Exercices: Produit scalaire

Étant donné les vecteurs $\vec{u} = (3, -2)$ et $\vec{v} = (4, 5)$, calculer leur produit scalaire et déterminer s'ils sont orthogonaux.

Sachant que les normes de deux vecteurs sont $|\vec{a}| = 4$ et $|\vec{b}| = 6$, et que l'angle qu'ils forment est de $60^\circ$, calculer la valeur exacte de leur produit scalaire $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Déterminer la valeur du paramètre $m$ pour que les vecteurs $\vec{p} = (m, -3)$ et $\vec{q} = (6, 2)$ soient orthogonaux.

Calculer l'angle formé par les vecteurs $\vec{u} = (1, \sqrt{3})$ et $\vec{v} = (-\sqrt{3}, 1)$.

Étant donné les points du plan $A(1 ; 2)$, $B(4 ; 3)$ et $C(0 ; 5)$, calculer la valeur du produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.

En utilisant les propriétés du produit scalaire, développer et calculer la valeur de l'expression $(\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v})$ sachant que $|\vec{u}| = 5$ et $|\vec{v}| = 3$.

Déterminer les coordonnées d'un vecteur $\vec{w}$ orthogonal au vecteur $\vec{v} = (-5, 12)$ et de même norme.

Calculer la norme du vecteur $\vec{w} = 3\vec{u} - 2\vec{v}$ connaissant les composantes des vecteurs $\vec{u} = (1, -1)$ et $\vec{v} = (0, 4)$.

Hélène doit calculer l'angle formé par les vecteurs $\vec{u} = (1 ; -1)$ et $\vec{v} = (0 ; 3)$. Dans sa copie, elle écrit la démarche suivante :

« $\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 0 + (-1) \cdot 3 = -3$. Comme le produit scalaire ne peut pas être négatif quand on mesure des longueurs géométriques, je change le signe pour obtenir $+3$. Donc $\cos\alpha = \frac{3}{\sqrt{2} \cdot 3} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, d'où $\alpha = 45^\circ$ ».

1. a) Indiquer l'erreur conceptuelle commise par Hélène concernant le signe du produit scalaire et expliquer sa véritable signification géométrique en lien avec le type d'angle.
2. b) Corriger la résolution en calculant la valeur exacte de l'angle $\alpha$ formé par les deux vecteurs.

On considère les vecteurs du plan $\vec{u} = (5 ; 2)$ et $\vec{v} = (-1 ; 4)$.

1. a) Estimer : Sans effectuer la multiplication numérique de leurs composantes, placer mentalement les deux vecteurs dans les quadrants correspondants du repère et justifier si leur produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$ sera positif, négatif ou nul, en prédisant si l'angle qu'ils forment est aigu, obtus ou droit.
2. b) Vérifier : Calculer maintenant la valeur numérique exacte de $\vec{u} \cdot \vec{v}$ et déterminer la mesure en degrés de l'angle $\alpha$ entre eux (arrondie au dixième). Justifier si le résultat obtenu par le calcul confirme votre prédiction initiale.

Sur un chantier de construction, une grue tire un bloc de béton en appliquant une force constante représentée par le vecteur $\vec{F} = (450 ; 600)$ exprimée en newtons. Le bloc subit un déplacement rectiligne donné par le vecteur $\vec{d} = (12 ; 5)$ en mètres. Sachant que le travail mécanique est défini par $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$, calculer le travail effectué par la grue et l'angle formé par la force appliquée et le déplacement.

Calculer la ou les valeurs du paramètre $k$ pour que l'angle formé par les vecteurs $\vec{u} = (k\,;\,3)$ et $\vec{v} = (1\,;\,-2)$ soit exactement de $135^\circ$.

Vérifier, en utilisant uniquement le produit scalaire, si le triangle de sommets $A(-2 ; 1)$, $B(4 ; 3)$ et $C(1 ; 12)$ est rectangle, acutangle ou obtusangle. Si c'est un triangle rectangle, identifier le sommet de l'angle droit.

Dans le développement d'un moteur physique pour un jeu vidéo, un personnage se déplace dans la direction et le sens du vecteur $\vec{d} = (8 ; 4)$. La gravité dans cet environnement virtuel est définie par le vecteur $\vec{g} = (0; -9,8)$. Calculer la projection orthogonale du vecteur gravité sur la direction du déplacement du personnage.

