Exercices: Loi de probabilité et fonction de répartition discrètes

Déterminer en justifiant si le tableau suivant peut représenter la loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète $X$. Pour cela, vérifier que les propriétés fondamentales des probabilités sont satisfaites :

$x_i$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P(X = x_i)$	$0,25$	$0,40$	$0,15$	$0,20$

Une plateforme de streaming analyse le nombre de séries qu'un utilisateur regarde par semaine. On définit la variable aléatoire discrète $X$ comme le « nombre de séries terminées ». Sa loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X = x_i)$	$0,1$	$k$	$0,3$	$0,2$

Déterminer la valeur de la constante $k$ pour que la loi soit bien définie et calculer la probabilité qu'un utilisateur regarde au moins 2 séries par semaine, c'est-à-dire $P(X \ge 2)$.

On lance deux pièces équilibrées. On définit la variable aléatoire $X$ comme le « nombre de faces obtenues ».

1. a) Écrire l'univers de l'expérience.
2. b) Dresser le tableau de la loi de probabilité de $X$.
3. c) Représenter graphiquement la loi par un diagramme en barres.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Étant donnée la loi de probabilité suivante d'une variable aléatoire discrète $X$, calculer les probabilités demandées ci-dessous :

$x_i$	$10$	$20$	$30$	$40$	$50$
$p_i$	$0,15$	$0,25$	$0,35$	$0,15$	$0,10$

1. a) $P(X < 30)$
2. b) $P(X \le 30)$
3. c) $P(20 < X \le 40)$

Dans une urne se trouvent 5 boules numérotées : trois portent le numéro $1$ et deux portent le numéro $2$. On tire une boule au hasard et on note sa valeur.

1. a) Définir la variable aléatoire $X$ et l'ensemble de ses valeurs possibles.
2. b) Construire le tableau de la loi de probabilité.
3. c) Quelle est la probabilité que le numéro obtenu soit supérieur à $1$ ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Soit $X$ une variable aléatoire discrète dont la loi de probabilité est donnée par :

$P(X=x) = \frac{x}{10}$ pour $x \in \{1, 2, 3, 4\}$

1. a) Écrire le tableau de valeurs de la loi de probabilité.
2. b) Vérifier que la somme de toutes les probabilités est égale à $1$.
3. c) Calculer $P(X \ge 3)$.

Une enquête a été réalisée dans un lycée sur le nombre de frères et sœurs des élèves de première. À partir des données, on a défini la variable $X$ = « nombre de frères et sœurs ». Le tableau des fréquences (probabilités estimées) est le suivant :

Frères et sœurs ($x_i$)	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X = x_i)$	$0,12$	$0,54$	$0,24$	$0,10$

Représenter ces données par un diagramme en barres et calculer la probabilité qu'un élève choisi au hasard ait moins de 2 frères et sœurs.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Expliquer pourquoi la fonction suivante ne peut pas être la loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète $X$ :

$P(X=x_i) = \{0,2;\ 0,3;\ -0,1;\ 0,6\}$

La figure représente ces valeurs associées à $x_1, x_2, x_3$ et $x_4$.

Justifier votre réponse en indiquant quelle propriété des probabilités n'est pas respectée ici.

Une compagnie de télécommunications étudie le nombre $X$ de réclamations formelles déposées par un client au cours d'une année. La fonction de répartition de $X$ est donnée par :

$$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\ 0,55 & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ 0,75 & \text{si } 1 \leq x < 2 \\ 0,90 & \text{si } 2 \leq x < 3 \\ 1 & \text{si } x \geq 3 \end{cases}$$

Marc, un analyste stagiaire, doit calculer deux probabilités et présente par écrit les réponses suivantes :

1) « La probabilité qu'un client dépose exactement $2$ réclamations est $P(X = 2) = F(2) = 0,90$ ».

2) « La probabilité qu'un client dépose au moins une réclamation est $P(X \geq 1) = 1 - F(1) = 1 - 0,75 = 0,25$ ».

Identifier, en le justifiant, les deux erreurs conceptuelles commises par Marc, expliquer ce que représentent réellement les valeurs qu'il a obtenues et déterminer les valeurs correctes de $P(X = 2)$ et $P(X \geq 1)$ en appliquant les propriétés de la fonction de répartition.

