Exercices: Inéquations du second degré

Résoudre l'inéquation du second degré suivante et exprimer la solution sous forme d'intervalle :

$x^2 - 5x + 6 \ge 0$

Déterminer l'ensemble des solutions de l'inéquation :

$-x^2 + 4x + 5 > 0$

Résoudre l'inéquation incomplète :

$2x^2 - 8x \le 0$

Déterminer les valeurs de $x$ qui vérifient l'inégalité suivante :

$3x^2 - 27 < 0$

Déterminer l'ensemble des solutions de l'inéquation :

$x^2 + 6x + 9 \le 0$

Indiquer l'ensemble des solutions de l'inéquation en justifiant la réponse :

$x^2 - 2x + 5 > 0$

Résoudre le système d'inéquations du second degré à une inconnue suivant :

$x^2 - 4 \le 0$

$x^2 - x \ge 0$

Déterminer pour quelles valeurs de $x$ l'inégalité suivante est vérifiée :

$4x^2 - 12x + 9 > 0$

Pour résoudre l'inéquation du second degré $x^2 \ge 6x$, Marc écrit dans sa copie le raisonnement suivant :

« Je divise les deux membres par $x$ et j'obtiens $x \ge 6$. Donc l'ensemble des solutions est l'intervalle $[6 ; +\infty[$ ».

1. a) Repérer et expliquer en détail l'erreur de raisonnement commise par Marc. Pourquoi n'est-il pas permis de diviser une inéquation par une inconnue sans connaître son signe ?
2. b) Corriger l'exercice en résolvant l'inéquation par la méthode générale (tout passer dans le membre de gauche, déterminer les racines et étudier le signe sur les intervalles obtenus) et exprimer l'ensemble des solutions correct sous forme d'intervalle.

Construire une inéquation du second degré de la forme $ax^2 + bx + c < 0$ vérifiant simultanément les deux conditions suivantes :

1) Son ensemble de solutions est exactement l'intervalle ouvert $]-4 ; 1[$.

2) Le coefficient dominant est $a = 2$.

1. a) Déterminer, en justifiant, les valeurs numériques des coefficients $b$ et $c$.
2. b) Expliquer, à l'aide du signe de $a$ et de l'allure de la parabole associée, pourquoi le polynôme obtenu prend des valeurs strictement négatives uniquement entre les deux racines et non à l'extérieur.

La hauteur $h$, en mètres, d'un projectile lancé verticalement vers le haut en fonction du temps $t$, en secondes, est donnée par l'expression $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Écrire et résoudre l'inéquation correspondante pour déterminer pendant quel intervalle de temps le projectile se trouve à une hauteur strictement supérieure à $17$ mètres.

Le bénéfice quotidien d'une entreprise, exprimé en centaines d'euros, lorsqu'elle fabrique $x$ unités d'un produit, est modélisé par la fonction du second degré $B(x) = -0,5x^2 + 40x - 350$. Combien d'unités doit-elle fabriquer chaque jour pour ne pas être en perte ? Exprimer le résultat sous forme d'intervalle.

On dispose d'une corde de $40$ mètres pour clôturer un potager rectangulaire en utilisant un mur existant comme l'un des côtés. Si $x$ est la longueur des côtés perpendiculaires au mur, pour quelles valeurs de $x$ l'aire clôturée sera-t-elle d'au moins $150 \text{ m}^2$ ? On tiendra compte du fait que les dimensions du potager doivent être positives.

Résoudre l'inéquation suivante en la ramenant d'abord à sa forme générale, et exprimer le résultat sous forme d'intervalle :

$(2x - 1)^2 - (x + 3)(x - 3) < 5x + 14$

À partir de la représentation graphique de la parabole $y = f(x)$, déterminer graphiquement l'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x) \le 0$.

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction réelle d'une variable réelle suivante :

$f(x) = \sqrt{-2x^2 + 7x - 3}$

L'aire de la zone centrale rectangulaire d'un terrain de sport doit être strictement inférieure à $800 \text{ m}^2$. Si la longueur du terrain est égale au double de sa largeur $x$ plus $10$ mètres, écrire l'inéquation correspondante et en déduire les valeurs que peut prendre la largeur du terrain.

Résoudre le système d'inéquations suivant et donner la solution finale sous forme d'intervalle :

$x^2 - 3x - 10 < 0$

$2x + 5 \ge 1$

On propose de résoudre en classe l'inéquation du second degré $4x^2 - 12x + 9 \le 0$. Deux élèves choisissent des stratégies différentes :

• Méthode 1 (Marc) : il applique la formule générale du second degré, vérifie que le discriminant est nul, détermine la racine double $x = 1,5$, partage la droite réelle en deux intervalles à gauche et à droite de $1,5$ et évalue un nombre test dans chacun pour en déduire le signe.

• Méthode 2 (Sarah) : elle reconnaît immédiatement que le polynôme est l'identité remarquable $(2x - 3)^2$ et en déduit directement la solution en raisonnant sur les propriétés des carrés dans les nombres réels.

1. a) Expliquer comment Sarah déduit la solution à partir de l'identité remarquable sans avoir à tester aucune valeur numérique.
2. b) Comparer l'efficacité des deux méthodes et justifier laquelle est la plus avantageuse dans ce cas.
3. c) Qu'aurait-il se passé si l'inéquation initiale avait été $4x^2 - 12x + 9 < 0$ ? Et si elle avait été $4x^2 - 12x + 9 > 0$ ? Écrire la solution de chacun de ces deux nouveaux cas en justifiant la réponse.

