Exercices: Ensembles, implications et raisonnements

Soit $A = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\}$ et $B = \{2\,;\,4\,;\,6\,;\,8\,;\,10\}$.

1. a) Déterminer $A \cap B$ et $A \cup B$.

1. b) Indiquer si l'affirmation « $\{2\,;\,4\} \subset A$ » est vraie et si « $8 \in A$ » est vraie.

On considère l'implication : « Si un entier $n$ est un multiple de $6$, alors $n$ est pair. »

1. a) Énoncer sa réciproque.

1. b) Énoncer sa contraposée.

1. c) La réciproque est-elle vraie ? Justifier par un contre-exemple si elle est fausse.

Soit $E = \{a\,;\,b\,;\,c\}$ et $F = \{0\,;\,1\}$.

1. a) Écrire tous les éléments du produit cartésien $E \times F$.

1. b) Donner le nombre d'éléments de $E \times F$.

Pour chaque proposition, indiquer si « $P \Rightarrow Q$ », « $Q \Rightarrow P$ » ou les deux sont vraies, puis conclure en indiquant si $P$ est une condition nécessaire, suffisante ou nécessaire et suffisante pour $Q$ (pour $x$ réel).

1. a) $P$ : « $x = 3$ » ; $Q$ : « $x^2 = 9$ ».

1. b) $P$ : « $x^2 - 5x + 6 = 0$ » ; $Q$ : « $x = 2$ ou $x = 3$ ».

1. c) $P$ : « $x > 2$ » ; $Q$ : « $x > 0$ ».

Dans une classe de 30 élèves de première de Lyon, 18 élèves étudient l'espagnol (ensemble $E$), 14 étudient l'allemand (ensemble $A$) et 5 n'étudient aucune de ces deux langues.

1. a) Calculer le nombre d'élèves de $E \cap A$.

1. b) Calculer le nombre d'élèves qui étudient uniquement l'espagnol.

1. c) Exprimer à l'aide des symboles $\cap$, $\cup$ et du complémentaire l'ensemble des élèves n'étudiant aucune des deux langues.

Montrer par disjonction des cas que, pour tout entier naturel $n$, le nombre $n(n+1)$ est pair.

Montrer par l'absurde que $\sqrt{2}$ est irrationnel.

1. a) Énoncer la contraposée de la proposition : « Si $n^2$ est impair, alors $n$ est impair », pour $n$ entier.

1. b) Démontrer la proposition initiale en démontrant sa contraposée.

1. c) En déduire que si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair, puis que la réciproque de la proposition initiale est aussi vraie.

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant (preuve ou contre-exemple).

1. a) Pour tous réels $a$ et $b$, $(a+b)^2 = a^2 + b^2$.

1. b) Il existe un réel $x$ tel que $(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$.

1. c) Pour tout réel $x$, $\sqrt{x^2} = x$.

1. d) Pour tous réels positifs $a$ et $b$, si $a + b = 0$ alors $a = b = 0$.