Exercices: Fonctions, dérivation et exponentielle

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=x^3-3x^2+1$.

1. Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)=3x(x-2)$.

2. Étudier le signe de $f'(x)$, puis dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb R$ (sans les limites).

3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $1$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=e^x-x$.

1. Calculer $f'(x)$.

2. Justifier que $f'(x)>0$ si et seulement si $x>0$. On rappelle que $e^0=1$ et que la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb R$.

3. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb R$ (sans les limites).

4. En déduire que, pour tout réel $x$, $e^x\geqslant x+1$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=(x+1)e^{-x}$.

1. Montrer que, pour tout réel $x$, $f'(x)=-x\,e^{-x}$.

2. Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb R$ (sans les limites).

3. Calculer $f(0)$ et $f(-1)$.

4. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=(2x-1)e^x$.

1. Montrer que, pour tout réel $x$, $f'(x)=(2x+1)e^x$.

2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb R$ (sans les limites) et préciser la valeur exacte de son minimum.

3. Résoudre dans $\mathbb R$ l'inéquation $f(x)\geqslant0$.

4. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$.

Soit $f$ la fonction définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x}$.

1. Vérifier que, pour tout $x>0$, $f(x)=x+\dfrac1x$.

2. Montrer que, pour tout $x>0$, $f'(x)=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x^2}$.

3. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0\,;+\infty[$ (sans les limites).

4. En déduire que, pour tout $x>0$, $x+\dfrac1x\geqslant2$.

5. Étudier la position relative de la courbe de $f$ et de la droite d'équation $y=x$.

Le lycée dispose de 120 m de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire le long d'un mur : le mur constitue un côté, et le grillage ne sert que pour les trois autres côtés. On note $x$ la largeur de l'enclos, en mètre (côté perpendiculaire au mur).

1. Justifier que $x\in[0\,;60]$ et que l'aire de l'enclos est $A(x)=120x-2x^2$.

2. Calculer $A'(x)$ et dresser le tableau de variations de $A$ sur $[0\,;60]$.

3. En déduire les dimensions de l'enclos d'aire maximale, ainsi que cette aire maximale.

Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;5]$ par $f(x)=(x-1)^2e^{-x}$.

1. Montrer que, pour tout $x\in[0\,;5]$, $f'(x)=(x-1)(3-x)e^{-x}$.

2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0\,;5]$. On donnera les valeurs exactes de $f(0)$, $f(1)$, $f(3)$ et $f(5)$.

3. On admet que $e>2$.

a) Justifier que $4e^{-3}<1$.

b) En déduire le maximum de $f$ sur $[0\,;5]$ et la valeur de $x$ pour laquelle il est atteint.

1. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$.

Soit $f$ la fonction définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{e^x}{x}$.

1. Montrer que, pour tout $x>0$, $f'(x)=\dfrac{(x-1)e^x}{x^2}$.

2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0\,;+\infty[$ (sans les limites).

3. En déduire que, pour tout $x>0$, $e^x\geqslant e\,x$.

4. Résoudre dans $]0\,;+\infty[$ l'équation $f(x)=e$. Justifier.

5. Donner une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $1$.

On injecte un médicament à un patient. La concentration de ce médicament dans le sang, en mg/L, est modélisée, $t$ heures après l'injection, par la fonction $C$ définie sur $[0\,;10]$ par $C(t)=t\,e^{-0{,}5t}$.

1. Montrer que, pour tout $t\in[0\,;10]$, $C'(t)=(1-0{,}5\,t)\,e^{-0{,}5t}$.

2. Dresser le tableau de variations de $C$ sur $[0\,;10]$. À quel instant la concentration est-elle maximale ? Donner sa valeur exacte.

3. Donner la valeur de $C'(0)$ et interpréter ce résultat. Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe de $C$ au point d'abscisse $0$.

4. Montrer que, pour tout $t\in[0\,;10]$, $C(t)-t=t\left(e^{-0{,}5t}-1\right)$. En déduire la position de la courbe de $C$ par rapport à $T$ sur $[0\,;10]$.