Exercices: Dérivée d'un polynôme

Calculer la fonction dérivée de la fonction polynôme suivante : $f(x) = 5x^4 - 3x^3 + 7x^2 - 2x + 9$.

Étant donné la fonction décrivant la trajectoire d'une particule $s(t) = \frac{1}{4}t^4 - \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2$, où $s$ est en mètres et $t$ en secondes, déterminer l'expression de sa vitesse instantanée $v(t)$.

Déterminer la valeur de la dérivée de la fonction $g(x) = -2x^3 + 4x^2 - x + 5$ au point d'abscisse $x = -1$.

Déterminer les points singuliers (ceux où la dérivée s'annule) de la fonction du second degré $h(x) = 3x^2 - 12x + 7$.

Calculer la dérivée seconde, $f''(x)$, de la fonction polynôme $f(x) = x^5 - 4x^4 + 2x^2 - 8$.

Le coût de production, en euros, de $x$ unités d'un produit artisanal est donné par $C(x) = 150 + 12x - 0,05x^2$. Déterminer la fonction de coût marginal, $C'(x)$.

Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe $y = x^3 - 5x + 2$ au point où elle coupe l'axe des ordonnées.

Calculer la dérivée de la fonction $p(x) = (2x^2 - 3)(x + 4)$ en effectuant d'abord le produit des polynômes.

Dans un devoir en classe, Charles devait dériver la fonction polynôme $f(x) = 4x^3 - 7x + 5^2$. Dans son cahier, il a écrit la démarche suivante :

1. a) Repérer et expliquer en détail l'erreur de raisonnement commise par Charles en dérivant le terme $5^2$. Pourquoi n'est-il pas correct d'appliquer la formule de dérivation d'une puissance $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ à une base constante ?
2. b) Écrire l'expression correcte de la fonction dérivée $f'(x)$.
3. c) Calculer la valeur de $f'(2)$ et interpréter sa signification géométrique par rapport à la tangente à la courbe en $x = 2$.

Un bulletin de Météo-France modélise la température $T$ (en degrés Celsius) relevée dans une commune pendant une matinée dégagée par le polynôme $T(t) = -0,5t^2 + 5t + 10$, où $t$ est le temps écoulé en heures depuis 7 h 00 ($0 \le t \le 8$).

1. a) Sans calculer la dérivée pour l'instant, estimer de façon argumentée si, à 9 h 00 ($t = 2$), la température augmente notablement ou diminue, en s'appuyant sur l'évolution naturelle de la journée et sur les signes des coefficients du polynôme.
2. b) Déterminer la fonction dérivée $T'(t)$ et calculer le taux de variation instantané exact à 9 h 00 ($t = 2$), en indiquant clairement ses unités de mesure ($^{\circ}\text{C}/\text{h}$).
3. c) Vérifier si la valeur numérique et le signe obtenus confirment votre estimation préalable et expliquer ce que signifierait physiquement que la dérivée soit exactement égale à $0$.

Le profil d'un câble de pont suspendu est approché par la parabole $y = 0,01x^2 - 0,6x + 15$, où $x$ et $y$ sont exprimés en mètres. Calculer le coefficient directeur de la tangente au câble au point situé à $40$ mètres de l'origine.

Déterminer les coordonnées des points de la courbe représentative de la fonction $f(x) = x^3 - 3x^2 + x - 1$ en lesquels la tangente est parallèle à la première bissectrice du repère.

Le nombre d'utilisateurs inscrits à une application de productivité, en milliers, évolue selon la fonction $U(t) = -t^3 + 9t^2 + 48t + 200$, où $t$ est le temps en mois depuis son lancement. Déterminer le taux de croissance du nombre d'utilisateurs à l'instant $t = 5$ mois et indiquer si, à ce moment, le rythme de croissance augmente ou diminue.

Déterminer les valeurs des paramètres $a$ et $b$ pour que la parabole $y = ax^2 + bx + 5$ passe par le point $(1 ; 2)$ et admette en ce point une tangente de coefficient directeur égal à $-1$.

Un projectile est lancé verticalement vers le haut. Sa hauteur en mètres après $t$ secondes est donnée par $h(t) = -4,9t^2 + 29,4t + 1,5$. Calculer le temps qu'il met pour atteindre sa hauteur maximale, sachant qu'en ce point sa vitesse instantanée est nulle.

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de la fonction $f(x) = -x^2 + 4x - 1$ en son sommet.

Le niveau de pollution sonore à un carrefour urbain de 8 h 00 à 18 h 00 est modélisé par la fonction $N(t) = 0,1t^3 - 1,5t^2 + 6t + 60$, où $t$ est le temps en heures écoulé depuis 8 h 00. Déterminer l'instant $t$ où le niveau de bruit diminue le plus rapidement.

Déterminer l'abscisse des points de la courbe $y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 6x$ où la tangente forme un angle de $45^\circ$ avec le demi-axe positif des abscisses.

Pour localiser les points à tangente horizontale de la courbe polynomiale $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 8$, deux élèves proposent des démarches différentes :

• Hugo propose de résoudre l'équation $f(x) = 0$ pour trouver les points d'intersection avec l'axe des abscisses et de supposer que les points singuliers se situent exactement au milieu de chaque couple d'intersections consécutives, en s'appuyant sur la symétrie qu'il se rappelait des paraboles.

• Irène propose de calculer la fonction dérivée $f'(x)$ et de résoudre directement l'équation $f'(x) = 0$.

