Exercices: Probabilités conditionnelles et variables aléatoires

Dans un lycée, on s'intéresse aux 200 élèves de première. On note $F$ l'événement « l'élève est une fille » et $D$ l'événement « l'élève est demi-pensionnaire ». Les effectifs sont donnés dans le tableau suivant.

	Demi-pensionnaires	Non demi-pensionnaires	Total
Filles	70	50	120
Garçons	40	40	80
Total	110	90	200

On choisit un élève au hasard.

1. Calculer $P(F)$, $P(D)$ et $P(F\cap D)$.

2. Calculer $P_F(D)$ et $P_D(F)$. Interpréter chacun de ces deux résultats par une phrase.

3. Les événements $F$ et $D$ sont-ils indépendants ? Justifier.

À la fête du lycée, un stand propose le jeu suivant : on lance une roue et le gain algébrique $X$, en euro, prend les valeurs $-1$, $1$ et $3$ avec les probabilités respectives $0{,}25$, $0{,}5$ et $0{,}25$.

1. Vérifier que cette loi de probabilité est bien définie, en la présentant sous forme de tableau.

2. Calculer l'espérance $E(X)$.

3. Calculer la variance $V(X)$ et l'écart type $\sigma(X)$.

4. Ce jeu est-il équitable ? Justifier.

Dans une ville, $60\,\%$ des élèves d'un lycée utilisent le métro pour venir en cours. Parmi ces élèves, $70\,\%$ ont cours à 8 h. Parmi les élèves qui n'utilisent pas le métro, $20\,\%$ ont cours à 8 h. On choisit un élève au hasard. On note $M$ l'événement « l'élève utilise le métro » et $H$ l'événement « l'élève a cours à 8 h ».

1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

2. Calculer $P(M\cap H)$.

3. Montrer que $P(H)=0{,}5$.

4. Calculer $P_H(M)$.

Une maladie touche $1\,\%$ d'une population. Un test de dépistage est positif pour $90\,\%$ des personnes malades et pour $10\,\%$ des personnes non malades. On choisit une personne au hasard dans la population. On note $M$ l'événement « la personne est malade » et $T$ l'événement « le test est positif ».

1. Construire un arbre pondéré traduisant la situation.

2. Calculer $P(M\cap T)$, puis montrer que $P(T)=0{,}108$.

3. Calculer $P_T(M)$ et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

4. Un élève affirme : « si le test est positif, la personne est presque sûrement malade ». Que penser de cette affirmation ?

Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules vertes, indiscernables au toucher. On tire successivement deux boules. On note $R_1$ (respectivement $R_2$) l'événement « la première (respectivement la seconde) boule est rouge ».

1. On suppose que le tirage se fait avec remise.

a) Calculer $P(R_1\cap R_2)$.

b) Les événements $R_1$ et $R_2$ sont-ils indépendants ? Justifier.

1. On suppose maintenant que le tirage se fait sans remise.

a) Calculer $P(R_1\cap R_2)$.

b) Montrer que $P(R_2)=0{,}4$.

c) Les événements $R_1$ et $R_2$ sont-ils indépendants ? Justifier.

Une urne contient 2 boules rouges et 3 boules vertes. On tire successivement et sans remise deux boules. On note $X$ le nombre de boules rouges obtenues.

1. Justifier que $P(X=0)=\dfrac{3}{10}$ et $P(X=2)=\dfrac{1}{10}$, puis déterminer la loi de probabilité de $X$.

2. Calculer l'espérance $E(X)$ et la variance $V(X)$.

3. Un joueur gagne 5 € par boule rouge tirée et doit payer une mise de $m$ euros pour jouer. Déterminer la valeur de $m$ pour laquelle le jeu est équitable.

Une usine possède trois machines $M_1$, $M_2$ et $M_3$. La machine $M_1$ produit $50\,\%$ des pièces, $M_2$ en produit $25\,\%$ et $M_3$ en produit $25\,\%$. Le taux de pièces défectueuses est de $2\,\%$ pour $M_1$, de $4\,\%$ pour $M_2$ et de $4\,\%$ pour $M_3$. On prélève une pièce au hasard dans la production. On note $D$ l'événement « la pièce est défectueuse ».

1. Justifier que $\{M_1\,;M_2\,;M_3\}$ forme une partition de l'univers, puis représenter la situation par un arbre pondéré.

2. Calculer $P(D)$.

3. La pièce prélevée est défectueuse. Calculer la probabilité qu'elle provienne de la machine $M_1$.

4. On prélève maintenant deux pièces, de façon indépendante. Calculer la probabilité qu'au moins une des deux soit défectueuse.

Aide au calcul : $0{,}97^2=0{,}9409$.

Un jeu se déroule en deux étapes. On lance d'abord une pièce équilibrée. Si on obtient « pile », on gagne 2 € et le jeu s'arrête. Si on obtient « face », on lance un dé équilibré à 6 faces : on gagne 8 € si on obtient 6, et on perd 4 € sinon. On note $X$ le gain algébrique, en euro, à l'issue du jeu.

1. Construire un arbre pondéré décrivant le jeu.

2. Montrer que la loi de probabilité de $X$ est donnée par $P(X=-4)=\dfrac{5}{12}$, $P(X=2)=\dfrac{1}{2}$ et $P(X=8)=\dfrac{1}{12}$.

3. Calculer l'espérance $E(X)$. Que peut-on en conclure ?

4. Calculer la variance $V(X)$ et l'écart type $\sigma(X)$.

5. Sachant que le gain est strictement positif, calculer la probabilité d'avoir obtenu « pile » au lancer de la pièce.

Un joueur de basket s'entraîne aux lancers francs. Il réussit le premier lancer avec la probabilité $0{,}5$. S'il réussit un lancer, il réussit le suivant avec la probabilité $0{,}8$ ; s'il le manque, il réussit le suivant avec la probabilité $0{,}4$. Pour tout entier $n\geqslant1$, on note $R_n$ l'événement « le joueur réussit le $n$-ième lancer » et $p_n=P(R_n)$. On a donc $p_1=0{,}5$.

1. Représenter par un arbre pondéré les deux premiers lancers, puis calculer $p_2$.

2. Justifier que, pour tout entier $n\geqslant1$, $p_{n+1}=0{,}4\,p_n+0{,}4$.

3. On pose $v_n=p_n-\dfrac23$ pour tout entier $n\geqslant1$.

a) Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

b) En déduire que $p_n=\dfrac23-\dfrac16\times0{,}4^{\,n-1}$ pour tout entier $n\geqslant1$.

1. Étudier le sens de variation de la suite $(p_n)$.

2. Conjecturer le comportement de $p_n$ lorsque $n$ devient grand, et interpréter ce résultat dans le contexte.