circ$ et la solution est $135^\circ$ ».

1. a) Relever les deux erreurs conceptuelles commises par Marcos (l'une dans la formule appliquée elle-même et l'autre dans l'interprétation de l'angle qui définit la position relative de deux droites sécantes).
2. b) Expliquer pourquoi, en géométrie euclidienne, l'angle entre deux droites est toujours pris non obtus, c'est-à-dire compris dans l'intervalle $[0^\circ ; 90^\circ]$ (ou $[0 ; \pi/2]\text{ rad}$).
3. c) Corriger la démarche et calculer la mesure correcte de l'angle aigu, en l'exprimant en degrés et en radians (en fonction de $\pi$).

On considère les droites $r: y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + 1$ et $s: y = \sqrt{3}x - 4$.

1. a) Sans utiliser encore les formules de calcul de l'angle entre deux droites, relier le coefficient directeur de chaque droite à son angle d'inclinaison par rapport au demi-axe positif des abscisses ($m = \tan \theta$). À partir de cette relation, estimer par un raisonnement la valeur exacte de l'angle aigu $\alpha$ qu'elles forment entre elles (en degrés et en radians).
2. b) Vérifier analytiquement cette estimation en calculant l'angle à l'aide du produit scalaire de leurs vecteurs directeurs avec l'expression $\cos \alpha = \frac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}$.
3. c) Vérifier à nouveau le résultat en appliquant la formule de la tangente à partir des coefficients directeurs : $\tan \alpha = \left|\frac{m_s - m_r}{1 + m_s \cdot m_r}\right|$. Pourquoi les trois démarches coïncident-elles et à quoi sert-il d'estimer avant de calculer ?

Dans l'aménagement d'un parc, une nouvelle avenue doit être perpendiculaire à la rue principale définie par l'équation $3x - 4y + 10 = 0$. De plus, cette avenue doit passer par le point d'intersection des rues secondaires $x + y - 2 = 0$ et $2x - y - 4 = 0$. Déterminer l'équation cartésienne de la nouvelle avenue.

Calculer les valeurs du paramètre $k$ pour que la droite $kx + y - 2 = 0$ forme un angle de $45^\circ$ avec la droite d'équation $x - 2y + 1 = 0$.

Un rayon laser se propage le long de la droite $y = -2x + 5$ et se réfléchit sur un miroir plan situé sur l'axe des abscisses. Calculer l'angle d'incidence (angle entre le rayon et la normale au miroir) et déterminer l'équation de la droite qui contient le rayon réfléchi.

Deux avions suivent des trajectoires rectilignes sur l'écran d'un radar, données par les équations $r: x - 3y + 2 = 0$ et $s: 2x + ky - 5 = 0$. Déterminer la ou les valeurs de $k$ pour que leurs routes se croisent en formant un angle exact de $60^\circ$.

Étant donné un triangle de sommets $A(1 ; 2)$, $B(5 ; 3)$ et $C(4 ; 6)$, déterminer l'équation cartésienne de la hauteur issue du sommet $A$ et calculer l'angle que forme cette hauteur avec le côté $AB$.

Dans le plan d'une structure métallique, une poutre de soutien principale repose sur la droite passant par les nœuds $P(-2 ; 4)$ et $Q(4 ; 1)$. On doit souder une seconde poutre perpendiculaire à la première exactement en son milieu. Déterminer l'équation réduite de la droite qui définit cette seconde poutre.

Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal de l'origine du repère $(0 ; 0)$ sur la droite d'équation $2x - 5y + 10 = 0$.

Deux bras robotisés dans une usine se déplacent sur des rails rectilignes. Le premier suit la droite $r: 3x + 4y - 12 = 0$ et le second la droite $s: ax + 8y - 5 = 0$.

1. Déterminer $a$ pour que les rails soient parallèles.

2. Déterminer l'équation d'un troisième rail transversal perpendiculaire aux deux premiers et coupant le rail $r$ exactement en son point d'intersection avec l'axe des ordonnées.

