Exercices: Événements dépendants et indépendants

Soient $A$ et $B$ deux événements associés à une expérience aléatoire. On sait que la probabilité de l'événement $A$ est $P(A) = 0,6$ et que la probabilité de l'événement $B$ est $P(B) = 0,3$. Sachant que les événements sont indépendants, calculer la probabilité qu'ils se réalisent tous les deux, c'est-à-dire $P(A \cap B)$.

Dans un distributeur de chewing-gums, il y a des boules de trois couleurs : 10 rouges, 6 bleues et 4 vertes. Un enfant prend un chewing-gum, note sa couleur, le remet dans le distributeur et en prend un second.

1. a) Justifier si les événements « obtenir une boule rouge au premier tirage » et « obtenir une boule bleue au second » sont dépendants ou indépendants.
2. b) Calculer la probabilité que le premier chewing-gum soit bleu et le second vert.

On tire deux cartes d'un jeu de 40 cartes, l'une après l'autre et sans remettre la première dans le jeu.

1. a) Quelle est la probabilité que la première carte soit un Roi ?
2. b) Sachant que la première carte était un Roi, quelle est la probabilité que la seconde soit aussi un Roi ?
3. c) Ces événements sont-ils dépendants ou indépendants ?

Un lycéen de 1re a deux examens le même jour : Mathématiques et Anglais. La probabilité de réussir en Mathématiques est $P(M) = 0,7$ et celle de réussir en Anglais est $P(I) = 0,8$. En supposant que réussir un examen n'influence pas le résultat de l'autre :

1. a) Calculer la probabilité de réussir les deux examens.
2. b) Calculer la probabilité de ne réussir aucun des deux.

Dans le tiroir d'une cabine d'essayage d'un magasin de vêtements, on a oublié 4 chaussettes noires et 2 chaussettes blanches, toutes de même taille et de même toucher. Une vendeuse plonge la main et en tire deux au hasard, l'une après l'autre et sans regarder :

1. a) Compléter l'arbre pondéré suivant avec les probabilités correspondantes.
2. b) Calculer la probabilité que les deux chaussettes tirées soient noires.

Une enquête a été réalisée dans un lycée sur l'usage de deux réseaux sociaux : Instagram ($I$) et TikTok ($T$). Les résultats montrent que $70\%$ des élèves utilisent Instagram, $50\%$ utilisent TikTok et $35\%$ utilisent les deux plateformes. Déterminer si l'usage d'Instagram est indépendant de l'usage de TikTok dans ce lycée.

Lors d'un contrôle qualité dans une usine d'ampoules, on sait que la probabilité qu'une ampoule soit défectueuse est $0,02$. On choisit deux ampoules au hasard ; calculer la probabilité que :

1. a) Aucune ne soit défectueuse.
2. b) Les deux soient défectueuses.

(Remarque : le lot est si grand que l'on peut considérer que le tirage d'une ampoule n'affecte pas la probabilité de la suivante.)

Observer le tableau de contingence suivant, qui indique le sport préféré d'un groupe de 100 adolescents :

On choisit un adolescent au hasard. Calculer :

1. a) $P(F)$, la probabilité qu'il aime le football.
2. b) $P(F|H)$, la probabilité qu'il aime le football sachant que c'est un garçon.
3. c) Au vu des résultats, les événements « être un garçon » et « aimer le football » sont-ils indépendants ?

Lors d'un devoir de mathématiques, la question suivante est posée : « On lance un dé équilibré à six faces. On considère les événements $A$ : "obtenir un nombre pair" et $B$ : "obtenir un nombre impair". $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? ».\n\nLucas répond dans sa copie :\n« Comme il est impossible d'obtenir un nombre pair et impair à la fois, les événements ne s'influencent pas du tout ; ils sont donc indépendants parce que l'un ne peut pas modifier l'autre ».\n\na) Trouver l'erreur conceptuelle dans le raisonnement de Lucas et expliquer en détail pourquoi il confond les notions d'« événements incompatibles » et d'« événements indépendants ».\nb) Corriger l'exercice en effectuant la vérification mathématique rigoureuse à l'aide de l'égalité $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ afin de déterminer avec certitude si les événements sont dépendants ou indépendants.

