Exercices: Probabilité conditionnelle

Dans un jeu espagnol de 40 cartes (4 couleurs de 10 cartes chacune : le valet, le cavalier et le roi sont les figures de chaque couleur), on tire une carte au hasard. On considère les événements $A$ : « tirer un roi » et $B$ : « tirer une figure » (valet, cavalier ou roi).

Calculer la probabilité que la carte soit un roi sachant qu'une figure est sortie, c'est-à-dire déterminer $P(A|B)$.

Une enquête a été réalisée auprès de 100 élèves de première sur leur préférence entre deux domaines d'études. Les données figurent dans le tableau croisé suivant :

Si l'on choisit un élève au hasard et que c'est une fille, quelle est la probabilité qu'elle préfère les Lettres ? Calculer $P(L|M)$.

Soit deux événements $A$ et $B$ d'une expérience aléatoire. On sait que la probabilité de leur intersection est $P(A \cap B) = 0,12$ et que la probabilité de l'événement $B$ est $P(B) = 0,4$. Calculer la probabilité que $A$ se réalise sachant que $B$ s'est réalisé.

Une urne contient 5 boules bleues et 3 boules rouges. On tire deux boules successivement avec remise (on remet la première boule dans l'urne avant de tirer la seconde).

1. a) Représenter l'expérience par un arbre pondéré, en indiquant sur chaque branche sa probabilité.

1. b) Calculer la probabilité que la deuxième boule soit rouge sachant que la première était bleue. Les événements sont-ils dépendants ou indépendants ? Justifier la réponse.

Dans un groupe d'amis, $60\%$ utilisent Spotify ($S$), $40\%$ utilisent Netflix ($N$) et $20\%$ utilisent les deux plateformes. Si l'on choisit une personne dont on sait qu'elle utilise Netflix, quelle est la probabilité qu'elle utilise aussi Spotify ?

Un lanceur de fléchettes professionnel atteint le centre de la cible $80\%$ des fois. S'il effectue deux lancers indépendants, calculer la probabilité que :

1. a) Il réussisse le deuxième lancer sachant qu'il a réussi le premier.

1. b) Il réussisse les deux lancers consécutifs.

Vous pouvez vous aider d'un arbre pondéré à deux lancers, avec les branches « réussite » et « échec » pour chacun.

Dans un centre de langues, $30\%$ des élèves étudient le français ($F$). Parmi eux, $60\%$ sont des élèves de lycée ($B$). Si l'on choisit un élève au hasard dans la liste du centre, quelle est la probabilité qu'il étudie le français et soit lycéen ? Utiliser la formule de la probabilité conditionnelle : $P(F \cap B) = P(F) \cdot P(B|F)$.

On tire deux cartes d'un jeu espagnol sans remise. Calculer la probabilité que la deuxième carte soit un as, sachant que la première carte tirée était l'as de deniers.

Lors d'une enquête sur la consommation numérique réalisée auprès de 200 jeunes d'une commune, on relève que 120 regardent habituellement des séries sur des plateformes de streaming ($S$) et que 80 jouent quotidiennement à des jeux vidéo en ligne ($V$). De plus, 48 jeunes pratiquent les deux activités ($S \cap V$).

Pour calculer « la probabilité qu'un jeune joue aux jeux vidéo sachant qu'il regarde habituellement des séries », Lucas écrit dans sa copie :

1. a) Identifier précisément les deux erreurs conceptuelles commises par Lucas dans sa formule et dans l'interprétation de l'événement conditionnant.
2. b) Expliquer comment l'univers se réduit lorsqu'on impose la condition « regarder habituellement des séries » et quel doit être le bon dénominateur de la probabilité conditionnelle.
3. c) Corriger le calcul de $P(V|S)$ et calculer en outre la probabilité qu'un jeune choisi au hasard qui ne joue pas aux jeux vidéo ne regarde pas non plus habituellement de séries, c'est-à-dire $P(S^c|V^c)$.

Dans un lycée, $60\,\%$ des élèves de première suivent la filière Humanités et sciences sociales ($H$) et $40\,\%$ la filière Sciences et technologies ($C$). Parmi les élèves d'Humanités et sciences sociales, $70\,\%$ utilisent habituellement le transport scolaire ($T$), alors que parmi les élèves de Sciences, seuls $35\,\%$ l'utilisent.

