Exercices: Sujets type EAM

QCM sans calculatrice. Pour chaque question, donner la bonne réponse parmi A, B, C.

1) Le nombre dérivé de $f(x) = 3x^2$ en $x = 2$ est : A) $6$ ; B) $12$ ; C) $24$.

2) Le prix d'un article passe de 50 € à 60 €. Le taux d'évolution est : A) $10\,\%$ ; B) $20\,\%$ ; C) $120\,\%$.

3) La somme des 10 premiers termes de la suite arithmétique de premier terme $1$ et de raison $2$ vaut : A) $100$ ; B) $55$ ; C) $19$.

Réponses courtes, sans calculatrice.

1. a) La suite $(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $2$. Calculer $u_3$.

1. b) Résoudre $x^2 - 9 \leq 0$.

1. c) Donner le coefficient directeur de la droite d'équation $y = -2x + 7$.

Réponses courtes, sans calculatrice.

1. a) Calculer $\cos\frac{\pi}{3}$.

1. b) Convertir $\frac{3\pi}{4}$ radians en degrés.

1. c) $P(A) = 0{,}3$ ; calculer $P(\overline{A})$.

Partie 1 (sans calculatrice). Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant.

1. a) Une hausse de $10\,\%$ suivie d'une baisse de $10\,\%$ ramène au prix initial.

1. b) La fonction $f(x) = x^2 - 4x + 1$ admet un minimum égal à $-3$.

1. c) Si $P(A) = 0{,}5$ et $P(B) = 0{,}4$ avec $A$ et $B$ indépendants, alors $P(A \cap B) = 0{,}2$.

Partie 2. Une association de Nantes dispose de 1 200 adhérents en 2024. Chaque année, $5\,\%$ des adhérents ne renouvellent pas leur adhésion et 80 nouveaux adhérents arrivent. On note $a_n$ le nombre d'adhérents l'année $2024 + n$.

1. a) Justifier que $a_{n+1} = 0{,}95\,a_n + 80$.

1. b) Calculer $a_1$ et $a_2$.

1. c) On pose $b_n = a_n - 1\,600$. Montrer que $(b_n)$ est géométrique et préciser sa raison et son premier terme.

1. d) En déduire $a_n$ en fonction de $n$ et la limite éventuelle du nombre d'adhérents.

Partie 3. Soit $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ sur $\mathbb{R}$.

1. a) Calculer $f'(x)$ et la factoriser.

1. b) Dresser le tableau de variations de $f$.

1. c) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $0$.

1. d) Déterminer le nombre de solutions de $f(x) = 0$. On pourra calculer $f(-1)$.

Un fabricant de Grenoble produit entre 0 et 20 centaines de pièces par jour. Le coût total, en centaines d'euros, pour $x$ centaines de pièces est $C(x) = x^3 - 12x^2 + 60x + 50$, et la recette est $R(x) = 40x$ pour $x \in [0\,;20]$.

1. a) Exprimer le bénéfice $B(x)$ et calculer $B'(x)$.

1. b) Étudier les variations de $B$ sur $[0\,;20]$.

1. c) Déterminer la production qui maximise le bénéfice et le bénéfice maximal (on donnera la valeur exacte de la production, puis des valeurs arrondies au centième).

1. d) Le fabricant a-t-il intérêt à produire à pleine capacité, c'est-à-dire 20 centaines de pièces ? Justifier en comparant $B(20)$ avec la valeur trouvée à la question c).

Dans un lycée, $55\,\%$ des élèves sont des filles. Parmi elles, $40\,\%$ pratiquent un sport en club ; parmi les garçons, $50\,\%$ le pratiquent.

1. a) Représenter la situation par un arbre pondéré.

1. b) Calculer la probabilité qu'un élève choisi au hasard pratique un sport en club.

1. c) Sachant qu'un élève pratique un sport en club, calculer la probabilité que ce soit une fille (arrondir à $10^{-3}$).

1. d) On choisit 10 élèves indépendamment. Soit $X$ le nombre d'élèves pratiquant un sport en club. Donner la loi de $X$, $E(X)$ et calculer $P(X = 0)$ à $10^{-3}$ près.

Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;2\pi]$ par $f(x) = 2\cos x + \sin 2x$.

1. a) Montrer que $f'(x) = -2\sin x + 2\cos 2x$.

1. b) Vérifier que $f'(x) = -2(2\sin x - 1)(\sin x + 1)$.

1. c) Étudier le signe de $f'(x)$ sur $[0\,;2\pi]$ et dresser le tableau de variations de $f$.

1. d) Montrer que l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution dans $\left[\frac{\pi}{6}\,;\frac{5\pi}{6}\right]$.