Exercices: Représentation graphique de fonctions

Déterminer les points d'intersection de la courbe de $f(x) = x^3 - 4x$ avec les axes du repère.

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f(x) = \frac{x + 1}{x - 3}$ et donner son asymptote verticale, en étudiant les limites à gauche et à droite au point qui n'appartient pas à l'ensemble de définition.

Vérifier que la fonction $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 4}$ admet une asymptote horizontale et déterminer son équation en étudiant la limite quand $x \to \pm \infty$.

Vérifier que la fonction $f(x) = x^3 - x$ est impaire et expliquer quel avantage présente cette symétrie pour la représenter graphiquement.

La figure montre la courbe complète d'une fonction rationnelle, avec ses asymptotes tracées en pointillés. Par lecture graphique, indiquer : l'ensemble de définition, les points d'intersection avec les axes, les équations des asymptotes et les intervalles de croissance et de décroissance.

La figure montre le tableau de signes d'une fonction polynôme du second degré : sa courbe est au-dessus de l'axe des abscisses à l'extérieur de l'intervalle $[1 ; 4]$ et en dessous à l'intérieur.

1. a) Écrire une expression possible de $f$.

1. b) Combien de fonctions polynômes du second degré distinctes vérifient ce même tableau de signes ? Justifier la réponse.

Effectuer la division $\frac{x^2 + 1}{x}$ et vérifier que la courbe de $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x}$ se rapproche de la droite $y = x$ quand $x \to \pm \infty$, comme l'illustre la figure. Comment s'appelle cette droite ?

Déterminer si l'affirmation suivante est vraie ou fausse : « Si une fonction admet une asymptote horizontale, sa courbe ne peut jamais couper cette asymptote ». Si elle est fausse, le vérifier avec la fonction $f(x) = \frac{2x^2 + x}{x^2 + 1}$, en montrant que sa courbe coupe son asymptote horizontale en au moins un point.

Observer la courbe suivante d'une fonction polynôme. Identifier les intervalles sur lesquels la fonction est convexe (en forme de $\cup$) et concave (en forme de $\cap$). Indiquer aussi les coordonnées approchées de son point d'inflexion.

La courbe suivante correspond à la fonction inverse $y = -\frac{2}{x}$. À partir de l'observation de la courbe, déterminer les intervalles de concavité et de convexité. Cette fonction admet-elle un point d'inflexion dans son ensemble de définition ?

Indiquer si l'affirmation suivante est vraie ou fausse et justifier la réponse de façon détaillée :

« Un point d'inflexion est un point de la courbe en lequel la fonction passe de croissante à décroissante, ou inversement ».

Marc doit déterminer les asymptotes verticales de la fonction rationnelle $f(x) = \frac{x^2 - x - 2}{x^2 - 4}$. Son raisonnement lors du contrôle a été le suivant : « J'égale le dénominateur à zéro : $x^2 - 4 = 0 \implies x = 2$ et $x = -2$. Donc la fonction a deux asymptotes verticales : les droites $x = 2$ et $x = -2$ ».

1. a) Expliquer l'erreur conceptuelle commise par Marc et pourquoi l'annulation du dénominateur est une condition nécessaire mais non suffisante pour l'existence d'une asymptote verticale.
2. b) Calculer les limites pertinentes ($\lim_{x \to 2} f(x)$ et $\lim_{x \to -2} f(x)$) pour déterminer rigoureusement laquelle des deux valeurs correspond réellement à une asymptote verticale et ce qui se passe sur la courbe à l'autre point.
3. c) Rédiger la conclusion correcte en donnant l'équation de l'unique asymptote verticale et les coordonnées du « trou » (discontinuité removable) que présente la courbe.

Pour étudier si la courbe de la fonction $f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 1}$ admet une asymptote oblique et connaître sa position relative par rapport à celle-ci, deux camarades de classe proposent des stratégies différentes :

• Lucie propose de calculer les limites en l'infini : $m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$ et $n = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - m \cdot x]$.

• Serge propose d'effectuer directement la division polynomiale du numérateur par le dénominateur pour réécrire $f(x) = c(x) + \frac{r(x)}{d(x)}$.