Dans une petite coopérative de services de $10$ associés, $4$ possèdent un diplôme en commerce international et $6$ n'en possèdent pas. Pour participer à un salon d'affaires, on sélectionne au hasard et successivement $2$ personnes distinctes (tirage sans remise). Soient les événements $A$ : « la première personne sélectionnée a le diplôme » et $B$ : « la deuxième personne sélectionnée a le diplôme ».\n\na) Avant tout calcul, estimer intuitivement et justifier : pensez-vous que la réalisation de $A$ augmente, diminue ou laisse inchangée la probabilité de $B$ ? En conséquence, vous attendez-vous à ce que les événements soient indépendants ou dépendants ?\nb) Calculer maintenant les valeurs exactes de $P(A)$, de la probabilité conditionnelle $P(B|A)$ et de la probabilité de l'intersection $P(A \cap B)$.\nc) Calculer la probabilité marginale $P(B)$ et vérifier numériquement si la condition d'indépendance $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ est satisfaite. Apprécier si le résultat mathématique obtenu coïncide avec votre estimation initiale et expliquer le rôle joué par l'absence de remise.

Sur une plateforme de streaming musical, $60\%$ des utilisateurs écoutent le genre « Urban » ($U$) et $45\%$ écoutent la « Pop » ($P$). On sait de plus que $27\%$ des utilisateurs écoutent les deux genres musicaux.

1. a) Déterminer si les événements « écouter de l'Urban » et « écouter de la Pop » sont indépendants. Justifier mathématiquement.

1. b) On choisit un utilisateur dont on sait qu'il écoute de la « Pop » : quelle est la probabilité qu'il écoute aussi de l'« Urban » ?

Une urne contient 5 boules jaunes et 3 boules violettes. On tire deux boules de l'urne successivement et sans remise.

1. a) Dessiner l'arbre pondéré correspondant à cette expérience, en indiquant la probabilité de chaque branche.

1. b) Calculer la probabilité que les deux boules tirées soient de la même couleur.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Un programmeur de jeux vidéo teste le système de « coups critiques » d'un personnage. Le personnage a une probabilité de $0,2$ de porter un coup critique ($C$). Cependant, le système est conçu de sorte que, si le dernier coup était critique, la probabilité que le suivant le soit aussi tombe à $0,1$ en raison du temps de recharge de la compétence. Si le dernier coup n'était pas critique, la probabilité du suivant reste à $0,2$.

1. a) Les événements « premier coup critique » et « second coup critique » sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.

1. b) Calculer la probabilité que, dans une séquence de deux coups, le personnage ne porte aucun coup critique.

Dans un lycée de Paris, une étude a été réalisée sur les habitudes de petit-déjeuner et la classe des élèves, avec les données suivantes :

On choisit un élève au hasard. Vérifier si l'événement « prendre le petit-déjeuner à la maison » est indépendant de l'événement « être en 1re ».

Deux composants électroniques d'un drone, $A$ et $B$, fonctionnent de manière indépendante. La probabilité que le composant $A$ tombe en panne est de $0,05$ et la probabilité que le composant $B$ tombe en panne est de $0,08$.

1. a) Calculer la probabilité que le drone puisse continuer à voler s'il faut pour cela qu'au moins un des deux composants fonctionne correctement.

1. b) Calculer la probabilité qu'exactement un des deux composants tombe en panne.

On tire deux cartes d'un jeu espagnol de 40 cartes (4 enseignes : Deniers, Coupes, Épées et Bâtons, de 10 cartes chacune), l'une après l'autre et sans remettre la première.

1. a) Quelle est la probabilité que la deuxième carte soit un Roi, sachant que la première était l'As de Deniers ?

1. b) Quelle est la probabilité d'obtenir deux figures (Valet, Cavalier ou Roi) d'enseignes différentes ?

