Exercices: Taux de variation d'une fonction

Calculer le taux de variation de la fonction $f(x) = 3x - 5$ sur l'intervalle $[1\,;\,4]$. Cette valeur coïncide-t-elle avec le coefficient directeur de la droite représentant la fonction ?

Déterminer le taux de variation de la fonction du second degré $g(x) = x^2 - 4x + 1$ sur les intervalles $[0 ; 2]$ et $[2 ; 4]$.

Soit la fonction $h(t) = t^3 + 2t$. Déterminer son taux de variation sur l'intervalle $[-1\ ;\ 2]$.

Calculer le taux de variation de la fonction rationnelle $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}$ sur l'intervalle $[2\,;\,5]$.

Déterminer le taux de variation de la fonction racine $p(x) = \sqrt{x + 3}$ sur l'intervalle $[1 ; 6]$.

Observer la courbe de la fonction $f(x)$ représentée sur la figure. Calculer le taux de variation sur l'intervalle $[-2 ; 2]$. Quelle interprétation géométrique ce nombre a-t-il par rapport à la sécante tracée ?

La distance en mètres parcourue par un cycliste en fonction du temps en secondes est donnée par l'expression $d(t) = 2t^2 + 5t$. Quelle a été sa vitesse moyenne entre les instants $t = 2$ et $t = 5$ ?

La température en degrés Celsius d'un four industriel évolue selon la fonction $T(t) = 20 + 5t - t^2$, où $t$ est le temps en minutes. Calculer le taux de variation de la température pendant les $3$ premières minutes.

Hélène essaie de calculer le taux de variation $\tau$ de la fonction $f(x) = x^2 - 3x$ sur l'intervalle $[2 ; 5]$. Dans sa copie, elle écrit le développement suivant :

1. a) Repérer l'erreur conceptuelle commise par Hélène et expliquer avec vos mots pourquoi le taux de variation n'est pas égal à la valeur de la fonction en la longueur de l'intervalle.
2. b) Calculer correctement le taux de variation $\tau$ de $f$ sur $[2 ; 5]$ en détaillant toutes les étapes.
3. c) À partir du signe du résultat obtenu à la question précédente, décrire l'inclinaison de la sécante passant par les points d'abscisses $x = 2$ et $x = 5$.

Lors d'une journée d'été à Toulouse, les relevés météorologiques indiquent que la température $T$ (en degrés Celsius) entre $10:00$ ($t = 0$) et $16:00$ ($t = 6$) suit un modèle affine par morceaux :

1. a) Calculer le taux de variation de la température sur l'intervalle $[0 ; 4]$ et sur l'intervalle $[4 ; 6]$. Ne pas oublier d'indiquer les unités des résultats.
2. b) Sans effectuer d'opération numérique supplémentaire, déduire la valeur du taux de variation de $T$ sur $[1 ; 3]$. Justifier votre réponse à l'aide des propriétés du taux de variation des fonctions affines.
3. c) Calculer le taux de variation de $T$ sur $[0 ; 6]$, c'est-à-dire sur toute la période, et interpréter sa signification physique.

Déterminer la valeur du paramètre $k$ pour que le taux de variation de la fonction $f(x) = kx^2 - 3x + 2$ sur l'intervalle $[1 ; 3]$ soit égal à $5$.

Comparer le taux de variation des fonctions $f(x) = 2^x$ et $g(x) = x^3$ sur l'intervalle $[2 ; 4]$. Laquelle des deux fonctions connaît la plus forte croissance moyenne sur cet intervalle ?

Le nombre de bactéries dans une culture de laboratoire après $t$ heures est modélisé par la fonction $N(t) = 500 \cdot e^{0,2t}$. Calculer le taux de variation de la population sur l'intervalle de temps compris entre $t = 0$ et $t = 5$ heures. Exprimer le résultat en fonction du nombre $e$.

Les bénéfices mensuels d'une entreprise, en milliers d'euros, sont donnés par la fonction $B(x) = -2x^2 + 24x - 10$, où $x$ est la somme investie en publicité en milliers d'euros. Calculer le taux de variation du bénéfice lorsque l'investissement publicitaire passe de $3$ à $6$ milliers d'euros, et interpréter le résultat.

Soit la fonction $f(x) = -x^2 + 6x - 5$. Déterminer l'équation de la sécante passant par les points de la courbe d'abscisses $x = 1$ et $x = 4$. Quel lien y a-t-il entre le coefficient directeur de cette droite et le taux de variation sur cet intervalle ?

