Exercices: Équations du second degré

Résoudre l'équation du second degré incomplète suivante en isolant directement l'inconnue :

$4x^2 - 64 = 0$

Calculer les solutions de l'équation du second degré incomplète suivante en factorisant par le facteur commun :

$3x^2 + 15x = 0$

Appliquer la formule générale pour trouver les racines de l'équation du second degré complète suivante :

$x^2 - 7x + 10 = 0$

Déterminer si l'équation $2x^2 + 3x + 5 = 0$ admet une solution dans l'ensemble des nombres réels en calculant au préalable la valeur de son discriminant $\Delta$.

Trouver les solutions de l'équation suivante, déjà factorisée, sans développer le produit :

$(2x - 5)(x + 4) = 0$

Écrire une équation du second degré sous la forme $x^2 + bx + c = 0$ sachant que ses seules solutions sont $x_1 = 3$ et $x_2 = -8$.

Déterminer la valeur du coefficient $c$ dans l'équation $x^2 + 4x + c = 0$ pour qu'elle admette une unique solution réelle double.

Le carré d'un entier naturel moins son triple est exactement égal à $18$. Poser une équation du second degré et déterminer de quel nombre il s'agit.

Lucas résout l'équation $2x^2 - 10x = 0$ au tableau et effectue les étapes suivantes dans son cahier :

En consultant le corrigé du manuel, il constate avec surprise que l'équation a en réalité deux solutions : $x_1 = 0$ et $x_2 = 5$.

1. a) Expliquer avec précision mathématique quelle erreur conceptuelle Lucas a commise en divisant les deux membres par l'inconnue $x$ et pourquoi cette opération a éliminé l'une des solutions valides.
2. b) Résoudre correctement l'équation en factorisant par le facteur commun et justifier chaque étape en appliquant la propriété du produit nul.

On souhaite construire une équation du second degré à coefficients entiers de la forme $ax^2 + bx + c = 0$ dont les solutions exactes sont $x_1 = -\frac{3}{2}$ et $x_2 = 4$.

1. a) Appliquer les formules de Viète pour déduire la valeur exacte de la somme ($S = x_1 + x_2$) et du produit ($P = x_1 \cdot x_2$) des solutions sous forme de fractions irréductibles.
2. b) Écrire une équation équivalente à coefficients entiers ($a, b, c \in \mathbb{Z}$), sans dénominateurs, avec $a > 0$ et telle que les coefficients n'aient aucun facteur commun (c'est-à-dire qu'ils soient premiers entre eux).
3. c) L'équation obtenue à la question précédente est-elle la seule équation du second degré qui admette exactement ces deux solutions ? Justifier la réponse en raisonnant sur ce qui se passe lorsque l'on multiplie tous les coefficients par une constante $k \neq 0$.

Pour rénover le salon rectangulaire d'un logement, l'architecte indique que la longueur mesure $2\text{ m}$ de plus que la largeur. Si l'aire totale du salon est de $35\text{ m}^2$, poser une équation du second degré et calculer les dimensions exactes de la pièce.

Un ingénieur aérospatial lance une fusée d'essai. La hauteur $h$ (en mètres) atteinte par la fusée en fonction du temps $t$ (en secondes) est donnée par l'expression $h(t) = 40t - 5t^2$. Déterminer à quels instants la fusée se trouve exactement à une hauteur de $75\text{ m}$.

Développer les identités remarquables, regrouper les termes semblables et résoudre l'équation suivante :

$(x + 2)^2 - 2(x - 1)^2 = 3x + 6$

La vente des billets de la comédie musicale du lycée dégage un bénéfice $B$ (en dizaines d'euros) qui dépend du nombre de billets vendus $x$ (en dizaines) selon l'équation $B(x) = -x^2 + 50x - 400$. Calculer combien de billets il faut vendre exactement pour que le bénéfice soit nul (le seuil de rentabilité).

Déterminer la valeur numérique du paramètre $k$ pour que l'équation $3x^2 - kx + 12 = 0$ admette une unique solution réelle double.

Sur une rampe de skate en forme de triangle rectangle, le plus grand côté de l'angle droit mesure $7\text{ m}$ de plus que le plus petit, et l'hypoténuse mesure $2\text{ m}$ de plus que le plus grand côté de l'angle droit. Poser une équation du second degré à l'aide du théorème de Pythagore et calculer la longueur des trois côtés de la rampe.