Un lycéen a deux réveils indépendants sur son téléphone. Le premier ($D_1$) fonctionne $95\%$ des matins et le second ($D_2$) fonctionne $90\%$ des fois.

1. a) Calculer la probabilité que le lycéen se réveille en retard parce qu'aucun des deux réveils ne sonne.

1. b) Sachant qu'au moins un des réveils a sonné, quelle est la probabilité que le réveil $D_1$ ait échoué ?

Soient $A$ et $B$ deux événements d'un univers tels que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,3$ et $P(A \cup B) = 0,58$.

1. a) Calculer $P(A \cap B)$.

1. b) Déterminer si les événements $A$ et $B$ sont indépendants.

1. c) Calculer la probabilité conditionnelle $P(A | \bar{B})$, où $\bar{B}$ est l'événement contraire de $B$.

Dans une préfecture, on analyse les données de $200$ candidats se présentant à l'épreuve pratique du permis de conduire. Parmi l'ensemble des candidats, $120$ ont suivi au préalable un stage intensif sur simulateur de conduite ($S$) et les autres non. Après examen des procès-verbaux, on constate que $90$ de ceux qui ont suivi le stage intensif ont réussi dès la première fois ($A$), tandis que parmi ceux qui n'ont pas suivi le stage intensif, seuls $40$ ont réussi.\n\na) Modéliser l'information donnée en construisant un tableau de contingence complet des effectifs et calculer les probabilités $P(S)$, $P(A)$ et $P(S \cap A)$.\nb) Déterminer formellement si l'événement « réussir du premier coup » et l'événement « avoir suivi le stage sur simulateur » sont mathématiquement indépendants.\nc) À partir des résultats et en comparant $P(A|S)$ avec $P(A)$, interpréter l'efficacité du stage pour la Sécurité routière : conseillerais-tu de recommander ce stage aux futurs conducteurs ? Justifier la réponse en termes de probabilité.

Dans une étude sur la consommation culturelle des jeunes en Espagne, on analyse deux services d'abonnement : la presse numérique généraliste ($D$) et les plateformes de musique à la demande ($M$). On sait que la probabilité qu'un jeune soit abonné à la presse numérique est $P(D) = 0,40$ et que la probabilité qu'il soit abonné à au moins un des deux services est $P(D \cup M) = 0,70$.\n\na) Poser une équation à partir des propriétés de la probabilité et en déduire la valeur exacte de $P(M)$ pour qu'être abonné à la musique et être abonné à la presse numérique soient des événements statistiquement indépendants.\nb) Supposons qu'un sondage ultérieur plus large révèle qu'en réalité la probabilité d'abonnement à la musique est $P(M) = 0,60$. Avec cette nouvelle donnée, calculer la valeur réelle de $P(D \cap M)$ et déterminer si les deux services se comportent comme des événements qui « s'attirent » (ils se produisent ensemble plus souvent que ce que le hasard seul laisserait attendre) ou qui « se repoussent » (ils se produisent ensemble moins souvent que prévu).

Dans un jeu vidéo de stratégie populaire, les joueurs ouvrent des « coffres légendaires » pour obtenir des récompenses. La probabilité d'obtenir un héros de niveau S dans le premier coffre est seulement de $0,05$. Cependant, le jeu possède un système de « chance cumulée » : si l'on n'obtient pas le héros dans un coffre, la probabilité de l'obtenir dans le suivant augmente de $0,02$ par rapport à la probabilité du coffre précédent. Si l'on obtient le héros, la probabilité redevient $0,05$ pour la tentative suivante.

La figure montre la situation à étudier : les deux premiers coffres ne donnent pas le héros et le héros apparaît dans le troisième.

Calculer la probabilité qu'un joueur doive ouvrir exactement trois coffres pour obtenir son premier héros de niveau S.

Une urne contient $n$ boules blanches et $4$ boules noires. On tire successivement deux boules sans remise. Sachant que la probabilité que les deux boules soient blanches est exactement $\frac{1}{3}$, déterminer à l'aide d'une équation combien de boules blanches l'urne contenait initialement.