Calculer le taux de variation de la fonction $f(x) = \frac{1}{x}$ sur l'intervalle générique $[a ; a+h]$, en simplifiant au maximum l'expression obtenue.

Du haut d'une falaise, on lance verticalement vers le haut une fusée de détresse. Sa hauteur en mètres par rapport au niveau de la mer après $t$ secondes est donnée par $h(t) = 80 + 30t - 5t^2$. Déterminer la vitesse moyenne de la fusée sur les intervalles $[1 ; 3]$ et $[3 ; 5]$. Que signifie le signe des résultats obtenus ?

Le graphique suivant montre le volume d'eau $V(t)$, en litres, contenu dans un réservoir pendant $8$ heures. À partir des points remarquables du graphique, calculer le taux de variation moyen du volume sur les intervalles $[0 ; 4]$ et $[4 ; 8]$. Sur quelle période la vidange a-t-elle été la plus rapide en moyenne ?

Soit la fonction exponentielle $f(x) = 2^x$.

1. a) Avant tout calcul numérique, observer le comportement général d'une fonction exponentielle et estimer en justifiant lequel de ces deux taux de variation de $f$ sera le plus grand : $T_{[0\,;\,2]}$ (taux de variation de $f$ entre 0 et 2) ou $T_{[2\,;\,4]}$ (taux de variation de $f$ entre 2 et 4). Peut-on s'attendre à ce que les deux soient positifs ?
2. b) Calculer exactement $T_{[0\,;\,2]}$ et $T_{[2\,;\,4]}$. Vérifier si le résultat numérique confirme votre estimation préalable.
3. c) Existe-t-il une fonction polynôme non constante pour laquelle $T_{[0\,;\,2]} = T_{[2\,;\,4]}$ ? Justifier quel type de fonction vérifierait cette égalité et pourquoi ce n'est pas le cas de $f(x) = 2^x$.

On souhaite étudier le taux de variation moyen (noté TVM) de la fonction du second degré $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$ sur trois intervalles partant du même point $a = 1$ : $[1 ; 2]$, $[1; 1,5]$ et $[1; 1,1]$. Deux camarades de classe proposent des stratégies différentes :

• Méthode de Clara : calculer séparément $f(b)$ et $f(1)$ pour chaque borne et appliquer la formule $\text{TVM} = \frac{f(b) - f(1)}{b - 1}$ trois fois de façon indépendante.

• Méthode de Daniel : exprimer la borne supérieure sous la forme $1+h$, en déduire une formule algébrique générale simplifiée pour $\text{TVM}[1 ; 1+h] = \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$ en fonction de l'accroissement $h$, puis particulariser en remplaçant $h = 1$, $h = 0,5$ et $h = 0,1$.

1. a) Appliquer la méthode de Daniel : développer et simplifier au maximum l'expression littérale de $\text{TVM}[1 ; 1+h]$ et déterminer les trois valeurs demandées.
2. b) Appliquer la méthode de Clara uniquement pour l'intervalle $[1; 1,1]$ et vérifier que les deux méthodes conduisent exactement au même résultat.
3. c) Argumenter laquelle des deux méthodes est la plus avantageuse lorsqu'il faut évaluer de nombreux intervalles ayant la même origine $a = 1$, et expliquer comment l'expression obtenue par Daniel permet de déduire la tendance du taux lorsque l'accroissement $h$ devient pratiquement nul.

Le taux de variation de la fonction $f(x) = x^3 - 3x^2 + c$ sur l'intervalle $[1 ; b]$ est égal à $6$. Sachant que $b > 1$, déterminer la valeur de $b$. Le résultat dépend-il de la valeur de la constante $c$ ?

On sait qu'une fonction du second degré de la forme $f(x) = ax^2 + bx + 5$ a un taux de variation de $1$ sur l'intervalle $[0 ; 2]$ et de $9$ sur l'intervalle $[2 ; 4]$. Poser un système d'équations et déterminer les valeurs des paramètres $a$ et $b$.

Démontrer que le taux de variation de toute fonction affine $f(x) = mx + n$ sur un intervalle quelconque $[a ; b]$ est toujours constant et égal à $m$.