1. a) Deux outils vous sont proposés pour organiser ces informations avant de calculer : un arbre pondéré ou un tableau croisé basé sur un total hypothétique de 100 élèves. Comparer l'adéquation des deux méthodes et justifier laquelle est la plus directe d'après la façon dont les données de l'énoncé sont structurées (probabilités a priori et conditionnelles successives).
2. b) En utilisant la méthode choisie, calculer la probabilité qu'un élève choisi au hasard utilise le transport scolaire, $P(T)$.
3. c) Si l'on choisit au hasard un élève qui n'utilise pas le transport scolaire, quelle est la probabilité qu'il appartienne à la filière Sciences et technologies ?

Dans un lycée de Paris, une étude a été réalisée sur les habitudes de loisirs de $100$ élèves de première. Les données ont été recueillies dans le tableau croisé suivant, qui classe les élèves selon leur genre et leur réseau social préféré (Instagram ou TikTok) :

On choisit un élève au hasard. Calculer les probabilités suivantes en utilisant la notation des probabilités conditionnelles :

1. a) Qu'il préfère TikTok, sachant que c'est une fille.
2. b) Que ce soit un garçon, sachant que son réseau social préféré est Instagram.
3. c) Les événements « être un garçon » ($H$) et « préférer Instagram » ($I$) sont-ils indépendants ? Justifier la réponse en comparant $P(I/H)$ et $P(I)$.

Une boîte à outils contient $12$ ampoules LED, dont $4$ sont défectueuses. On prélève deux ampoules de la boîte successivement et sans remise. Calculer la probabilité des événements suivants :

1. a) La deuxième ampoule est défectueuse, sachant que la première prélevée fonctionnait correctement.
2. b) Les deux ampoules sont défectueuses.
3. c) Au moins une des deux ampoules fonctionne correctement.

Dans une ligue d'e-sport, une équipe a une probabilité de $70\,\%$ de gagner le match si elle joue sur son serveur local ($L$), mais cette probabilité tombe à $40\,\%$ si elle joue sur un serveur extérieur ($E$). On sait qu'elle joue $60\,\%$ de ses matchs à domicile.

1. a) Représenter la situation par un arbre pondéré, en indiquant sur chaque branche sa probabilité.

1. b) Si l'équipe a gagné le dernier match, quelle est la probabilité qu'elle ait joué sur son serveur local ?

1. c) Quelle est la probabilité totale que l'équipe gagne un match quelconque ?

Soient $A$ et $B$ deux événements d'une expérience aléatoire tels que $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,7$ et $P(A \cup B) = 0,85$.

1. a) Calculer $P(A \cap B)$.
2. b) Déterminer la probabilité que $A$ se réalise sachant que $B$ s'est réalisé.
3. c) Déterminer si les événements $A$ et $B$ sont compatibles et s'ils sont indépendants.

Une étude médicale indique que la probabilité qu'une personne d'une population donnée ait une allergie printanière est de $0,15$. Un test a été mis au point pour la détecter, mais il n'est pas parfait :

• Si une personne est allergique, le test est positif dans $95\%$ des cas.

• Si une personne n'est pas allergique, le test est positif (faux positif) dans $4\%$ des cas.

Si l'on choisit une personne au hasard et que le test est positif, quelle est la probabilité qu'elle soit réellement allergique ?

Dans une école de langues, $40\%$ des élèves étudient le français ($F$), $30\%$ étudient l'allemand ($G$) et les autres étudient l'italien ($I$). On sait que le pourcentage d'élèves qui réussissent l'examen final est de $60\%$ en français, $50\%$ en allemand et $80\%$ en italien.

1. a) Si l'on choisit un élève qui a réussi l'examen, quelle est la probabilité qu'il étudie l'allemand ?
2. b) Si l'on choisit un élève au hasard, quelle est la probabilité qu'il n'ait pas réussi l'examen ?

On lance deux dés cubiques équilibrés dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$. On considère les événements suivants :

• $S$ : « La somme des points obtenus est égale à $7$ ».

• $A$ : « Le premier dé donne un nombre pair ».