1. a) Comparer les deux méthodes et justifier laquelle est la plus directe et apporte une information immédiate sur la position de la courbe par rapport à l'asymptote.
2. b) Appliquer la méthode la plus adaptée pour obtenir l'équation de l'asymptote oblique $y = m \cdot x + n$ et déterminer si la courbe est au-dessus ou en dessous de celle-ci quand $x \to +\infty$ et quand $x \to -\infty$.

Étudier et représenter graphiquement la fonction $f(x) = x^3 - 3x^2$ en suivant ces étapes :

1. a) Points d'intersection avec les axes.

1. b) Dérivée, points critiques et intervalles de monotonie.

1. c) Maximums et minimums locaux.

1. d) Tracer la courbe en rassemblant toutes les informations précédentes.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Étudier et représenter la fonction bicarrée $f(x) = x^4 - 2x^2$ : symétrie, points d'intersection avec les axes, intervalles de monotonie, extremums locaux et tracé de la courbe.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Étudier et représenter la fonction rationnelle $f(x) = \frac{x - 1}{x + 2}$ : ensemble de définition, points d'intersection, asymptotes verticales et horizontales avec leurs limites, monotonie à l'aide de la dérivée et tracé de la courbe.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Étudier et représenter la fonction $f(x) = \frac{x^2}{x - 1}$ : ensemble de définition, points d'intersection, asymptote verticale, asymptote oblique (effectuer la division), intervalles de monotonie et extremums locaux, et tracé de la courbe.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

On mesure la température d'un verre d'eau chaude dans une cuisine à $20\ \text{°C}$ et on obtient les données de la figure. Le modèle proposé est $T(t) = 20 + \frac{80}{t + 1}$, avec $t$ en minutes.

1. a) Vérifier que le modèle est cohérent avec les premières données de la figure.

1. b) Étudier le sens de variation de $T(t)$ pour $t \geq 0$ à l'aide de sa dérivée.

1. c) Calculer l'asymptote horizontale et interpréter sa signification physique.

1. d) Esquisser la courbe du modèle pour $t \geq 0$.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Étudier et représenter la fonction $f(x) = x \cdot (x - 2)^2$ : points d'intersection avec les axes (observer la racine double et ce qu'elle implique pour la courbe en $x = 2$), intervalles de monotonie, extremums locaux et tracé.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Un élève affirme que la courbe de la fonction $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ est la parabole qui apparaît sur la figure. Expliquer l'erreur qu'il a commise, simplifier l'expression de $f$ et décrire ce qu'est réellement sa courbe, en indiquant ce qui se passe en $x = 2$.

Étudier et représenter la fonction définie par morceaux

en analysant : l'ensemble de définition, la continuité au point de raccordement, le sens de variation sur chaque morceau, les extremums locaux et le tracé de la courbe complète.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Le graphique suivant représente la distance parcourue par un véhicule en fonction du temps au cours d'un trajet. Analyser la courbure sur les trois tronçons marqués (A, B et C) et relier le fait que la fonction soit concave, convexe ou linéaire à l'état de mouvement du véhicule (accélération, freinage ou vitesse constante).

Lors d'une épidémie, le nombre total de personnes contaminées est modélisé par la courbe qui apparaît sur la figure. Identifier le point d'inflexion de la courbe. Quel nom donne-t-on à ce point dans le langage courant de l'épidémiologie et qu'indique-t-il sur le rythme quotidien des nouvelles contaminations ?

On verse de l'eau à débit constant dans trois récipients en verre de formes différentes : un cylindre droit, un cône pointe en bas et un cône pointe en haut. Associer chaque récipient à l'allure de la courbe de la hauteur d'eau en fonction du temps : convexe ($\cup$), concave ($\cap$) ou linéaire. Justifier la réponse en observant comment varie la largeur du récipient.