La loi de refroidissement de Newton établit que la température d'un objet se rapproche de la température ambiante de façon exponentielle. Un ingénieur modélise la température d'une pièce métallique en degrés Celsius après $t$ minutes par $T(t) = 25 + 150 \cdot (0,8)^t$. Calculer le taux de variation sur les intervalles $[0 ; 5]$ et $[5 ; 10]$. Quelle conclusion tirer sur le rythme de refroidissement au fil du temps ?

Soit la fonction $f(x) = \frac{4}{x}$. La sécante à la courbe de $f(x)$ passant par les points d'abscisses $x = 1$ et $x = 4$ forme un triangle rectangle avec les demi-axes positifs du repère. Calculer l'aire de ce triangle.

Soit la fonction définie par morceaux :

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x & \text{si } x \le 2 \\ \frac{4}{x} - 2 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Calculer le taux de variation sur l'intervalle $[0 ; 4]$. Vérifier si la fonction est continue en $x=2$ et justifier si cela a une incidence sur le calcul du taux de variation.

Calculer le taux de variation de la fonction $f(x) = \sqrt{x+2}$ sur l'intervalle $[2 ; 2+h]$. Déterminer ensuite vers quelle valeur tend ce taux de variation lorsque $h$ tend vers $0$.

La force d'attraction gravitationnelle entre la Terre et un satellite varie en fonction de la distance $r$ (en milliers de km) au centre de la Terre selon l'expression $F(r) = \frac{4 \cdot 10^5}{r^2}$. Calculer le taux de variation de la force lorsque la distance passe de $10$ à $20$ milliers de km. Interpréter la signification du signe du résultat obtenu.

On cherche à déterminer une fonction du second degré de la forme $f(x) = ax^2 + bx$ (sans terme constant) qui vérifie simultanément deux conditions portant sur son taux de variation :

1. Son taux de variation moyen sur l'intervalle $[0 ; 2]$ est égal à $5$.

2. Son taux de variation moyen sur l'intervalle $[1 ; 4]$ est égal à $11$.

1. a) Poser un système d'équations linéaires à partir de la définition du taux de variation moyen et calculer les valeurs exactes des coefficients $a$ et $b$.
2. b) Pour la fonction obtenue, considérer un intervalle symétrique d'amplitude $2h$ centré en une abscisse quelconque $x_0$, c'est-à-dire $[x_0 - h ; x_0 + h]$. Démontrer algébriquement que $\text{TVM}[x_0 - h ; x_0 + h]$ dépend exclusivement du centre $x_0$ et ne dépend absolument pas de l'amplitude $h$.
3. c) Vérifier si cette propriété subsiste pour la fonction cube $g(x) = x^3$ en calculant et en comparant $\text{TVM}[-1 ; 1]$ et $\text{TVM}[-2 ; 2]$ (les deux intervalles étant centrés en $x_0 = 0$). Conclure, en justifiant, si cette indépendance vis-à-vis de l'amplitude est une caractéristique générale ou propre à certaines familles de fonctions.

La Sécurité routière contrôle un tronçon de $6\text{ km}$ sur l'autoroute A-6 au moyen d'un radar tronçon. Sur ce secteur, la vitesse maximale autorisée est de $90\text{ km/h}$. Un véhicule entre dans le tronçon à $12:00:00$ ($t = 0\text{ h}$) et sa position $s(t)$ en kilomètres dans le tronçon est décrite par la fonction $s(t) = 96t - 288t^2$, où le temps $t$ est mesuré en heures.

1. a) Poser l'équation permettant de calculer l'heure exacte à laquelle le véhicule atteint $6\text{ km}$ et sort du tronçon. Exprimer le temps écoulé en minutes exactes.
2. b) Calculer le taux de variation moyen de la position sur la totalité du tronçon, $\text{TVM}[0 ; t_{\text{sortie}}]$, et interpréter le résultat comme la vitesse moyenne du véhicule en $\text{km/h}$. Le radar tronçon sanctionnera-t-il ce conducteur ?
3. c) Un rapport préliminaire affirme : « Puisque la vitesse moyenne sur le tronçon était inférieure à $90\text{ km/h}$, le véhicule a respecté la limitation de vitesse tout au long du trajet ». Réfuter mathématiquement cette affirmation : calculer la $\text{TVM}[0; 1/60]$ correspondant à la première minute de trajet, comparer cette valeur à la limite légale de $90\text{ km/h}$ et expliquer la différence fondamentale entre le taux de variation moyen sur un intervalle et la vitesse instantanée réelle.