Calculer :

1. a) L'univers de la somme des points et la probabilité de l'événement $S$.
2. b) La probabilité que la somme soit $7$ sachant que le premier dé a donné un nombre pair, $P_A(S)$.
3. c) Le fait que le premier dé soit pair influe-t-il sur la probabilité que la somme soit $7$ ? Justifier si les événements sont dépendants ou indépendants.

Sur une plateforme de streaming, $20\%$ des utilisateurs préfèrent les films d'horreur, $50\%$ préfèrent les comédies et $30\%$ préfèrent les drames. Le service d'analyse de données a observé que la probabilité qu'un utilisateur regarde un film en entier dépend du genre :

• Horreur : $0,6$

• Comédie : $0,8$

• Drame : $0,7$

Si l'on choisit un utilisateur au hasard et qu'on constate qu'il a abandonné un film en cours de route (il ne l'a pas terminé), quelle est la probabilité que ce film ait été un film d'horreur ?

Une banque en ligne en France applique un algorithme de sécurité pour détecter les accès non autorisés ou frauduleux ($F$) sur les comptes de ses clients. D'après les historiques de cybersécurité, on sait que seulement $0,5\,\%$ des connexions correspondent à des tentatives de fraude ($P(F) = 0,005$). Lorsqu'il y a une tentative frauduleuse, le système déclenche une alarme avec une probabilité de $96\,\%$ ($P(+|F) = 0,96$). En revanche, lorsque l'accès est légitime ($F^c$), le système génère une fausse alarme avec une probabilité de $2\,\%$ ($P(+|F^c) = 0,02$).

1. a) Estimer : avant tout calcul, si l'alarme de sécurité retentit lors d'une connexion quelconque (événement $+$), pensez-vous que la probabilité qu'il s'agisse réellement d'une fraude dépassera $50\,\%$ ou sera très inférieure ? Écrire votre estimation intuitive en expliquant pourquoi.
2. b) Calculer : appliquer la formule des probabilités totales pour déterminer la probabilité globale que l'alarme se déclenche, $P(+)$, et la formule de Bayes pour déterminer la probabilité exacte qu'un accès soit réellement une fraude sachant que l'alarme s'est déclenchée, $P(F|+)$.
3. c) Vérifier et réfléchir : comparer le résultat exact avec votre estimation initiale. Pourquoi le résultat mathématique contredit-il l'intuition de la plupart des gens ? Expliquer l'impact déterminant de la très faible prévalence de la fraude sur le résultat obtenu.

À partir des microdonnées de l'enquête Emploi de l'INSEE, on modélise la situation des jeunes de 18 à 24 ans d'une région selon deux variables : être inscrit dans une formation ($E$) et avoir un emploi rémunéré ($T$).

On sait que $70\,\%$ de ces jeunes sont en études ($P(E) = 0,70$). Parmi ceux qui étudient, la probabilité de cumuler études et emploi rémunéré est de $0,25$. Par ailleurs, parmi ceux qui n'étudient pas, la probabilité d'avoir un emploi s'élève à $60\,\%$.

1. a) Modéliser la situation en définissant clairement les événements et en construisant un arbre pondéré ou un tableau où figurent toutes les probabilités marginales, conditionnelles et les intersections correspondantes.
2. b) Déterminer la probabilité qu'un jeune de 18 à 24 ans choisi au hasard dans cette région travaille.
3. c) Si l'on choisit au hasard un jeune qui n'a pas d'emploi rémunéré, calculer la probabilité qu'il soit en études.
4. d) Déterminer formellement si les événements « être en études » et « avoir un emploi rémunéré » sont indépendants. Interpréter brièvement le sens de votre conclusion en termes socio-économiques.

Soient $A$ et $B$ deux événements d'une même expérience aléatoire tels que l'on connaît les probabilités suivantes :

• $P(A^C \cup B^C) = 0,8$

• $P(A^C | B) = 0,5$

• $P(A \cup B) = 0,75$

Calculer, en justifiant chaque étape à l'aide des propriétés des probabilités :

1. a) $P(A \cap B)$
2. b) $P(B)$
3. c) $P(A)$
4. d) Déterminer, en justifiant, si les événements $A$ et $B$ sont indépendants.

Dans un laboratoire de cybersécurité, un algorithme d'intelligence artificielle analyse des courriels pour détecter le phishing. On sait que :

• $5\%$ des courriels reçus par l'entreprise sont des tentatives d'escroquerie (phishing).