1. a) Comparer de façon critique les deux démarches : justifier pourquoi la stratégie de Hugo n'est pas valable pour ce polynôme de degré 3 et préciser pour quel type de polynômes son intuition géométrique fonctionnerait.
2. b) Appliquer la méthode correcte pour déterminer les abscisses de tous les points singuliers de $f(x)$.
3. c) Calculer les coordonnées complètes $(x, y)$ de ces points singuliers et les classer en justifiant (maximum ou minimum local) en étudiant le signe de $f'(x)$ à gauche et à droite de chacun.

D'après les relevés de RTE, la puissance solaire photovoltaïque produite sur le réseau métropolitain pendant les heures centrales d'une journée de printemps peut être approchée par la fonction cubique :

où $P(t)$ est la puissance produite en gigawatts ($\text{GW}$) et $t$ est l'heure solaire de la journée, valable sur l'intervalle $10 \le t \le 16$.

1. a) Modéliser le taux de variation instantané de la production solaire en déterminant la fonction dérivée $P'(t)$. Préciser en quelles unités physiques $P'(t)$ est mesurée.
2. b) Évaluer $P'(12)$ et $P'(15)$. À partir du signe et de la valeur obtenus dans chaque cas, interpréter ce qui se passe pour la production d'énergie solaire à 12 h 00 et à 15 h 00.
3. c) Déterminer à quelle heure exacte de la journée le taux de variation de la production s'annule ($P'(t) = 0$), atteignant le pic solaire maximal de la journée, et calculer la puissance maximale produite à ce moment.

Déterminer les coefficients $a, b, c, d$ de la fonction polynôme de degré 3 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ sachant que sa courbe passe par l'origine du repère, admet une tangente horizontale au point d'abscisse $x = 2$ et présente un point d'inflexion en $(1 ; -2)$.

Une entreprise fabrique et vend $x$ unités d'un article technologique. La fonction de recette est donnée par $I(x) = 1200x - 2x^2$ et la fonction de coût total est $C(x) = x^3 - 15x^2 + 400x + 1500$. Déterminer le nombre d'unités à produire pour maximiser le bénéfice et calculer ce bénéfice maximal.

Déterminer les équations des tangentes à la parabole $y = x^2 - 2x + 3$ qui passent par le point extérieur $P(1 ; -2)$.

Deux véhicules d'essai se déplacent en ligne droite. Leurs positions par rapport à un point de référence sont données par $s_1(t) = t^3 - 6t^2 + 15t$ et $s_2(t) = 2t^2 - 4t + 10$, avec $t \ge 0$ en secondes et $s$ en mètres. Déterminer à quels instants les deux véhicules ont la même accélération et calculer la distance qui les sépare à ce moment.

Déterminer l'équation d'une parabole de la forme $y = ax^2 + bx + c$ sachant qu'elle est tangente à la droite $y = -2x + 5$ au point d'abscisse $x = 1$ et qu'elle passe par le point $(-1 ; 15)$.

Une étude environnementale modélise la concentration d'un polluant dans un lac par la fonction $C(t) = -0,05t^4 + 0,8t^3 - 3,6t^2 + 10$, où $t$ représente les mois écoulés depuis le début de l'année. Déterminer pendant quels mois la concentration du polluant augmente et pendant quels mois elle diminue.

Démontrer que la fonction polynôme $f(x) = x^3 + 2x + 5$ est strictement croissante sur tout son ensemble de définition $\mathbb{R}$ et que, par conséquent, sa courbe n'admet aucune tangente parallèle à l'axe des abscisses.

Étant données les paraboles $f(x) = x^2$ et $g(x) = -x^2 + 8x - 16$, déterminer les équations de toutes les droites qui sont tangentes simultanément aux deux courbes.

On souhaite reconstituer l'expression d'un polynôme $P(x)$ de degré 3 dont on ne connaît pas les coefficients, mais pour lequel on dispose des informations suivantes sur son comportement et ses dérivées :

1. Sa dérivée seconde est $P''(x) = 6x - 12$.

2. Il présente un point singulier d'abscisse $x = 1$.

3. En ce point singulier, la fonction prend la valeur $P(1) = 8$.

1. a) Sachant que, lorsqu'on dérive successivement un polynôme, son degré diminue d'une unité à chaque étape, déduire par le chemin inverse l'expression générale de $P'(x)$ à partir de $P''(x)$ et déterminer la constante inconnue à l'aide de la condition du point singulier.
2. b) En suivant le même raisonnement inverse, retrouver la formule complète de $P(x)$ en déterminant son terme constant à l'aide de la donnée $P(1) = 8$.
3. c) Démontrer que ce polynôme possède un second point singulier, déterminer ses coordonnées $(x, y)$ et classer les deux points singuliers (maximum ou minimum local) en justifiant par le signe de la dérivée seconde $P''(x)$ en chaque abscisse.

Lors d'un débat sur les propriétés des fonctions cubiques, Serge formule l'affirmation suivante : « Comme la fonction dérivée de tout polynôme de degré 3 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ (avec $a \neq 0$) est un polynôme du second degré, et que, d'après la formule quadratique, les équations du second degré ont deux solutions, tout polynôme de degré 3 a obligatoirement deux points singuliers ».

1. a) Réfuter rigoureusement l'argument de Serge en expliquant quelle erreur il commet sur les solutions d'une équation du second degré dans l'ensemble des nombres réels. Construire un contre-exemple explicite de polynôme de degré 3 (à coefficients numériques simples) qui n'a aucun point singulier et le démontrer à l'aide de sa dérivée.
2. b) Considérer la famille de polynômes dépendant du paramètre réel $k$ :

Calculer la dérivée $g'(x)$ et déterminer en justifiant pour quelles valeurs du paramètre $k$ la fonction $g(x)$ :

• possède exactement deux points singuliers distincts ;

• possède un unique point singulier à tangente horizontale ;

• est strictement croissante sur tout $\mathbb{R}$ car elle n'a aucun point singulier.