Soit la fonction définie par morceaux :

$f(x) = \begin{cases} -x^2 & \text{si } x < 0 \\ x^2 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$

Représenter schématiquement la fonction. Étudier sa concavité et sa convexité sur les intervalles $]-\infty ; 0[$ et $]0 ; +\infty[$. L'origine du repère est-elle un point d'inflexion ? Justifier la réponse.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

En économie, la fonction de coût total de production d'une usine a souvent une forme concave ($\cap$) au début en raison des économies d'échelle (les coûts croissent de plus en plus lentement), puis convexe ($\cup$) à partir d'un certain niveau de production par saturation (les coûts croissent de plus en plus vite).

Si la fonction de coût total est $C(x) = x^3 - 60x^2 + 1500x$, où $x$ est le nombre d'unités produites, et si l'on sait que le point d'inflexion sépare ces deux zones, à partir de quel niveau de production les coûts commencent-ils à augmenter plus rapidement ? (Donnée : le point d'inflexion d'une fonction cubique $ax^3+bx^2+cx+d$ se situe en $x = -\frac{b}{3a}$.)

Soit la fonction polynôme $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$. On sait d'après sa courbe que son point d'inflexion a exactement pour coordonnée $x$, qui est le milieu entre ses deux extremums locaux (un maximum local en $x=1$ et un minimum local en $x=3$).

Calculer les coordonnées exactes du point d'inflexion et déterminer les intervalles de concavité ($\cap$) et de convexité ($\cup$) de la fonction.

La fonction $f(x) = |x^2 - 4|$ représente la valeur absolue d'une parabole et sa courbe a la forme d'un « W » arrondi.

Observer sa courbe et déterminer sur quels intervalles la fonction est concave ($\cap$) et sur lesquels elle est convexe ($\cup$). Les points $x=-2$ et $x=2$ (marqués en rouge) peuvent-ils être considérés comme des points d'inflexion à proprement parler ? Justifier la réponse.

On considère la famille de fonctions du second degré paramétrées par l'expression $f(x) = (a^2 - 9)x^2 + 5x - 2$, où $a$ est un nombre réel.

1. a) Pour quelles valeurs exactes du paramètre $a$ la fonction est-elle une parabole convexe ($\cup$) ?
2. b) Pour quelles valeurs de $a$ est-elle une parabole concave ($\cap$) ?
3. c) Existe-t-il une valeur de $a$ pour laquelle la courbe de la fonction n'a pas de courbure ? Dans ce cas, quel type de fonction obtient-on ?

Un capital initial de $1000\ \text{€}$ est placé dans un fonds à intérêts composés annuels de $5\%$. La fonction qui décrit le capital accumulé au cours du temps $t$ (en années) est $C(t) = 1000 \cdot (1{,}05)^t$.

Sachant que les fonctions exponentielles de base supérieure à $1$ ont une courbure caractéristique, déterminer si cette fonction est concave ($\cap$) ou convexe ($\cup$). Arrivera-t-il un moment où le rythme de croissance du capital commencera à diminuer, créant ainsi un point d'inflexion ? Justifier la réponse.

On considère la fonction rationnelle $f(x) = \frac{4x}{x^2 + 1}$.

1. a) Estimer sans dériver : analyser sa symétrie en calculant $f(-x)$, son signe pour les valeurs de $x > 0$, ses points d'intersection avec les axes et son comportement asymptotique quand $x \to +\infty$. À partir de ces seules données, justifier si la fonction doit nécessairement atteindre un maximum local pour une valeur positive de $x$. Si l'on calcule de plus que $f(1) = 2$, est-il raisonnable de penser que la hauteur maximale dépasse la valeur $y = 3$ ? Justifier l'estimation.
2. b) Vérifier par le calcul : calculer la dérivée première $f'(x)$, déterminer les points critiques et vérifier si la valeur exacte du maximum coïncide qualitativement avec ce qui avait été déduit.
3. c) Utiliser la propriété de symétrie démontrée au premier point pour déduire, sans étudier à nouveau de signes de dérivée, les coordonnées exactes et la nature de l'extremum local correspondant sur la demi-droite des réels négatifs.

Une équipe de design graphique doit reproduire une courbe symétrique répondant au modèle rationnel $f(x) = \frac{a \cdot x^2 + b}{x^2 - c}$, où $a$, $b$ et $c$ sont des coefficients réels. Les conditions suivantes sont imposées :

1. La courbe admet deux asymptotes verticales symétriques, les droites $x = 2$ et $x = -2$.

2. À l'infini, la courbe se rapproche de la droite horizontale $y = 3$.

