Exercices: Second degré, géométrie repérée et produit scalaire

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=x^2-4x+3$.

1. Calculer le discriminant de $f(x)$, puis déterminer les racines de $f$.

2. Factoriser $f(x)$ et étudier son signe sur $\mathbb R$.

3. Montrer que, pour tout réel $x$, $f(x)=(x-2)^2-1$.

4. En déduire les coordonnées du sommet de la parabole d'équation $y=f(x)$ et l'équation de son axe de symétrie.

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points $A(1\,;2)$, $B(4\,;3)$ et $C(2\,;5)$.

1. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.

2. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.

3. Calculer les longueurs $AB$ et $AC$. Que peut-on dire du triangle $ABC$ ?

4. En déduire $\cos\widehat{BAC}$.

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère le cercle $\mathcal C$ de centre $\Omega(1\,;-2)$ et de rayon $3$.

1. Donner une équation de $\mathcal C$, puis montrer qu'elle s'écrit $x^2+y^2-2x+4y-4=0$.

2. Le point $A(4\,;-2)$ appartient-il à $\mathcal C$ ? Justifier.

3. Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\Omega A}$. En déduire une équation cartésienne de la tangente à $\mathcal C$ en $A$, c'est-à-dire de la droite passant par $A$ et perpendiculaire à $(\Omega A)$.

4. Le point $C(0\,;0)$ est-il à l'intérieur du cercle $\mathcal C$ ? Justifier.

Un jardinier veut délimiter un potager rectangulaire de périmètre 28 m et d'aire 45 m². On note $x$ la longueur d'un côté, en mètre.

1. Exprimer l'autre côté en fonction de $x$ et montrer que $x$ vérifie l'équation $x^2-14x+45=0$.

2. Résoudre cette équation et en déduire les dimensions du potager.

3. Pour un périmètre de 28 m, quelle est l'aire maximale d'un rectangle ? Pour quelles dimensions est-elle atteinte ? On pourra étudier la fonction $x\mapsto x(14-x)$ sur $[0\,;14]$.

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=5$, $AC=8$ et $\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{3}$.

1. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.

2. En utilisant la formule d'Al-Kashi, montrer que $BC=7$.

3. Calculer $\cos\widehat{ABC}$.

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points $A(-1\,;1)$ et $B(3\,;3)$.

1. Déterminer les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ et calculer le rayon du cercle $\mathcal C$ de diamètre $[AB]$.

2. Écrire une équation de $\mathcal C$, puis montrer qu'elle équivaut à $x^2+y^2-2x-4y=0$.

3. Soit $M(x\,;y)$ un point du plan. Montrer que $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=x^2+y^2-2x-4y$. Que peut-on en déduire ?

4. Montrer que l'origine $O(0\,;0)$ appartient à $\mathcal C$, puis que le triangle $OAB$ est rectangle en $O$.

Pour tout réel $m$, on considère la fonction $f_m$ définie sur $\mathbb R$ par $f_m(x)=x^2+mx+9$ et on note $\mathcal P_m$ sa courbe représentative dans un repère.

1. Exprimer en fonction de $m$ le discriminant $\Delta_m$ de $f_m(x)$.

2. Déterminer, suivant les valeurs de $m$, le nombre de points d'intersection de $\mathcal P_m$ avec l'axe des abscisses.

3. On prend $m=-10$.

a) Déterminer les racines de $f_{-10}$ à l'aide de leur somme et de leur produit.

b) Déterminer les coordonnées du sommet de $\mathcal P_{-10}$.

1. Déterminer les valeurs de $m$ pour lesquelles le sommet de $\mathcal P_m$ appartient à l'axe des abscisses.

2. Déterminer l'ensemble des réels $m$ pour lesquels $f_m(x)>0$ pour tout réel $x$.

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points $A(1\,;1)$, $B(5\,;1)$ et $C(2\,;4)$.

1. Donner une équation de la hauteur du triangle $ABC$ issue de $C$.

2. Déterminer les coordonnées de $\overrightarrow{BC}$, puis une équation cartésienne de la hauteur issue de $A$.

3. En déduire les coordonnées de l'orthocentre $H$ du triangle $ABC$, puis vérifier que $\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0$.

4. a) Donner une équation de la médiatrice de $[AB]$.

b) Montrer qu'une équation cartésienne de la médiatrice de $[AC]$ est $x+3y-9=0$.

c) En déduire les coordonnées du centre $\Omega$ du cercle circonscrit au triangle $ABC$, puis une équation de ce cercle.

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère le cercle $\mathcal C$ d'équation $x^2+y^2-4x+2y-20=0$ et la droite $d$ d'équation $x-2y+1=0$.

1. Montrer que $\mathcal C$ est un cercle dont on précisera le centre $\Omega$ et le rayon $R$.

2. Montrer que les abscisses des points d'intersection de $\mathcal C$ et de $d$ sont les solutions de l'équation $x^2-2x-15=0$.

3. En déduire les coordonnées des deux points d'intersection $P$ et $Q$ de $\mathcal C$ et de $d$, avec $x_P>x_Q$.

4. Soit $M$ le milieu de $[PQ]$.

a) Déterminer les coordonnées de $M$.

b) Montrer que $\overrightarrow{\Omega M}$ est orthogonal à un vecteur directeur de $d$.

c) Calculer $PQ$ et $\Omega M$, puis vérifier que $\left(\dfrac{PQ}{2}\right)^2+\Omega M^2=R^2$.