Sachant que les normes de deux vecteurs sont $|\vec{a}| = 3$ et $|\vec{b}| = 5$, et que leur produit scalaire est $\vec{a} \cdot \vec{b} = -2$, calculer la valeur exacte de l'expression $(2\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 3\vec{b})$.

Déterminer les coordonnées d'un vecteur $\vec{v}$ orthogonal au vecteur $\vec{u} = (3 ; -4)$ et dont la norme est exactement $10$. Remarquer qu'il existe deux solutions possibles ; les donner toutes les deux.

Un panneau solaire plan est orienté de sorte que son vecteur normal (perpendiculaire à la surface) est $\vec{n} = (1 ; \sqrt{3})$. Les rayons du soleil arrivent sur le panneau selon la direction du vecteur $\vec{s} = (2 ; -1)$. Calculer l'angle d'incidence des rayons solaires, défini comme l'angle formé par le vecteur normal $\vec{n}$ et le vecteur des rayons solaires inversé $-\vec{s}$.

Déterminer la valeur de $x$ pour que le vecteur $\vec{u} = (x ; 2)$ forme un angle de $30^\circ$ avec le demi-axe positif des abscisses. Utiliser le produit scalaire avec le vecteur unitaire $\vec{i} = (1 ; 0)$ pour poser l'équation.

Déterminer les coordonnées d'un vecteur inconnu $\vec{w} = (x, y)$ qui vérifie simultanément les deux conditions géométriques suivantes :

1. Il est orthogonal au vecteur $\vec{u} = (3, -4)$.

2. Sa projection orthogonale algébrique sur la direction du vecteur $\vec{v} = (0, 5)$ est exactement $-3$.

Déterminer le vecteur $\vec{w}$, calculer sa norme et justifier si la solution obtenue est unique ou s'il existe plusieurs vecteurs vérifiant les deux conditions.

Dans une installation photovoltaïque du département de la Haute-Garonne, la direction d'incidence du rayonnement solaire à un instant donné est décrite par le vecteur unitaire $\vec{s} = (0,6;\, 0,8)$, qui pointe vers le Soleil. L'orientation d'un panneau plan est décrite par un vecteur unitaire perpendiculaire à sa surface, $\vec{n}$. La fraction de puissance captée par rapport au maximum théorique est donnée par le produit scalaire $\vec{s} \cdot \vec{n}$ (où la valeur $1$ correspond à $100\,\%$ de rendement).

À cause d'un jeu mécanique, le panneau se retrouve orienté avec un vecteur normal $\vec{n} = (0,8;\, 0,6)$.

1. a) Calculer $\vec{s} \cdot \vec{n}$ et déterminer quel pourcentage de sa puissance maximale théorique le panneau capte dans cette position.
2. b) Calculer l'angle de désalignement entre les rayons du soleil et la perpendiculaire au panneau.
3. c) Si un opérateur fait pivoter manuellement le panneau jusqu'à une orientation de vecteur normal $\vec{n}' = (-0,8;\, 0,6)$, la face avant du panneau produira-t-elle du courant ? Justifier la réponse en analysant le signe et en interprétant géométriquement la valeur du produit scalaire $\vec{s} \cdot \vec{n}'$.

Démontrer, en utilisant uniquement les propriétés algébriques du produit scalaire, que les diagonales de tout losange sont perpendiculaires.

Remarque : Vous pouvez modéliser les côtés du losange par deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de même origine et de même norme ($|\vec{u}| = |\vec{v}|$). Exprimer les diagonales en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

Déterminer les coordonnées d'un vecteur $\vec{w} = (x, y)$ sachant que son produit scalaire avec le vecteur $\vec{u} = (2, -1)$ est égal à $4$, et que son produit scalaire avec le vecteur $\vec{v} = (1, 3)$ est égal à $-5$.

Étant donné les vecteurs dépendant du paramètre $t$, $\vec{a} = (t, 2)$ et $\vec{b} = (t-1, t)$, déterminer la valeur de $t$ pour laquelle le produit scalaire $\vec{a} \cdot \vec{b}$ atteint son minimum. Calculer aussi l'angle formé par les vecteurs $\vec{a}$ et $\vec{b}$ pour cette valeur particulière de $t$.

Dans un triangle de sommets les points $P(-3 ; -1)$, $Q(5 ; -1)$ et $R(1 ; 6)$, utiliser le produit scalaire et l'orthogonalité de vecteurs pour déterminer les coordonnées exactes de son orthocentre (point d'intersection des trois hauteurs du triangle).