Résoudre l'équation suivante en opérant d'abord sur les fractions algébriques. Vérifier les solutions obtenues pour écarter d'éventuelles fausses racines qui annuleraient les dénominateurs :

$\frac{x}{x-2} + \frac{2x}{x+2} = \frac{16}{x^2-4}$

Sachant que l'une des solutions de l'équation $2x^2 + bx - 15 = 0$ est $x_1 = 3$, calculer, sans résoudre complètement l'équation, la valeur de l'autre solution $x_2$ et la valeur du coefficient $b$.

Pour résoudre l'équation $(3x - 1)^2 - 25 = 0$, Alba et Mateo proposent des stratégies différentes :

• Alba propose de développer l'identité remarquable, de soustraire $25$, de regrouper les termes sous la forme générale $ax^2 + bx + c = 0$ et d'appliquer la formule générale avec le discriminant.

• Mateo propose d'isoler directement la puissance, en écrivant $(3x - 1)^2 = 25$, et de prendre la racine carrée des deux membres en considérant le double signe $\pm$.

1. a) Résoudre l'équation en suivant pas à pas la méthode d'Alba puis celle de Mateo, en vérifiant que toutes deux conduisent aux mêmes solutions.
2. b) Comparer les deux méthodes et justifier laquelle est la plus efficace et présente le moins de risques d'erreurs de calcul (signes, opérations avec de grands nombres).
3. c) La méthode abrégée de Mateo serait-elle directement applicable pour résoudre l'équation $(3x - 1)^2 - 6x = 25$ ? Justifier pourquoi oui ou pourquoi non.

D'après les études techniques de la Sécurité routière, la distance totale d'arrêt $d$ (en mètres) d'une voiture sur chaussée sèche en fonction de la vitesse $v$ (en $\text{km/h}$) à laquelle elle circule est approchée par le modèle quadratique :

où $0,3v$ correspond à la distance parcourue pendant le temps de réaction du conducteur et $0,005v^2$ au freinage mécanique. La police municipale enquête sur un accident sur une avenue urbaine dont la limite générale est de $50\text{ km/h}$ et relève une trace d'arrêt totale de $36\text{ m}$.

1. a) Estimer : avant de résoudre l'équation, calculer mentalement ou par un tâtonnement rapide quelle distance serait nécessaire pour s'arrêter à $50\text{ km/h}$ et à $70\text{ km/h}$. À partir de ces valeurs, encadrer entre quelles dizaines de $\text{km/h}$ se situe la vitesse du véhicule.
2. b) Poser l'équation du second degré correspondant à $d = 36\text{ m}$ et la résoudre à l'aide de la formule générale pour obtenir la valeur numérique exacte de $v$.
3. c) Vérifier : écarter, avec un critère physique, l'une des solutions mathématiques obtenues et déterminer si le véhicule dépassait la limite de vitesse légale, en confrontant le résultat à votre estimation préalable.

Une photographie rectangulaire de dimensions $20\text{ cm}$ de base sur $15\text{ cm}$ de hauteur va être encadrée avec une marie-louise de largeur uniforme $x$. Si l'aire totale de l'ensemble (photographie plus marie-louise) doit être exactement de $500\text{ cm}^2$, poser une équation du second degré et calculer la largeur $x$ de la marie-louise.

Dans une ligue de volley-ball, chaque équipe joue exactement un match contre toutes les autres. Sachant que le nombre total de matchs disputés dans un tournoi de $n$ équipes est donné par la formule $\frac{n(n-1)}{2}$, et qu'à la fin de la saison $105$ matchs au total ont été disputés, poser l'équation correspondante et trouver combien d'équipes ont participé à la ligue.

Deux tuyaux d'arrosage de diamètres différents remplissent ensemble un réservoir d'eau en $6\text{ heures}$. Si l'on n'utilisait que l'un d'eux, le tuyau le plus fin mettrait $5\text{ heures}$ de plus que le tuyau le plus gros pour remplir le réservoir seul. Poser une équation du second degré en additionnant les fractions de réservoir que remplit chaque tuyau en une heure, et calculer le temps que mettrait chaque tuyau en fonctionnant seul.