On considère les droites du plan $r: x - \sqrt{3}y + 6 = 0$ et la droite verticale $s: x = -3$.

1. a) Essayer de calculer l'angle aigu entre $r$ et $s$ à l'aide de la formule des coefficients directeurs $\tan \alpha = \left|\frac{m_r - m_s}{1 + m_r \cdot m_s}\right|$. Expliquer quelle limitation mathématique ou quelle indétermination apparaît lorsqu'on veut attribuer une valeur numérique à $m_s$ et pourquoi cette formule n'est pas directement exploitable.
2. b) Poser le calcul en utilisant les vecteurs directeurs $\vec{u}_r$ et $\vec{u}_s$ ainsi que la formule du cosinus. Justifier pourquoi l'approche vectorielle est plus générale et avantageuse dans ce cas.
3. c) Déterminer la valeur de l'angle aigu $\alpha$ par la méthode vectorielle et l'exprimer en degrés et en radians (sous la forme d'une fraction irréductible de $\pi$).

Dans un projet d'infrastructure ferroviaire de la SNCF aux abords de Paris, la voie principale suit la droite $r: 3x - 4y + 12 = 0$ (dans un repère du plan gradué en kilomètres). Un nouvel embranchement vers un terminal logistique est prévu sur la droite $s: x - 7y - 5 = 0$.

La réglementation de l'Établissement public de sécurité ferroviaire (EPSF) stipule que si l'angle aigu de divergence entre deux alignements est supérieur à $0,26\text{ rad}$ (environ $15^\circ$), un branchement direct à vitesse conventionnelle n'est pas admissible et il faut prévoir une courbe de transition avec décélération préalable.

1. a) Modéliser la situation en calculant l'angle aigu $\alpha$ formé par les deux voies. Déterminer la valeur exacte de $\tan \alpha$ et la mesure de $\alpha$ en degrés et en radians (avec trois décimales).
2. b) Statuer, en justifiant la conclusion à l'aide du calcul précédent, si l'infrastructure nécessite obligatoirement cette courbe de décélération.
3. c) On prévoit une voie secondaire d'évitement $t$ partant du point où $r$ coupe l'axe des abscisses et rigoureusement perpendiculaire à la voie principale $r$. Déterminer l'équation cartésienne de $t$ en vérifiant la perpendicularité à l'aide de la relation entre les coefficients directeurs.

Déterminer les équations des bissectrices des angles formés par les droites $r: 3x - 4y + 5 = 0$ et $s: 12x + 5y - 1 = 0$. Démontrer analytiquement, à l'aide de leurs vecteurs directeurs ou de leurs coefficients directeurs, que ces deux bissectrices sont perpendiculaires entre elles.

Les diagonales d'un losange sont contenues dans les droites $r: x + 2y - 4 = 0$ et $s: 2x - y - 3 = 0$. Sachant que l'un de ses sommets est $A(0 ; 2)$ et que la longueur de son côté est $\sqrt{20}$, déterminer les coordonnées des trois autres sommets.

Un sommet d'un triangle équilatéral est l'origine du repère $(0\,;\,0)$ et le côté opposé est contenu dans la droite $x + y - 4 = 0$. Déterminer les équations cartésiennes des droites qui contiennent les deux autres côtés du triangle, sachant qu'elles doivent former un angle de $60^\circ$ avec le côté donné.

Étant donnée la famille de droites dépendant du paramètre $k \in \mathbb{R}$ : $(2 + k)x + (1 - 2k)y + 3k - 4 = 0$. Démontrer que toutes les droites de cette famille passent par un même point fixe et calculer ses coordonnées. Ensuite, déterminer la valeur de $k$ pour obtenir la droite de la famille qui est perpendiculaire à $3x - y + 2 = 0$.