En infographie, l'intensité de la lumière diffuse sur une surface se calcule avec la loi de Lambert : $I = I_0 \max(0, \vec{n} \cdot \vec{l})$, où $\vec{n}$ est le vecteur normal unitaire à la surface et $\vec{l}$ est le vecteur unitaire pointant vers la source de lumière. Si une surface a un vecteur normal de même direction et de même sens que $\vec{v} = (-\sqrt{3}, 1)$ et que la source de lumière se trouve dans la direction et le sens du vecteur $\vec{w} = (1, 1)$, calculer l'intensité exacte de lumière $I$ comme fraction de $I_0$.

On sait que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs unitaires. Si les vecteurs $\vec{a} = \vec{u} + 2\vec{v}$ et $\vec{b} = 5\vec{u} - 4\vec{v}$ sont orthogonaux entre eux, déterminer l'angle exact formé par les vecteurs initiaux $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

On considère les points fixes $A(0 ; 3)$ et $B(5 ; 2)$. Déterminer tous les points $C$ situés sur l'axe des abscisses tels que le triangle $ABC$ soit rectangle avec l'angle droit au sommet $C$.

Démontrer analytiquement la « loi du parallélogramme » en utilisant les propriétés du produit scalaire. Autrement dit, démontrer que pour deux vecteurs quelconques $\vec{u}$ et $\vec{v}$, l'identité suivante est vérifiée :

$|\vec{u} + \vec{v}|^2 + |\vec{u} - \vec{v}|^2 = 2|\vec{u}|^2 + 2|\vec{v}|^2$

Expliquer chaque étape algébrique en s'appuyant sur la définition du carré de la norme comme produit scalaire d'un vecteur par lui-même.

On connaît les normes de deux vecteurs, $|\vec{u}| = 3$ et $|\vec{v}| = 5$, et on sait qu'ils forment entre eux un angle de $60^\circ$. On souhaite déterminer le cosinus de l'angle $\theta$ formé par les vecteurs somme $\vec{a} = \vec{u} + \vec{v}$ et différence $\vec{b} = \vec{u} - \vec{v}$. Deux élèves proposent des démarches différentes :

• Stratégie A (géométrie analytique) : Fixer un repère cartésien avec $\vec{u} = (3 ; 0)$ sur l'axe des abscisses, déterminer les composantes de $\vec{v} = (5\cos 60^\circ ; 5\sin 60^\circ)$ à l'aide de rapports trigonométriques, additionner et soustraire pour obtenir $\vec{a}$ et $\vec{b}$ en coordonnées, puis appliquer l'expression analytique du produit scalaire.

• Stratégie B (algèbre vectorielle) : Développer symboliquement $\vec{a} \cdot \vec{b} = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v})$ et les normes $|\vec{a}|^2 = (\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})$ et $|\vec{b}|^2 = (\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})$ en utilisant uniquement les propriétés de commutativité, de distributivité et $\vec{x}\cdot\vec{x}=|\vec{x}|^2$, sans fixer d'axes ni de coordonnées.

1. a) Appliquer complètement les deux stratégies pour obtenir la valeur exacte de $\cos\theta$.
2. b) Comparer les deux démarches : laquelle des deux méthodes met en évidence une propriété géométrique qui ne dépend absolument pas de l'angle de $60^\circ$ ? Justifier laquelle est la plus directe et la plus généralisable à trois dimensions.

1. a) Démontrer formellement, en utilisant uniquement les propriétés algébriques du produit scalaire (commutativité, distributivité et $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$), la célèbre loi du parallélogramme :

1. b) Dans le port de Marseille, deux remorqueurs aident à positionner une plateforme flottante en tirant par des câbles amarrés à un même point d'attache. Les forces appliquées sont modélisées par des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, de normes $|\vec{u}| = 8\text{ kN}$ et $|\vec{v}| = 6\text{ kN}$. Un dynamomètre placé au point d'attache indique que la force résultante totale a pour norme $|\vec{u} + \vec{v}| = 12\text{ kN}$. Sans calculer l'angle formé par les câbles ni utiliser de coordonnées cartésiennes, appliquer l'identité démontrée à la question précédente pour calculer la valeur exacte de la norme $|\vec{u} - \vec{v}|$.
2. c) À partir des données et des résultats précédents, déduire de façon justifiée le signe du produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$ et déterminer si l'angle compris entre les deux lignes de traction est aigu, droit ou obtus.