Un système de sécurité à double authentification envoie un code sur le téléphone portable de l'utilisateur. Si le premier message n'arrive pas (ce qui se produit avec une probabilité de $0,12$), le système tente un deuxième envoi. Cependant, en raison de la saturation du réseau, si le premier envoi a échoué, la probabilité que le deuxième échoue aussi passe à $0,45$. Par ailleurs, si le premier envoi a réussi, la probabilité que l'utilisateur reçoive un deuxième message de confirmation est de $0,98$.

Calculer la probabilité qu'un utilisateur reçoive le deuxième message, indépendamment de ce qui s'est passé avec le premier.

Lors d'un entraînement de basket-ball, un joueur tire deux lancers francs consécutifs. La probabilité de réussir le premier est de $0,7$. S'il réussit le premier, sa confiance augmente et la probabilité de réussir le second est de $0,8$. S'il rate le premier, il devient nerveux et la probabilité de réussir le second tombe à $0,4$.

Sachant que le joueur n'a réussi qu'un seul des deux lancers, quelle est la probabilité que ce soit le second ?

Trois laboratoires pharmaceutiques ($L_1$, $L_2$ et $L_3$) fabriquent le même type de test antigénique. $L_1$ produit $45\%$ du total, $L_2$ en produit $30\%$ et $L_3$ le reste. On sait que le pourcentage de tests défectueux est de $1\%$ pour $L_1$, de $2\%$ pour $L_2$ et de $3\%$ pour $L_3$.

On choisit deux tests au hasard dans un grand lot où tous les fabricants sont mélangés (on peut considérer que le tirage est avec remise en raison du grand volume) :

1. a) Quelle est la probabilité que les deux soient défectueux ?
2. b) Sachant que le premier est défectueux, quelle est la probabilité que le second le soit aussi ? Justifier si ces événements sont dépendants ou indépendants.

Deux événements $A$ et $B$ vérifient $P(A) = 0,6$ et $P(B) = 0,7$. La figure montre un diagramme de Venn avec les deux événements dans l'univers $\Omega$.

1. a) Déterminer l'intervalle des valeurs possibles pour la probabilité de l'intersection $P(A \cap B)$.

1. b) À partir de ce résultat, expliquer pourquoi les événements $A$ et $B$ ne peuvent jamais être incompatibles.

1. c) Quelle valeur devrait avoir $P(A \cap B)$ pour que $A$ et $B$ soient indépendants ?

Dans un centre de renseignement, un logiciel de reconnaissance faciale analyse des images. La probabilité qu'il identifie correctement un individu présent dans la base de données est de $0,95$. Cependant, le logiciel a une marge d'erreur et identifie parfois à tort des personnes qui ne figurent pas dans la base de données, avec une probabilité de $0,02$.

Sachant que seulement $1\%$ des personnes qui passent à une douane figurent dans la base de données, calculer :

1. a) La probabilité que le logiciel déclenche une alerte (identifie quelqu'un).
2. b) Si le logiciel a identifié une personne, quelle est la probabilité qu'elle figure réellement dans la base de données ?

On lance deux dés tétraédriques (faces numérotées de 1 à 4). Soient les événements :

• $A$ : « La somme des faces est un nombre premier ».

• $B$ : « Le produit des faces est un multiple de 4 ».

• $C$ : « Au moins un des dés affiche un 1 ».

Étudier l'indépendance des événements $A$ et $B$, puis celle des événements $B$ et $C$. Existe-t-il une relation de dépendance entre le résultat du premier dé et celui du second ? L'expliquer mathématiquement.