Un panneau solaire est aligné avec la droite $r: \sqrt{3}x - y + 10 = 0$. Les rayons du soleil arrivent parallèlement à la droite $s: 2x + 2y - 5 = 0$. Calculer l'angle d'incidence des rayons sur le panneau. Si l'on doit réorienter le panneau en le faisant pivoter autour de son point d'intersection avec l'axe $OY$ pour que les rayons arrivent perpendiculairement à sa surface, quelle sera la nouvelle équation cartésienne de la droite qui définit le panneau ?

Deux sommets opposés d'un carré sont $A(-1 ; 3)$ et $C(5 ; 1)$. Déterminer les équations des droites qui contiennent les quatre côtés du carré, en calculant d'abord son centre et les directions de ses diagonales.

Déterminer l'équation cartésienne de la droite symétrique de $r: 2x - 3y + 6 = 0$ par rapport à la droite $s: x + y - 1 = 0$.

Démontrer que si deux droites $r: ax + by + c = 0$ et $s: a'x + b'y + c' = 0$ se coupent en formant un angle $\alpha$, alors $\tan \alpha = \left| \frac{ab' - a'b}{aa' + bb'} \right|$. Utiliser ce résultat pour déterminer les équations cartésiennes des droites passant par $P(1\,;\,1)$ et formant un angle $\alpha$ tel que $\tan \alpha = \frac{1}{2}$ avec la droite $2x - y + 3 = 0$.

Une antenne de communication se trouve au point $P(2 ; 1)$. On doit installer une ligne de fibre optique souterraine rectiligne, représentée par $s$, de façon qu'elle forme un angle aigu de $\frac{\pi}{4}\text{ rad}$ ($45^\circ$) avec une canalisation d'eau déjà construite qui suit la droite $r: 2x - y + 5 = 0$.

1. a) Poser l'équation que doit vérifier le coefficient directeur $m$ de la droite $s$ à partir de la formule $\tan \alpha = \left|\frac{m - m_r}{1 + m \cdot m_r}\right|$. En résolvant algébriquement l'équation avec valeur absolue, justifier pourquoi deux coefficients directeurs sont possibles et les calculer.
2. b) Déterminer les équations cartésiennes des deux droites solutions, $s_1$ et $s_2$, qui passent par le point $P$.
3. c) Démontrer que $s_1$ et $s_2$ sont perpendiculaires entre elles en vérifiant à la fois le produit de leurs coefficients directeurs et le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs.
4. d) Interpréter géométriquement le résultat de la question c) : expliquer, sans recourir au calcul algébrique, pourquoi deux droites qui forment le même angle de $45^\circ$ de part et d'autre d'une droite de référence donnée sont nécessairement perpendiculaires entre elles.

On considère la famille de droites $r_k: kx + (k - 1)y - 3 = 0$, où $k \in \mathbb{R}$, et la droite fixe $s: 2x - y + 1 = 0$.

1. a) Déterminer la valeur de $k$ pour laquelle $r_k$ est perpendiculaire à $s$, en vérifiant la condition à la fois avec le produit des coefficients directeurs et avec le produit scalaire des vecteurs directeurs.
2. b) Déterminer la valeur de $k$ pour laquelle $r_k$ et $s$ sont parallèles.
3. c) On cherche à ce que l'angle aigu entre $r_k$ et $s$ soit exactement $\alpha = \frac{\pi}{4}\text{ rad}$ ($45^\circ$). Poser l'équation correspondante (avec les coefficients directeurs ou les vecteurs), la résoudre et déterminer combien de valeurs de $k$ vérifient cette condition.
4. d) Exprimer l'équation de la famille sous la forme $A(x,y) + k\cdot B(x,y) = 0$ pour démontrer que toutes les droites $r_k$ passent par un même point fixe $Q$ (faisceau de droites sécantes). En utilisant cette propriété géométrique, justifier pourquoi il était prévisible d'obtenir exactement deux valeurs de $k$ à la question c), une à la question a) et une à la question b).