Exercices: Problèmes et équations du second degré

Trouver un nombre positif tel que le triple de son carré soit exactement égal à douze fois ce même nombre.

Le produit de deux nombres entiers consécutifs est $156$. Quels sont ces nombres ?

La base d'une parcelle rectangulaire mesure $5$ mètres de plus que sa hauteur. Si son aire totale est de $150 \text{ m}^2$, calculer ses dimensions.

Si, au carré de l'âge que Lucie aura dans $3$ ans, on retranche le triple de l'âge qu'elle avait il y a $2$ ans, on obtient $55$. Quel âge Lucie a-t-elle actuellement ?

Dans un triangle rectangle, un côté de l'angle droit mesure $7 \text{ cm}$ de plus que l'autre. Si l'hypoténuse mesure $13 \text{ cm}$, calculer la longueur des deux côtés de l'angle droit.

Le produit de deux nombres pairs positifs consécutifs est $288$. Déterminer ces nombres.

La somme des carrés de deux nombres entiers naturels impairs consécutifs est $130$. Déterminer de quels nombres il s'agit.

Si l'on augmente de $4 \text{ cm}$ le côté d'un carreau de céramique carré, son aire est multipliée par quatre. Quelle était la longueur initiale du côté ?

Marcos résout dans son devoir le problème suivant : « Le sol d'un entrepôt rectangulaire a une longueur qui mesure $5\text{ m}$ de plus que sa largeur. Si la surface totale est de $66\text{ m}^2$, quelles sont ses dimensions ? ».

Pour le résoudre, il pose $x(x+5) = 66 \implies x^2 + 5x - 66 = 0$. Il applique la formule générale et obtient correctement les racines $x_1 = 6$ et $x_2 = -11$. Il conclut ensuite : « Il y a deux entrepôts possibles : un de $6\text{ m}$ de large sur $11\text{ m}$ de long, et un autre de $11\text{ m}$ de large sur $16\text{ m}$ de long, car comme les distances ne peuvent pas être négatives, on change le signe de $-11$ et on ajoute $5$ ».

1. a) Identifier précisément l'erreur conceptuelle de Marcos dans son interprétation de la solution négative $x_2 = -11$.
2. b) Expliquer pourquoi l'équation algébrique donne deux solutions alors que le problème géométrique n'en admet qu'une.
3. c) Corriger la réponse finale en déterminant les véritables dimensions de l'entrepôt, puis calculer combien de mètres linéaires de plinthe seront nécessaires pour border tout son périmètre (sans déduire les portes).

Un artisan céramiste de Talavera de la Reina conçoit un carreau décoratif carré. Pour une commande spéciale, il modifie le moule en augmentant sa base de $3\text{ cm}$ et en réduisant sa hauteur de $2\text{ cm}$, obtenant une pièce rectangulaire dont la surface est de $84\text{ cm}^2$.

1. a) Sans résoudre l'équation, faire une estimation préalable : sachant que l'aire finale ($84\text{ cm}^2$) doit être très proche de celle du carré initial, estimer entre quels deux nombres entiers consécutifs se situe la longueur du côté du carreau d'origine.
2. b) Définir l'inconnue, poser l'équation du second degré correspondante et la résoudre pas à pas pour trouver la mesure exacte du côté du carreau d'origine.
3. c) Vérifier que votre solution mathématique est cohérente avec votre estimation initiale et contrôler dans l'énoncé que les dimensions du nouveau rectangle donnent bien l'aire indiquée.

Une piscine rectangulaire de $10 \text{ m}$ de long sur $6 \text{ m}$ de large est entourée d'une allée de pelouse de largeur uniforme $x$. Si l'aire de l'allée seule est de $80 \text{ m}^2$, quelle est la largeur de l'allée ?

Pour fabriquer un cerf-volant, il faut une toile en forme de losange. On sait que la grande diagonale mesure $4 \text{ cm}$ de plus que la petite diagonale, et que l'aire totale du cerf-volant est de $96 \text{ cm}^2$. Calculer la longueur des deux diagonales.

Un groupe d'amis décide d'acheter un cadeau de mariage qui coûte $120$ euros, à payer à parts égales. À la dernière minute, deux autres amis se joignent au groupe, ce qui fait que chacun des précédents doit payer $3$ euros de moins que prévu initialement. Combien d'amis composaient le groupe initial ?