• Si un courriel est du phishing, l'algorithme l'identifie correctement comme « suspect » dans $98\%$ des cas.

• Si un courriel est légitime, l'algorithme se trompe et le marque comme « suspect » dans $3\%$ des cas (faux positif).

Si un employé reçoit une alerte « courriel suspect » dans sa boîte de réception :

1. a) Quelle est la probabilité réelle que le courriel soit effectivement une tentative de phishing ?
2. b) Si l'algorithme indique que le courriel est « sûr », quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'une erreur et que ce soit réellement du phishing ?

On dispose de deux urnes de composition suivante :

• Urne A : 4 boules rouges et 6 boules bleues.

• Urne B : 7 boules rouges et 3 boules bleues.

L'expérience consiste à lancer un dé équilibré à six faces. Si un nombre premier sort, on tire une boule de l'urne A et on l'introduit dans l'urne B sans regarder sa couleur ; puis on tire une boule de l'urne B. Si un nombre non premier sort, on tire directement une boule de l'urne B.

Calculer la probabilité que la boule finalement tirée dans l'urne B soit rouge.

Une plateforme de streaming utilise trois serveurs ($S_1, S_2, S_3$) pour distribuer son contenu. $40\%$ du trafic est géré depuis $S_1$, $35\%$ depuis $S_2$ et le reste depuis $S_3$. En raison de la charge du réseau, des micro-coupures se produisent pendant la lecture avec les probabilités suivantes :

• Sur le serveur $S_1$, la probabilité de micro-coupure est de $2\%$.

• Sur le serveur $S_2$, la probabilité de micro-coupure est de $5\%$.

• Sur le serveur $S_3$, la probabilité de micro-coupure est de $8\%$.

1. a) Si un utilisateur regarde une série, quelle est la probabilité qu'il subisse une micro-coupure ?
2. b) Si un utilisateur appelle le service technique pour signaler une micro-coupure, quelle est la probabilité que sa connexion soit servie par le serveur $S_3$ ?

Dans une compétition d'e-sport, un joueur de League of Legends a une probabilité de victoire de $70\%$ s'il choisit son personnage favori (Main). S'il ne le choisit pas, sa probabilité de victoire descend à $45\%$. Le système d'appariement permet au joueur d'obtenir son personnage favori dans $60\%$ des cas.

1. a) Calculer la probabilité que le joueur gagne sa prochaine partie.
2. b) Sachant que le joueur a perdu la partie, quelle est la probabilité qu'il n'ait pas pu jouer avec son personnage favori ?
3. c) Les événements « gagner la partie » et « jouer avec le personnage favori » sont-ils indépendants ? Justifier la réponse en comparant des probabilités.

On réalise une étude sur les activités des élèves d'un lycée de Paris. Les données montrent que :

• $80\%$ des élèves étudient une deuxième langue ($I$).

• $60\%$ des élèves participent à une équipe sportive du lycée ($D$).

• $30\%$ des élèves qui étudient une deuxième langue ne participent à aucune équipe sportive.

On choisit un élève au hasard. Calculer :

1. a) La probabilité qu'il pratique les deux activités.
2. b) Sachant qu'il participe à une équipe sportive, la probabilité qu'il étudie aussi une deuxième langue.
3. c) La probabilité qu'il ne pratique aucune des deux activités.

Une entreprise de logistique dispose de deux itinéraires pour livrer des commandes dans le centre-ville. L'itinéraire A est utilisé $70\%$ des fois et l'itinéraire B les $30\%$ restants.

• À cause de la circulation, sur l'itinéraire A le livreur arrive en retard $15\%$ des jours.

• Sur l'itinéraire B, le livreur arrive en retard $25\%$ des jours.

Un jour donné, le gérant constate qu'une commande est arrivée en retard. Le livreur affirme : « Si j'étais passé par l'itinéraire A, la probabilité d'arriver à l'heure aurait été supérieure à la probabilité d'être passé aujourd'hui par l'itinéraire A sachant que je suis arrivé en retard ». Démontrer si l'affirmation du livreur est vraie ou fausse en calculant les deux probabilités.