3. La courbe coupe l'axe des ordonnées au point $(0\ ;\ -1)$.

1. a) Poser les équations correspondantes et calculer la valeur des paramètres $a$, $b$ et $c$.
2. b) Avec la fonction ainsi déterminée, établir en justifiant si la courbe coupe l'axe des abscisses $X$.
3. c) Étudier le signe de la dérivée $f'(x)$ et démontrer que le point d'intersection avec l'axe $Y$ est nécessairement un extremum local, en indiquant s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum.

Effectuer l'étude complète et la représentation graphique de $f(x) = \frac{x^2}{x - 2}$ :

1. a) Ensemble de définition, points d'intersection et symétries.

1. b) Asymptotes verticale, horizontale et oblique, avec les limites correspondantes.

1. c) Intervalles de monotonie et extremums locaux.

1. d) Position de la courbe par rapport à l'asymptote oblique et tracé final.

Étudier et représenter la fonction $f(x) = x \cdot e^{-x}$ : ensemble de définition, points d'intersection, asymptote horizontale quand $x \to +\infty$, comportement quand $x \to -\infty$, intervalles de monotonie, extremum local et tracé de la courbe.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Étudier et représenter la fonction $f(x) = x + \frac{1}{x}$ : ensemble de définition, symétrie impaire, absence d'intersection avec l'axe des abscisses (à justifier), asymptotes verticale et oblique, intervalles de monotonie, extremums locaux avec leurs valeurs et tracé.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

On cherche une fonction rationnelle dont la courbe a pour asymptote verticale $x = 1$, pour asymptote horizontale $y = 2$ et passe par le point $(0 ; 1)$.

1. a) Proposer une expression de la forme $f(x) = \frac{ax + b}{x - 1}$ et déterminer $a$ et $b$ avec les conditions données.

1. b) Vérifier que la fonction obtenue satisfait les trois conditions.

1. c) Étudier son sens de variation et tracer sa courbe.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Étudier et représenter la fonction $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 4}}$ : ensemble de définition, symétrie, asymptotes verticales et horizontales (calculer les quatre limites nécessaires), sens de variation sur chaque branche à l'aide de la dérivée et tracé de la courbe.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Après la prise à jeun d'un médicament, sa concentration dans le sang, en $\text{mg/l}$, est modélisée par $C(t) = \frac{4t}{t^2 + 1}$, où $t \geq 0$ est le nombre d'heures écoulées.

1. a) Étudier le sens de variation de $C(t)$ et déterminer à quel moment la concentration est maximale et quelle est sa valeur.

1. b) Calculer l'asymptote horizontale et l'interpréter dans le contexte.

1. c) Déterminer pendant quel intervalle de temps la concentration dépasse $1\ \text{mg/l}$.

1. d) Esquisser la courbe complète du modèle.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

On considère la fonction $f(x) = \frac{x^3 + 2x}{x^2 + 1}$.

1. a) Effectuer la division et vérifier que $f(x) = x + \frac{x}{x^2 + 1}$, puis en déduire que la droite $y = x$ est asymptote oblique.

1. b) Déterminer en quel point la courbe coupe son asymptote oblique et étudier dans quelles régions la courbe est au-dessus et en dessous de celle-ci.

1. c) Compléter l'étude (symétrie, monotonie) et tracer la courbe avec son asymptote.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Étudier et représenter la fonction $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ : ensemble de définition, point d'intersection avec l'axe des abscisses, limites aux bornes de l'ensemble de définition (en particulier l'asymptote verticale et l'horizontale), intervalles de monotonie, extremum local et tracé de la courbe.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Un ingénieur conçoit le profil d'une montagne russe. Le premier tronçon de descente suit l'équation $y = -x^2 + 4$ pour $x \le 1$. Pour adoucir la transition vers la montée, il décide de raccorder en $x = 1$ un second tronçon en forme de parabole $y = a(x - 2)^2 + b$ pour $x > 1$.