Une pâtisserie artisanale cuit chaque matin au maximum $3$ gâteaux d'auteur. Le nombre $X$ de gâteaux vendus un jour ouvrable suit une loi de probabilité donnée par le tableau suivant, où $k$ est une constante réelle positive :

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X=x_i)$	$0,15$	$0,25$	$3k$	$k$

1. a) Avant de calculer la valeur de $k$, faire une estimation argumentée : pensez-vous que la probabilité de vendre au plus un gâteau, $P(X \leq 1)$, sera supérieure, inférieure ou égale à celle d'en vendre plus d'un, $P(X > 1)$ ? Justifier votre conjecture à l'aide des propriétés fondamentales de la somme des probabilités.
2. b) Déterminer algébriquement la valeur exacte de la constante $k$ et écrire explicitement la fonction de répartition $F(x)$ sur tout ℝ.
3. c) Calculer la valeur exacte de $P(X \leq 1)$ et de $P(X > 1)$. Vérifier si votre estimation initiale du a) était juste et commenter la cohérence du résultat.

Dans un atelier spécialisé dans la réparation de téléphones mobiles, une étude a porté sur le nombre d'appareils qu'un technicien est capable de réparer entièrement au cours d'une journée de huit heures. Soit $X$ la variable aléatoire donnant ce nombre. La loi de probabilité est donnée par le tableau suivant, mais il manque une donnée :

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P(X=x_i)$	$0,15$	$0,25$	$0,35$	$k$	$0,05$

1. a) Calculer la valeur de $k$ pour que le tableau représente une loi de probabilité valide.
2. b) Quelle est la probabilité que le technicien répare au moins deux appareils dans une journée ?
3. c) Si l'atelier reçoit une prime de productivité les jours où plus de 2 appareils sont réparés, quelle est la probabilité de recevoir cette prime ?

Une association de jeunes organise une tombola pour financer un voyage de fin d'année. Les tickets sont vendus $2$ euros. Le lot est une carte cadeau Amazon d'une valeur de $50$ euros. On a émis $200$ tickets. Soit $X$ la variable aléatoire donnant le gain net d'un élève qui achète un seul ticket (en tenant compte de son prix).

1. a) Déterminer l'ensemble des valeurs possibles de $X$.
2. b) Déterminer la loi de probabilité de $X$.
3. c) Calculer l'espérance $E[X]$ et interpréter le résultat obtenu. Le jeu est-il équitable pour l'acheteur ?

On lance un dé à six faces truqué, de telle sorte que la probabilité d'obtenir un nombre pair est le double de celle d'obtenir un nombre impair. Tous les nombres pairs ont la même probabilité entre eux, et de même pour les impairs :

1. a) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ = « résultat obtenu en lançant le dé ».
2. b) Calculer la probabilité d'obtenir une valeur inférieure ou égale à $3$.
3. c) Calculer la moyenne, ou espérance, de cette loi.

Une entreprise de messagerie analyse le nombre de colis qui arrivent endommagés dans chaque camionnette de livraison. Après une longue période d'observation, elle a défini la loi de probabilité suivante pour la variable $X$ = « nombre de colis endommagés par trajet » :

$P(X=x) = \frac{x+1}{15}$ pour $x \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$

1. a) Vérifier qu'il s'agit bien d'une loi de probabilité.
2. b) Calculer la probabilité qu'au cours d'un trajet, au plus $2$ colis arrivent endommagés.
3. c) Déterminer la moyenne et l'écart type de la loi.

Soit $X$ une variable aléatoire discrète dont la fonction de répartition $F(x)$ est donnée ci-dessous :

$$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 1 \\ 0,2 & \text{si } 1 \le x < 2 \\ 0,5 & \text{si } 2 \le x < 3 \\ 0,9 & \text{si } 3 \le x < 4 \\ 1 & \text{si } x \ge 4 \end{cases}$$

1. a) À partir de $F(x)$, déterminer la loi de probabilité $P(X=x_i)$ pour chaque valeur de la variable.
2. b) Calculer la probabilité $P(2 \le X < 4)$.
3. c) Représenter graphiquement la loi de probabilité par un diagramme en barres.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Dans une application de langues, les utilisateurs peuvent gagner entre $0$ et $3$ badges par jour selon leur assiduité. On sait que la probabilité de gagner $x$ badges est proportionnelle à la valeur de $x+1$ pour les valeurs possibles de la variable.