Lors d'un QCM, un élève connaît la bonne réponse à une question avec une probabilité $p$ et répond au hasard avec une probabilité $1-p$. Chaque question propose $k$ réponses possibles, dont une seule est correcte.

1. a) Montrer que la probabilité que l'élève réponde correctement à la question est $\frac{1 + (k-1)p}{k}$.
2. b) Sachant que l'élève a répondu correctement, quelle est la probabilité qu'il ait réellement connu la réponse et ne l'ait pas devinée au hasard ? Exprimer le résultat en fonction de $p$ et $k$.
3. c) Si une question propose 4 réponses ($k=4$) et que l'élève a une probabilité de $50\%$ de connaître la réponse ($p=0,5$), calculer la valeur numérique de la question précédente et l'interpréter.

Un organisme de microcrédits pour entrepreneurs en France finance des projets de deux secteurs économiques : les projets technologiques ($T$) et les projets du secteur des services traditionnels ($S$). Dans son portefeuille actuel de prêts accordés, une proportion inconnue $p$ correspond au secteur technologique ($0 < p < 1$) et le reste, $1 - p$, au secteur des services.

En raison de la volatilité des modèles économiques, la probabilité de défaut de paiement ($M$) dans le secteur technologique est de $15\,\%$ ($P(M|T) = 0,15$), tandis que dans le secteur des services la probabilité de défaut est de $6\,\%$ ($P(M|S) = 0,06$).

1. a) Obtenir une expression littérale simplifiée en fonction de $p$ pour la probabilité globale qu'un prêt choisi au hasard soit impayé, $P(M)$.
2. b) La commission d'audit interne examine un prêt au hasard qui s'est révélé défaillant (impayé). Déterminer la valeur exacte de la proportion $p$ pour laquelle la probabilité que ce prêt défaillant provienne du secteur technologique soit exactement de $75\,\%$.
3. c) Poser et résoudre une inéquation pour déterminer dans quel intervalle doit se trouver la proportion $p$ si l'organisme exige que, pour un crédit défaillant quelconque, il soit plus probable qu'il provienne du secteur des services que du secteur technologique.

Pour planifier les alertes en cas de phénomènes météorologiques extrêmes (comme les épisodes cévenols ou les tempêtes sévères) sur le littoral méditerranéen, Météo-France et la Sécurité civile étudient la survenue de journées de pluie torrentielle ($L$, plus de $100\text{ mm}$ en 12 heures).

Pendant les mois d'automne, la probabilité historique qu'une journée quelconque connaisse une pluie torrentielle dans la région est de seulement $3\,\%$ ($P(L) = 0,03$).

Le modèle numérique de prévision déclenche la vigilance orange ($A$) dans $85\,\%$ des jours où une pluie torrentielle se produit effectivement ($P(A|L) = 0,85$), mais génère de fausses alertes en déclenchant la vigilance orange dans $4\,\%$ des jours où il ne pleut pas de façon torrentielle ($P(A|L^c) = 0,04$).

Le centre municipal de coordination des urgences hésite entre deux critères pour décréter la suspension des transports et des cours en présentiel lorsque Météo-France émet la vigilance orange :

• Critère 1 (principe de précaution) : suspendre l'activité si la probabilité a posteriori qu'il pleuve de façon torrentielle, sachant que l'alerte est déclenchée, dépasse $35\,\%$.

• Critère 2 (éviter la paralysie socio-économique) : suspendre l'activité uniquement s'il est plus probable qu'il pleuve de façon torrentielle que le contraire, sachant que l'alerte est active.

1. a) Modéliser l'expérience en calculant la probabilité totale que, lors d'une journée d'automne quelconque, la vigilance orange soit déclenchée, $P(A)$.
2. b) Si Météo-France déclenche la vigilance orange, calculer la probabilité que des pluies torrentielles soient réellement enregistrées, $P(L|A)$, et la probabilité qu'il s'agisse d'une fausse alerte, $P(L^c|A)$.
3. c) Appliquer et évaluer les deux critères : l'activité serait-elle suspendue avec le critère 1 ? Et avec le critère 2 ? Expliquer pourquoi le critère 2 est inadapté dans la gestion pratique de catastrophes de faible probabilité de base et quel dilemme éthique et probabiliste pose la présence de faux positifs dans la prise de décision des citoyens.