Un projectile est lancé verticalement vers le haut. Sa hauteur $h$ (en mètres) en fonction du temps $t$ (en secondes) est donnée par l'expression $h = 40t - 5t^2$. À quels instants le projectile se trouvera-t-il exactement à une hauteur de $75 \text{ mètres}$ ?

Le prix d'achat d'un lot de T-shirts est de $300$ euros. Le vendeur décide d'en garder $5$ pour sa famille et de vendre le reste à $2$ euros de plus que ce que chacun lui a coûté. S'il obtient, après les avoir tous vendus, un bénéfice net de $60$ euros (c'est-à-dire qu'il encaisse $360$ euros au total), combien de T-shirts a-t-il achetés au départ ?

Une entreprise de technologie fabrique des panneaux solaires de forme rectangulaire. La longueur du panneau doit être le double de sa largeur moins $1 \text{ mètre}$. Si, pour un nouveau modèle, la surface du panneau doit être de $28 \text{ m}^2$, déterminer ses dimensions.

La différence entre les âges d'un grand-père et de son petit-fils est de $56$ ans. Il y a $4$ ans, l'âge du grand-père était exactement le carré de l'âge du petit-fils. Quels sont leurs âges actuels ?

Lors d'une compétition d'athlétisme, on lance un poids. La trajectoire suit une parabole d'équation $y = -0,05x^2 + 0,8x + 1,8$, où $x$ est la distance horizontale en mètres et $y$ la hauteur en mètres. À quelle distance horizontale le poids touchera-t-il le sol ?

Pour encourager la mobilité durable, une commune conçoit un nouveau parking fermé pour vélos de $180\text{ m}^2$ de surface. En raison des contraintes du trottoir piéton, la profondeur (largeur) de l'enceinte doit mesurer exactement $8\text{ m}$ de moins que sa façade (longueur).

1. a) Noter $x$ la longueur de la façade en mètres, écrire l'expression qui représente la profondeur et poser une unique équation du second degré modélisant la surface.
2. b) Résoudre l'équation, analyser la signification des deux solutions mathématiques obtenues et déterminer les dimensions réelles de la parcelle.
3. c) La mairie dispose d'un budget maximal de $8000\text{ euros}$. Si le revêtement drainant coûte $35\text{ euros/m}^2$ et la clôture de sécurité qui entoure les quatre côtés coûte $25\text{ euros}$ le mètre linéaire, vérifier numériquement si le budget alloué est suffisant pour réaliser les travaux.

Un enseignant veut préparer pour sa classe un problème de conception géométrique dont la résolution conduit à l'équation du second degré $x^2 - 15x + 54 = 0$, dont les solutions sont $x_1 = 9$ et $x_2 = 6$.

1. a) Rédiger l'énoncé d'un problème contextualisé (par exemple, clôturer un potager ou concevoir une terrasse) faisant intervenir le demi-périmètre ($15\text{ m}$) et l'aire ($54\text{ m}^2$), de sorte que cette équation apparaisse directement lors de la mise en équation.
2. b) Résoudre l'équation et interpréter pourquoi, dans ce cas particulier, les DEUX solutions numériques sont positives et valides, en expliquant ce qu'elles représentent géométriquement.
3. c) Modifier uniquement la donnée de l'aire dans votre énoncé pour obtenir une situation physiquement impossible (c'est-à-dire qu'aucun rectangle ne puisse être construit avec ce demi-périmètre). Justifier votre proposition en analysant le signe du discriminant ($\Delta = b^2 - 4ac$) de la nouvelle équation obtenue.

On dispose d'une plaque de carton rectangulaire de $30 \text{ cm}$ de long sur $20 \text{ cm}$ de large. On souhaite construire une boîte sans couvercle en découpant un carré de côté $x$ à chaque coin et en repliant les rabats vers le haut. Si l'aire de la base de la boîte obtenue doit être de $336 \text{ cm}^2$, calculer la valeur de $x$ et le volume de la boîte.

Deux tuyaux remplissent ensemble un réservoir d'eau en $6$ heures. Si l'on n'ouvrait que le premier tuyau, il mettrait $5$ heures de moins à remplir le réservoir que si l'on n'ouvrait que le second. Combien de temps chaque tuyau mettrait-il à remplir le réservoir seul ?

Deux voitures partent en même temps du même carrefour sur deux routes perpendiculaires. L'une roule à $10 \text{ km/h}$ de plus que l'autre. Au bout de $2$ heures, la distance en ligne droite qui les sépare est de $100 \text{ km}$. À quelle vitesse roule chacune ?