1. a) Écrire le tableau de la loi de probabilité en déterminant la constante de proportionnalité nécessaire.
2. b) Quel est le nombre moyen de badges gagnés par un utilisateur par jour ?
3. c) Calculer la variance de la loi.

Un restaurant analyse le nombre de réservations de groupes de plus de 10 personnes qu'il reçoit le samedi soir. La variable $X$ suit la loi de probabilité :

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X=x_i)$	$0,4$	$0,3$	$0,2$	$0,1$

1. a) Si le restaurant réalise un gain de $50$ euros pour chaque groupe qui vient, mais supporte des coûts fixes de préparation de $30$ euros quel que soit le nombre de groupes, définir une nouvelle variable $Y$ représentant le bénéfice net du samedi.
2. b) Calculer l'espérance de $Y$.
3. c) Calculer l'écart type de $X$.

On dispose d'une urne contenant $3$ boules blanches et $2$ boules rouges, comme le montre la figure. On tire successivement et sans remise deux boules. Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de boules blanches tirées.

1. a) Décrire l'univers de l'expérience et les valeurs que peut prendre $X$.

1. b) Déterminer la loi de probabilité de $X$.

1. c) Déterminer la probabilité qu'au moins une des boules tirées soit rouge.

À partir de microdonnées adaptées de l'enquête de l'INSEE sur les caractéristiques essentielles de la population et des logements, on étudie le nombre $X$ de voitures particulières possédées par ménage dans une commune française. On sait que :

• $20\,\%$ des ménages ne possèdent aucune voiture.

• La moitié des ménages ($50\,\%$) possède exactement une voiture.

• La probabilité de posséder $2$ voitures est exactement le triple de celle de posséder $3$ voitures.

• Aucun ménage de l'échantillon ne possède $4$ voitures ou plus.

1. a) Définir formellement la variable aléatoire $X$, indiquer son support (valeurs possibles) et déterminer sa loi de probabilité complète sous forme de tableau.
2. b) Donner l'expression analytique par morceaux de la fonction de répartition $F(x)$ pour tout nombre réel $x$.
3. c) En utilisant exclusivement la fonction de répartition $F(x)$, calculer la probabilité qu'un ménage choisi au hasard possède au moins une voiture mais pas plus de deux ($P(1 \leq X \leq 2)$) ainsi que la probabilité qu'il possède strictement moins de $2$ voitures. Interpréter les résultats obtenus dans le contexte socio-économique de la commune.

Une variable aléatoire discrète $X$ prend exclusivement les valeurs entières $\{1, 2, 3, 4\}$. Les probabilités individuelles associées à chaque valeur sont inconnues, mais on dispose des informations suivantes sur son comportement cumulé :

• La probabilité que la variable prenne la valeur minimale est $P(X = 1) = 0,20$.

• La valeur de la fonction de répartition en $x = 3$ est exactement $F(3) = 0,80$.

• Le saut de la fonction de répartition $F(x)$ au point $x = 2$ est exactement la moitié du saut au point $x = 3$.

1. a) Déduire en justifiant la loi de probabilité complète de la variable $X$, en indiquant la valeur de $P(X = x_i)$ pour chaque $x_i \in \{1, 2, 3, 4\}$.
2. b) Écrire la fonction de répartition $F(x)$ comme une fonction définie par morceaux sur toute la droite réelle $\mathbb{R}$.
3. c) À partir de la fonction de répartition obtenue, calculer en justifiant $P(1 < X \leq 3)$, $P(X > 2)$ et $P(X \leq 2,5)$.