Lors d'une vague de froid dans le département de la Lozère, Météo-France enregistre que la température $T$ (en $^{\circ}\text{C}$) au cours d'une journée d'hiver dépend de l'heure solaire $t$ (avec $t \in [0 ; 24]$ mesuré en heures depuis 00:00) selon la fonction du second degré :

Pour éviter que les conduites d'eau d'une exploitation d'élevage ne gèlent, le système de chauffage automatique doit se déclencher tant que la température est strictement négative ($T(t) < 0$).

1. a) Écrire l'inéquation du second degré correspondante et la résoudre analytiquement en déterminant les racines et en dressant le tableau de signes.
2. b) Exprimer la solution sous forme d'intervalle en respectant le domaine temporel de la journée, $[0 ; 24]$.
3. c) Interpréter le résultat obtenu en indiquant précisément pendant quelles plages horaires de la journée le chauffage restera allumé.

Déterminer pour quelles valeurs du paramètre $m$ l'inéquation du second degré $x^2 - mx + (m + 3) > 0$ est vérifiée pour tout nombre réel $x$.

La population d'une certaine espèce invasive dans un lac, mesurée en milliers d'individus, suit le modèle $P(t) = -0,2t^2 + 3,2t + 4$, où $t$ est le temps en mois depuis la détection de l'invasion. Les autorités décident d'intervenir lorsque la population dépasse $14\,000$ individus. Cependant, le traitement écologique n'est efficace que s'il peut être appliqué pendant au moins $3$ mois consécutifs durant lesquels la population reste au-dessus de ce seuil. Écrire l'inéquation et déterminer s'il sera possible d'appliquer le traitement avec succès d'après ce modèle.

On veut fabriquer un plateau sans couvercle à partir d'une plaque rectangulaire d'aluminium de $30 \times 20 \text{ cm}$, en découpant des carrés identiques de côté $x$ aux quatre coins et en repliant vers le haut les rabats obtenus. Si, pour des raisons de conception, l'aire de la base du plateau doit être d'au moins $200 \text{ cm}^2$, écrire et résoudre l'inéquation correspondante pour déterminer l'intervalle des valeurs possibles de $x$.

Résoudre l'inéquation bicarrée suivante à l'aide d'un changement de variable et exprimer la solution finale comme réunion d'intervalles :

$x^4 - 13x^2 + 36 \le 0$

Le câble principal de suspension d'un pont a la forme d'une parabole. En prenant comme origine du repère le point le plus bas du câble, la hauteur $y$ (en mètres) du câble par rapport à la chaussée, à une distance horizontale $x$ (en mètres) du centre, est donnée par la fonction $y = 0,005x^2 + 2$. Pour des raisons de sécurité aérienne, des feux de balisage doivent être installés sur les portions du câble dont la hauteur par rapport à la chaussée est comprise entre $10 \text{ m}$ et $22 \text{ m}$. Écrire le système d'inéquations et calculer sur quels intervalles de distance horizontale depuis le centre ces feux seront installés.

Résoudre l'inéquation avec valeur absolue en la transformant d'abord en un système d'inéquations du second degré :

$|x^2 - 4x| \le 5$

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction suivante, qui combine des contraintes sur des radicandes et des dénominateurs :

$g(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 4}} + \sqrt{9 - x^2}$

Soit les fonctions du second degré $f(x) = x^2 - 2x - 3$ et $g(x) = -x^2 + 4x + 5$. Déterminer analytiquement sur quel intervalle de la droite réelle on a $f(x) < g(x)$. À l'aide du graphique ci-joint qui représente les deux fonctions et l'aire comprise entre elles, vérifier la cohérence de votre résultat.

Considérer l'inéquation du second degré $(2x - 1)^2 < 3x + 14$.

1. a) Estimer : avant toute transformation algébrique, évaluer mentalement les deux membres de l'inégalité pour les entiers $x = -2$, $x = -1$, $x = 2$ et $x = 3$. À partir de ces données, déduire entre quels deux entiers consécutifs se trouve la plus petite racine et entre quels deux entiers consécutifs se trouve la plus grande. En déduire une estimation justifiée de l'intervalle solution.
2. b) Résoudre : passer tous les termes dans le membre de gauche, réduire le polynôme à la forme $ax^2 + bx + c < 0$, calculer ses racines exactes avec la formule du second degré et déterminer l'ensemble des solutions analytiquement à l'aide d'un tableau de signes.
3. c) Vérifier : utiliser l'approximation $\sqrt{257} \approx 16,03$ pour exprimer les bornes de l'intervalle sous forme décimale et vérifier si votre estimation du a) était cohérente. Enfin, expliquer, en s'appuyant sur la continuité des fonctions polynômes, pourquoi le signe du polynôme du second degré ne peut changer en aucun point situé entre les deux racines calculées.

On cherche à déterminer de façon unique les coefficients d'une inéquation du second degré de la forme $ax^2 + bx + c \le 0$ à partir des informations suivantes sur le polynôme $P(x) = ax^2 + bx + c$ :

1) L'ensemble des solutions de l'inéquation $P(x) \le 0$ est exactement l'intervalle fermé $[-1 ; 5]$.

2) Le sommet de la parabole associée à $P(x)$ atteint un minimum absolu égal à $-18$.

1. a) Justifier le signe du coefficient dominant $a$ à partir de la géométrie de la parabole et du fait que la solution est un unique intervalle borné et non la réunion de deux demi-droites disjointes.
2. b) Déterminer les valeurs numériques exactes de $a$, $b$ et $c$.
3. c) Sans calcul algébrique supplémentaire ni nouveau tableau de signes, déduire en justifiant l'ensemble des solutions des trois inéquations suivantes :

• $ax^2 + bx + c < -18$

• $ax^2 + bx + c \ge -18$

• $ax^2 + bx + c > 0$