Un investisseur place un capital de $5000$ euros à un certain taux d'intérêts composés annuel. Au bout de deux ans, le capital accumulé est de $5408$ euros. Quel a été le taux d'intérêt annuel appliqué ?

Un cycliste se rend d'un village A à un village B, distants de $60 \text{ km}$. Au retour, à cause de la fatigue, sa vitesse moyenne est inférieure de $5 \text{ km/h}$ à celle de l'aller, si bien qu'il met $1$ heure de plus pour effectuer le même trajet. À quelle vitesse a-t-il roulé à l'aller ?

Un artisan veut concevoir un cadre en bois pour un miroir rectangulaire. Les dimensions du miroir sont $80 \text{ cm}$ de haut sur $60 \text{ cm}$ de large. Le cadre aura une épaisseur uniforme de $x \text{ cm}$ en haut et en bas, mais sur les côtés l'épaisseur sera le double, soit $2x \text{ cm}$. Si l'aire totale du cadre (sans le miroir) doit être de $2400 \text{ cm}^2$, déterminer la valeur de $x$.

Une troupe de théâtre loue une salle pour $800$ euros pour une représentation. Pour couvrir les frais, elle décide de fixer un prix d'entrée. Le jour du spectacle, $40$ spectateurs de plus que prévu viennent, si bien que l'organisateur décide de baisser le prix de l'entrée de $1$ euro, et encaisse exactement les $800$ euros nécessaires. Combien de spectateurs ont finalement assisté à la représentation ?

Une boîte de conserve cylindrique est conçue de sorte que sa hauteur soit exactement égale au diamètre de sa base. Si l'on a utilisé exactement $150\pi \text{ cm}^2$ de fer-blanc pour fabriquer la boîte (y compris les deux disques et la surface latérale), calculer le rayon de la base.

Une copropriété à Nantes dispose d'une cour intérieure carrée de côté inconnu. Lors d'une rénovation, les copropriétaires décident de réduire de $2\text{ m}$ sur un côté pour installer une rampe d'accessibilité et d'agrandir de $6\text{ m}$ sur le côté perpendiculaire en utilisant un local désaffecté. La nouvelle cour rectangulaire obtenue a une surface de $105\text{ m}^2$.

Pour trouver les dimensions de la cour d'origine, deux membres du conseil proposent des démarches différentes :

• Méthode A (Charles) : Il choisit comme inconnue $x$ le côté de la cour carrée d'origine et pose l'équation : $(x - 2)(x + 6) = 105$.

• Méthode B (Lucie) : Elle choisit comme inconnue $y$ la plus petite largeur de la nouvelle cour rectangulaire, en déduit que la longueur mesurera $y + 8$ et pose l'équation : $y(y + 8) = 105$, en calculant le côté d'origine à la fin comme $y + 2$.

1. a) Développer et résoudre entièrement les deux méthodes. Vérifier qu'elles conduisent aux mêmes dimensions initiales et finales.
2. b) Comparer algébriquement les deux équations : laquelle présente les coefficients les plus maniables pour calculer mentalement le discriminant ? Quels sont les avantages et les inconvénients de chacune quant au risque d'étourderie en répondant à la question finale du problème ?

Un train à grande vitesse parcourt habituellement le trajet direct de $300\text{ km}$ entre Paris et Bordeaux à une vitesse moyenne constante $v$ (en $\text{km/h}$). En raison de travaux sur l'infrastructure, un jour donné il doit réduire sa vitesse moyenne sur tout le parcours de $50\text{ km/h}$, ce qui provoque un retard d'une demi-heure ($0,5\text{ h}$) par rapport à son horaire habituel.

1. a) Définir clairement ce que représente l'inconnue $v$ et poser une unique équation reliant la distance fixe, les deux vitesses moyennes et la différence de durée entre les deux trajets.
2. b) Transformer la relation précédente en une équation du second degré sous forme générale ($av^2+bv+c=0$), la résoudre et déterminer la vitesse moyenne habituelle du train et la durée normale du trajet.
3. c) L'équation mathématique donne deux solutions réelles ($v_1$ et $v_2$). Expliquer en argumentant pourquoi la racine négative est écartée dans ce contexte physique.
4. d) La norme de qualité ferroviaire exige que les retards dus aux travaux ne dépassent pas $20\text{ minutes}$ ($\frac{1}{3}\text{ d'heure}$). Sans résoudre une autre équation du second degré complète, raisonner qualitativement : la réduction de vitesse admissible devrait-elle être supérieure ou inférieure à $50\text{ km/h}$ pour respecter ce standard ?