Soit $X$ une variable aléatoire discrète dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels inconnus :

$x_i$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P(X=x_i)$	$0,1$	$a$	$b$	$0,2$

Sachant que l'espérance de la loi est $E[X] = 2,85$, déterminer les valeurs de $a$ et $b$. Calculer ensuite l'écart type $\sigma$ de la variable et indiquer quel pourcentage de la probabilité totale se trouve dans l'intervalle $[E[X] - \sigma, E[X] + \sigma]$.

Une entreprise de logistique organise un tournoi de fléchettes pour ses employés. La probabilité d'atteindre la zone rouge est $k$, celle d'atteindre la zone bleue est $2k$ et celle d'atteindre la zone blanche est $3k$. Si un joueur lance deux fléchettes de façon indépendante, on définit la variable aléatoire $X$ comme « le nombre de fois où la fléchette atteint la zone rouge ».

1. Déterminer la valeur de $k$ pour que la loi de probabilité soit valide (on suppose que la fléchette atteint toujours l'une des trois zones).

2. Déterminer la loi de probabilité de $X$.

3. Calculer le nombre attendu d'impacts dans la zone rouge si l'employé effectuait $50$ séries de deux lancers chacune.

La fonction de répartition $F(x)$ d'une variable aléatoire discrète $X$ est représentée par un graphique en escalier avec les paliers suivants : $F(x) = 0$ pour $x < 0$, $F(x) = 0{,}2$ pour $0 \le x < 1$, $F(x) = 0{,}5$ pour $1 \le x < 2$, $F(x) = 0{,}8$ pour $2 \le x < 3$ et $F(x) = 1$ pour $x \ge 3$.

À partir du graphique, construire le tableau de la loi de probabilité $P(X=x_i)$ et calculer la variance $V[X]$. Expliquer en justifiant la signification de $P(0{,}5 < X \le 2)$.

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Un créateur de contenu sur les réseaux sociaux analyse le nombre de « désabonnements » quotidiens sur sa chaîne. Il a constaté que la loi de probabilité de la variable $X$ (nombre de départs) est donnée par la formule $P(X = x) = \frac{k \cdot x}{2^x}$ pour $x \in \{1, 2, 3\}$.

1. Déterminer la valeur exacte de la constante $k$.

2. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins 2 départs en une journée.

3. Le créateur estime que chaque départ lui coûte $5$ euros de revenus publicitaires, mais que gagner un nouvel abonné lui rapporte $8$ euros. S'il gagne exactement $3$ nouveaux abonnés chaque jour, calculer le gain moyen attendu par jour.

Dans une urne se trouvent $10$ boules numérotées de $1$ à $10$. On tire simultanément deux boules (sans remise). Soit $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque tirage la valeur absolue de la différence des numéros obtenus.

1. Indiquer l'univers de l'expérience et les valeurs que peut prendre la variable $X$.

2. Quelle est la probabilité que la différence soit maximale ?

3. Sans construire le tableau complet, déterminer en justifiant s'il est plus probable que $X=1$ ou que $X=9$. Calculer les deux probabilités.

Deux joueurs, Alice et Bruno, lancent un dé à six faces. Si un nombre premier sort, Alice gagne autant d'euros que la valeur indiquée par le dé. Si un nombre composé sort, Bruno gagne le double de la valeur indiquée par le dé, en euros. Si le nombre $1$ sort, personne ne gagne rien.

1. Définir la variable aléatoire $G$ comme le gain net d'Alice à un lancer (ce que gagne Bruno étant une perte pour Alice). Écrire sa loi de probabilité.

2. Calculer l'espérance de $G$. À qui le jeu est-il favorable à long terme ?

3. Quelle somme Alice devrait-elle verser à Bruno chaque fois qu'un nombre composé sort pour que le jeu soit équitable ($E[G]=0$) ?

On considère une variable aléatoire discrète $X$ dont la loi de probabilité est la suivante :

$P(X=0) = p$

$P(X=1) = q$

$P(X=2) = 0,2$

Sachant que l'espérance est $E[X] = 0,8$ et que la variance est $V[X] = 0,56$, poser un système d'équations et calculer les valeurs de $p$ et $q$. Vérifier que la somme des probabilités est égale à 1.

Un examen de concours comporte $4$ sujets tirés au hasard parmi un total de $10$. Un candidat n'a préparé que $6$ sujets. On définit la variable aléatoire $X$ comme « le nombre de sujets que le candidat maîtrise parmi les $4$ tirés ».