Un serveur de stockage de données critiques d'un établissement bancaire dispose de deux systèmes de sauvegarde indépendants, $S_1$ et $S_2$. En cas de perte accidentelle de fichiers, la probabilité que le système $S_1$ récupère les données est $0,90$, et celle du système $S_2$ est $0,80$. Pour calculer la probabilité que l'établissement ne perde pas les données (c'est-à-dire qu'au moins un des deux systèmes fonctionne, événement $S_1 \cup S_2$), deux analystes proposent des procédés différents :\n- Méthode 1 : Appliquer la formule générale de l'addition $P(S_1 \cup S_2) = P(S_1) + P(S_2) - P(S_1 \cap S_2)$, en utilisant l'indépendance de $S_1$ et $S_2$ pour calculer l'intersection.\n- Méthode 2 : Utiliser l'événement contraire et calculer $1 - P(\overline{S_1} \cap \overline{S_2})$, en admettant que si deux événements sont indépendants, leurs contraires le sont aussi.\n\na) Développer numériquement les deux méthodes et vérifier qu'elles donnent le même résultat.\nb) Démontrer de manière algébrique générale que si deux événements quelconques $A$ et $B$ sont indépendants, alors leurs événements contraires $\overline{A}$ et $\overline{B}$ sont nécessairement indépendants.\nc) Si la banque décide d'augmenter la sécurité en installant $5$ systèmes de sauvegarde indépendants au lieu de $2$, justifier laquelle des deux méthodes est nettement plus efficace et avantageuse pour calculer la probabilité de réussite globale.

Un générateur pseudo-aléatoire de sécurité pour les virements bancaires émet des codes de deux bits avec quatre résultats équiprobables : $\Omega = \{00, 01, 10, 11\}$, chacun de probabilité $\frac{1}{4}$. On considère les trois événements suivants :\n- $A$ : « le premier bit est $1$ »\n- $B$ : « le second bit est $1$ »\n- $C$ : « exactement un des deux bits est $1$ » (c'est-à-dire que les bits sont différents).\n\na) Décrire les éléments qui constituent les événements $A$, $B$ et $C$, et calculer leurs probabilités $P(A)$, $P(B)$ et $P(C)$.\nb) Analyser l'indépendance deux à deux : vérifier mathématiquement si $A$ et $B$ sont indépendants, si $A$ et $C$ sont indépendants, et si $B$ et $C$ sont indépendants.\nc) Vérifier si les trois événements sont mutuellement indépendants en évaluant l'égalité $P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)$.\nd) Expliquer l'apparent paradoxe : comment est-il possible que connaître individuellement le résultat d'un événement n'apporte aucune information sur un autre (indépendance deux à deux), alors que connaître le résultat conjoint de deux d'entre eux détermine avec $100\,\%$ de certitude ce qui se passe pour le troisième ?

Défi du thème. Le niveau de formation détermine-t-il l'insertion professionnelle des jeunes ? Analyser des données officielles de l'INSEE pour le vérifier de façon probabiliste.

1. Recherche et dénombrement : Accéder au site de l'INSEE (enquête Emploi) et extraire les données d'un tableau de contingence de $2 \times 2$ sur les jeunes (16-24 ans), classés selon leur niveau d'études (études supérieures / non supérieures) et leur situation professionnelle (en emploi / au chômage).

2. Traitement sur tableur : Reporter les valeurs dans un tableur. Définir les événements $S$ (« possède des études supérieures ») et $D$ (« est au chômage »). Attribuer des probabilités marginales et composées à l'aide de la situation d'équiprobabilité et des techniques de dénombrement matriciel.

3. Probabilité conditionnelle et indépendance : Calculer dans le tableur $P(D|S)$ et $P(D|\overline{S})$. Justifier formellement, à l'aide des propriétés du cours, si $S$ et $D$ sont dépendants ou indépendants en vérifiant si $P(S \cap D) = P(S) \cdot P(D)$ avec une marge de tolérance inférieure à $0,005$.

4. Proposition argumentée : Rédiger un rapport synthétique d'une page avec vos tableaux, les formules employées et une appréciation sociologique fondée strictement sur les résultats probabilistes obtenus.

Seront évalués :

• L'obtention rigoureuse de données réelles et la formulation mathématique correcte dans le tableur.

• La précision dans le calcul des probabilités composées, conditionnelles et dans la démonstration de (non-)indépendance.

• La capacité critique à argumenter des conclusions socio-économiques fondées sur les valeurs probabilistes.