Exercices: Courbes, parité et valeurs remarquables

Calculer, sans calculatrice, $\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)$, $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$, $\cos\left(\frac{7\pi}{3}\right)$ et $\sin\left(\frac{5\pi}{2}\right)$.

On considère les fonctions $\cos$ et $\sin$ définies sur $\mathbb{R}$.

1. a) Rappeler leur période et leur parité.

1. b) Traduire graphiquement la parité de chacune.

1. c) Donner les valeurs de $x$ de $[0\,;2\pi]$ pour lesquelles $\cos x = 0$.

Soit $f(x) = 2\sin x$ sur $\mathbb{R}$.

1. a) Donner le maximum et le minimum de $f$.

1. b) Donner sa période.

1. c) Calculer $f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ et $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$.

1. a) Dans un carré $ABCD$ de côté 1, calculer la longueur de la diagonale $AC$ et en déduire $\cos\frac{\pi}{4}$ et $\sin\frac{\pi}{4}$ en considérant le triangle $ABC$.

1. b) Dans un triangle équilatéral $ABC$ de côté 1, on note $H$ le pied de la hauteur issue de $A$. Calculer $AH$ et en déduire $\cos\frac{\pi}{3}$ et $\sin\frac{\pi}{3}$ en considérant le triangle $ABH$.

Résoudre dans $[0\,;2\pi]$ :

1. a) $\cos x = \frac{1}{2}$ ;

1. b) $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

1. c) $2\sin^2 x - 1 = 0$.

Soit $f(x) = \sin x + \cos x$ sur $\mathbb{R}$.

1. a) Montrer que $f$ est $2\pi$-périodique.

1. b) Calculer $f(0)$, $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$, $f(\pi)$ et $f\left(\frac{3\pi}{2}\right)$.

1. c) Calculer $f(-x)$ et conclure sur la parité éventuelle de $f$.

Soit $f(x) = \cos x + \frac{1}{2}\cos 2x$ sur $\mathbb{R}$.

1. a) Montrer que $f$ est paire et $2\pi$-périodique, et justifier que l'on peut l'étudier sur $[0\,;\pi]$.

1. b) Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = -\sin x\,(1 + 2\cos x)$.

1. c) Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0\,;\pi]$.

1. d) Décrire la courbe sur $[-\pi\,;\pi]$ à l'aide de symétries.

Soit $g$ la fonction définie sur $[0\,;+\infty[$ par $g(x) = \sin x - x$.

1. a) Calculer $g'(x)$ et étudier son signe.

1. b) En déduire que $\sin x \leq x$ pour tout $x \geq 0$.

1. c) On admet que $\sin x \geq x - \frac{x^3}{6}$ pour tout $x \geq 0$. Vérifier numériquement cette inégalité pour $x = 1$ avec $\sin 1 \approx 0{,}841$.

On admet que, pour tous réels $a$ et $b$, $\cos(a-b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b$.

1. a) En déduire $\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$.

1. b) Retrouver $\cos\frac{\pi}{12}$ en écrivant $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$.

1. c) Montrer que $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$ en utilisant $\cos(a+b)$ obtenue avec $b \to -b$.