1. Calculer la probabilité que le candidat ne maîtrise aucun des sujets tirés.

2. Déterminer la probabilité qu'il maîtrise exactement $2$ sujets.

3. Déterminer l'espérance de la variable $X$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'examen. Le candidat a-t-il de bonnes chances de réussir s'il doit connaître au moins $3$ sujets ?

Le nombre de micro-coupures de connexion subies par un serveur bancaire en heure de pointe est une variable aléatoire discrète $X \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ dont la fonction de répartition est donnée par :

$$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\ 0,10 & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ 0,30 & \text{si } 1 \leq x < 2 \\ 0,65 & \text{si } 2 \leq x < 3 \\ 0,85 & \text{si } 3 \leq x < 4 \\ 0,95 & \text{si } 4 \leq x < 5 \\ 1 & \text{si } x \geq 5 \end{cases}$$

On souhaite calculer la probabilité d'enregistrer plus d'une micro-coupure mais moins de quatre, c'est-à-dire $P(1 < X < 4)$, et la probabilité d'enregistrer au moins deux micro-coupures, $P(X \geq 2)$. Deux stratégies sont envisagées :

• Méthode 1 (reconstruction point par point) : déterminer d'abord la loi de probabilité complète en calculant chaque saut $P(X = x_i) = F(x_i) - F(x_{i-1})$, puis repérer les valeurs du support qui vérifient la condition et additionner leurs probabilités individuelles.

• Méthode 2 (opérations directes sur les valeurs cumulées) : exprimer directement les probabilités demandées comme des différences de valeurs de $F(x)$, en transformant correctement les bornes selon que les inégalités sont strictes ou larges.

1. a) Appliquer en détail les deux méthodes pour calculer $P(1 < X < 4)$ et $P(X \geq 2)$, en vérifiant qu'elles conduisent exactement au même résultat numérique.
2. b) Comparer de façon critique les deux méthodes : analyser laquelle est la plus efficace si la variable prenait des valeurs entières de $0$ à $100$ et expliquer quelle erreur de raisonnement systématique on commettrait en appliquant directement la formule $P(1 < X < 4) = F(4) - F(1)$ propre aux variables continues.

Une entreprise de transport urbain durable à Paris suit le nombre quotidien $X$ de camionnettes électriques nécessitant une recharge imprévue en cours de tournée ($X \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$). Le service logistique propose le modèle suivant pour la fonction de répartition de $X$, dépendant de deux paramètres inconnus $\alpha$ et $\beta$ :

$$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\ 0,40 & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ \alpha & \text{si } 1 \leq x < 2 \\ \alpha + \beta & \text{si } 2 \leq x < 3 \\ 0,90 & \text{si } 3 \leq x < 4 \\ 1 & \text{si } x \geq 4 \end{cases}$$

Les relevés historiques fournissent deux conditions opérationnelles :

1) L'événement « nécessiter au plus une recharge imprévue » est $50\,\%$ plus probable que l'événement « ne nécessiter aucune recharge imprévue ».

2) La probabilité d'avoir exactement deux recharges imprévues est le double de celle d'en avoir exactement trois.

1. a) Modéliser les deux conditions en posant les équations correspondantes à partir des sauts de $F(x)$ et déterminer en justifiant les valeurs numériques de $\alpha$ et $\beta$.
2. b) Justifier formellement que la fonction obtenue vérifie toutes les conditions nécessaires pour être une fonction de répartition légitime d'une variable discrète (vérifier la valeur de chaque probabilité ponctuelle $p_i$, leur somme totale et la monotonie de $F$).
3. c) Chaque recharge imprévue entraîne un coût d'exploitation de $80$ € si le total quotidien ne dépasse pas deux recharges. Si plus de deux recharges ont lieu, la saturation du service oblige à faire appel à une assistance externe d'urgence au tarif forfaitaire de $400$ € pour toute la journée. S'il n'y a aucune recharge, le coût est de $0$ €. Calculer en justifiant la probabilité que le coût d'exploitation quotidien dépasse $100$ €.