Discuter, en fonction des différentes valeurs du paramètre $m$, le nombre de solutions réelles de l'équation du second degré suivante :

$mx^2 - 2(m-1)x + m = 0$

Veiller à analyser ce qui se passe lorsque le discriminant est positif, nul ou négatif, et ne pas oublier le cas particulier où le coefficient dominant s'annule.

Un sculpteur veut diviser une tige de laiton de $1\text{ mètre}$ de longueur en deux morceaux de longueurs $x$ et $1-x$ ($x$ étant le plus grand morceau, c'est-à-dire $x > 1-x$). Il souhaite que le rapport entre la tige entière et le grand morceau soit égal au rapport entre le grand morceau et le petit morceau. Poser l'équation correspondante et trouver la valeur exacte de $x$.

L'aire d'un rectangle est de $60\text{ cm}^2$ et la longueur de sa diagonale est de $13\text{ cm}$. En notant $x$ la base et $y$ la hauteur, exprimer $y$ en fonction de $x$ à l'aide de l'aire. Substituer ensuite dans le théorème de Pythagore pour la diagonale et résoudre l'équation bicarrée obtenue pour trouver les dimensions exactes du rectangle.

Résoudre l'équation suivante, dans laquelle apparaît un radical, en isolant d'abord la racine puis en élevant au carré les deux membres. Il est obligatoire de vérifier les solutions obtenues dans l'équation initiale pour écarter d'éventuelles fausses racines :

$\sqrt{2x + 7} - x = 2$

Un groupe d'élèves loue un autocar pour une sortie pour un coût total de $400\text{ €}$. À la dernière minute, $5$ élèves de plus s'inscrivent au voyage, ce qui fait que chacun de ceux qui devaient initialement y aller paie $4\text{ €}$ de moins. Poser une équation du second degré pour calculer combien d'élèves devaient partir au départ et la résoudre.

Une coopérative oléicole de la Drôme, spécialisée dans la production d'huile d'olive vierge extra, gère un domaine dont la densité standard est de $120$ oliviers par hectare, avec une récolte moyenne de $50\text{ kg}$ d'olives par arbre et par an. Les techniciens agricoles préviennent que, pour chaque olivier supplémentaire $x$ planté par hectare, la concurrence pour l'eau et les nutriments du sol réduit la production moyenne de chaque arbre de $0,25\text{ kg}$.

1. a) Écrire l'expression littérale de la production totale par hectare en fonction du nombre d'arbres ajoutés $x$, en multipliant le nombre total d'oliviers par le rendement en olives par arbre.
2. b) La coopérative planifie la campagne pour récolter au total $6\,375\text{ kg}$ d'olives par hectare. Poser l'équation du second degré correspondante, la mettre sous sa forme canonique $ax^2 + bx + c = 0$ et calculer les deux valeurs possibles de $x$.
3. c) Le modèle algébrique fournit deux solutions réelles positives. Interpréter la signification concrète de chacune d'elles et justifier de façon argumentée laquelle des deux options la coopérative a intérêt à adopter si son objectif est de minimiser les coûts de taille, de récolte et de consommation d'eau.

Considérer la famille d'équations suivante, où intervient un paramètre réel $k$ :

1. a) Un élève affirme que si $k = 2$, l'équation n'a aucune solution car, en appliquant la formule quadratique, le dénominateur $2a$ s'annule ($2 \cdot 0 = 0$). Réfuter son affirmation en expliquant quel type d'équation on obtient en réalité en remplaçant $k = 2$, et calculer sa solution.
2. b) Pour les cas où $k \neq 2$, calculer l'expression simplifiée du discriminant $\Delta$ en fonction de $k$ et déterminer formellement pour quelles valeurs du paramètre l'équation admet deux solutions réelles distinctes, une solution réelle double ou aucune solution réelle.
3. c) Sans calculer les solutions de l'équation, utiliser de manière justifiée les relations entre coefficients et racines (Viète) pour déterminer s'il existe une valeur de $k$ pour laquelle les deux racines sont opposées ($x_1 + x_2 = 0$). Si oui, déterminer cette valeur de $k$, vérifier si ses racines sont réelles et trouver la valeur des deux solutions.