Pour que le raccordement soit lisse, la fonction totale doit être continue et dérivable en $x = 1$ (sans saut ni pointe). De plus, la courbure doit changer en ce point : le premier tronçon est concave et le second doit être convexe, de sorte que $x = 1$ soit un point d'inflexion.

1. a) Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ en imposant la continuité et la dérivabilité en $x = 1$.

1. b) Vérifier qu'avec ces valeurs le changement de courbure a bien lieu en $x = 1$, en étudiant le signe de la dérivée seconde de chaque tronçon.

Une propriété géométrique fondamentale des fonctions convexes ($\cup$) est que le segment reliant deux points quelconques de leur courbe est toujours situé au-dessus de la courbe.

Vérifier par le calcul cette propriété pour la fonction $f(x) = x^2$. Pour cela, déterminer l'équation de la sécante passant par les points de la courbe d'abscisses $x = -1$ et $x = 3$. Calculer ensuite la valeur de la droite en $x = 1$ et vérifier qu'elle est strictement supérieure à $f(1)$.

Décrire et dessiner dans votre cahier l'esquisse d'une fonction continue $f(x)$ définie sur $[-5 ; 5]$ qui vérifie simultanément toutes les conditions suivantes :

• Elle est impaire (symétrie par rapport à l'origine).

• Elle admet un maximum local en $x = 2$ et un minimum local en $x = -2$.

• Elle admet exactement trois points d'inflexion situés en $x = -3$, $x = 0$ et $x = 3$.

• Elle est convexe ($\cup$) sur les intervalles $]-3 ; 0[ \cup ]3 ; 5]$.

• Elle est concave ($\cap$) sur les intervalles $[-5 ; -3[ \cup ]0 ; 3[$.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Pendant la période de fonte printanière dans les Pyrénées, le débit d'apport d'eau $Q(t)$ (en $\text{hm}^3/\text{jour}$) vers un barrage du bassin de la Garonne est modélisé sur un mois ($t \in [0 ; 30]$ jours écoulés) par la fonction :

1. a) Déterminer le débit initial à l'instant $t = 0$ et trouver la valeur limite vers laquelle tendrait le débit si la période se prolongeait indéfiniment ($t \to +\infty$). Interpréter l'asymptote horizontale obtenue dans le contexte physique du barrage.
2. b) À l'aide de l'étude de $Q'(t)$, déterminer précisément le jour où le débit de pointe (maximum) est atteint et calculer son volume journalier.
3. c) L'équipe technique du barrage doit anticiper le moment où le débit diminue le plus rapidement (vitesse de diminution maximale) afin de régler l'ouverture des vannes. Calculer $Q''(t)$, déterminer le point d'inflexion dans l'intervalle $[5 ; 30]$ et interpréter sa signification physique.
4. d) Tracer une esquisse détaillée de la courbe de $Q(t)$ pour $t \in [0 ; 30]$, en plaçant les points clés (départ, asymptote, extrema et courbure) obtenus aux questions précédentes.

Pour définir le profil longitudinal d'une rampe d'accélération sur un banc d'essai, on modélise la trajectoire par un polynôme du troisième degré $f(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d$ qui doit vérifier les contraintes de conception suivantes :

1. La rampe part de l'origine du repère $(0 ; 0)$ avec une pente initiale de $45^\circ$ (la tangente a pour coefficient directeur $m = 1$).

2. Elle présente son point d'inflexion exactement au point du plan $(2 ; 6)$.

1. a) Poser le système d'équations correspondant à partir de $f(0)$, $f'(0)$, $f''(2)$ et $f(2)$, et déterminer les valeurs numériques de $a$, $b$, $c$ et $d$.
2. b) Calculer les coordonnées exactes des extremums locaux (maximum et minimum) de la fonction sur ℝ et les classer à l'aide du critère de la dérivée seconde.
3. c) Démontrer que toute fonction polynôme du troisième degré possède un centre de symétrie en son point d'inflexion : pour cela, définir la fonction translatée à l'origine $g(x) = f(x + 2) - 6$ et démontrer rigoureusement que $g(x)$ est une fonction impaire ($g(-x) = -g(x)$).