Exercices: Problèmes d'optimisation

Décomposer le nombre $24$ en somme de deux nombres positifs de sorte que leur produit soit maximal. Poser la fonction à optimiser et résoudre à l'aide de la dérivée.

Parmi tous les rectangles de périmètre $36\ \text{m}$, déterminer les dimensions de celui qui a l'aire maximale et calculer cette aire.

Parmi tous les rectangles d'aire $100\ \text{m}^2$, déterminer les dimensions de celui qui a le périmètre minimal et la valeur de ce périmètre.

L'aire d'un enclos rectangulaire construit le long d'un mur avec $40\ \text{m}$ de clôture pour les trois autres côtés est donnée, en fonction d'un de ses côtés $x$, par $A(x) = 40x - 2x^2$. Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle l'aire est maximale et la valeur de cette aire maximale.

Quel nombre positif dépasse son carré de la plus grande quantité possible ? Exprimer cette quantité en fonction du nombre et la maximiser à l'aide de la dérivée.

Un jardinier veut clôturer un potager rectangulaire adossé au mur de sa maison, de sorte qu'il n'a besoin de clôturer que trois côtés. Il dispose de $60\ \text{m}$ de clôture.

1. a) Exprimer l'aire du potager en fonction du côté $x$ perpendiculaire au mur.

1. b) Déterminer les dimensions pour lesquelles l'aire est maximale et la valeur de cette aire.

Déterminer deux nombres positifs dont la somme est $18$ et dont la somme des carrés est minimale.

Dire si l'affirmation suivante est vraie ou fausse en justifiant : « Le maximum d'une fonction continue sur un intervalle fermé est toujours atteint en un point où $f'(x) = 0$ ». Si elle est fausse, donner un contre-exemple avec une fonction simple sur un intervalle précis.

Lucie veut aménager un potager rectangulaire dans son village en utilisant un mur de pierre existant, de sorte qu'elle n'a besoin de clôturer que trois côtés (deux de largeur et un de longueur). Elle dispose de $60\text{ m}$ de grillage et souhaite que la surface cultivable soit maximale. Dans son devoir, Lucie écrit :

« J'appelle $x$ et $y$ les côtés du rectangle. Comme le périmètre est $2x + 2y$, on a $2x + 2y = 60 \implies y = 30 - x$. La fonction aire est $A(x) = x(30 - x) = 30x - x^2$. En dérivant : $A'(x) = 30 - 2x = 0 \implies x = 15\text{ m}$. Donc les dimensions optimales sont $15\text{ m} \times 15\text{ m}$ et l'aire maximale est $225\text{ m}^2$ ».

1. a) Repérer et expliquer les deux erreurs conceptuelles commises par Lucie : l'une dans la modélisation géométrique de la contrainte et l'autre dans la justification de l'extremum.
2. b) Corriger l'exercice : définir la variable choisie et son ensemble de définition physiquement admissible, poser la fonction aire correcte, justifier à l'aide de la dérivée qu'il s'agit d'un maximum absolu et calculer les véritables dimensions et l'aire maximale du potager.

Une coopérative agricole de Marseille dispose d'un budget lui permettant d'installer exactement $80\text{ m}$ de clôture pour délimiter un enclos rectangulaire destiné à l'élevage biologique de volailles.

1. a) Avant tout calcul avec des dérivées, estimer en justifiant quelle forme de rectangle donnera la plus grande surface possible et conjecturer ses dimensions ($x$ et $y$) ainsi que l'aire maximale. Justifier son intuition à partir du principe de répartition équilibrée et de la symétrie géométrique.
2. b) Modéliser le problème en définissant la variable $x$ (longueur d'un des côtés), son ensemble de définition dans le contexte physique et la fonction aire $A(x)$.
3. c) Déterminer le candidat à l'optimum à l'aide de $A'(x) = 0$, démontrer à l'aide du signe de la dérivée première ou de la dérivée seconde qu'il s'agit d'un maximum absolu et calculer l'aire maximale. Le résultat exact coïncide-t-il avec l'estimation initiale ? Expliquer pourquoi.

Avec un carton carré de $24\ \text{cm}$ de côté, on veut construire une boîte sans couvercle en découpant quatre carrés identiques de côté $x$ dans les coins et en pliant les côtés, comme indiqué sur la figure.

1. a) Exprimer le volume de la boîte $V(x)$ en fonction de $x$ et indiquer l'ensemble de définition de $x$.

1. b) Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle le volume est maximal.

1. c) Calculer le volume maximal et vérifier, avec le signe de $V'(x)$ de part et d'autre, qu'il s'agit bien d'un maximum.

Un éleveur dispose de $240\ \text{m}$ de clôture pour construire un enclos rectangulaire divisé en deux parcelles par une clôture intérieure parallèle à l'un des côtés, comme sur la figure.

1. a) Exprimer l'aire totale de l'enclos en fonction d'un de ses côtés.

1. b) Déterminer les dimensions pour lesquelles l'aire totale est maximale et calculer cette aire.

Une conserverie conçoit des boîtes cylindriques avec couvercle de $500\ \text{cm}^3$ de capacité, comme celle de la figure.

1. a) Exprimer la surface totale de métal $S(r)$ en fonction du rayon $r$ de la base, en utilisant la condition sur le volume pour exprimer la hauteur.

1. b) Déterminer le rayon qui minimise la quantité de métal (il suffit de donner sa valeur exacte et une valeur approchée à deux décimales).

1. c) Quelle relation y a-t-il entre la hauteur et le rayon pour la boîte optimale ?

Un magasin de vêtements vend chaque semaine $80$ tee-shirts à $12\ \text{€}$ l'unité. Il estime que pour chaque euro de baisse du prix, il vendra $10$ tee-shirts de plus par semaine.

1. a) Exprimer la recette hebdomadaire $I(x)$ en fonction de la baisse de prix $x$ en euros.

1. b) Déterminer le prix qui maximise la recette et la recette hebdomadaire maximale.

On cherche le point de la parabole $y = x^2$ le plus proche du point $P(0 ; 3)$.

1. a) Exprimer le carré de la distance d'un point quelconque de la parabole à $P$ (minimiser le carré de la distance revient à minimiser la distance).

1. b) Déterminer les points de la parabole qui minimisent cette distance et calculer la distance minimale.

Un graphiste réalise la maquette d'une affiche dont l'aire imprimée est $400\ \text{cm}^2$, avec des marges de $4\ \text{cm}$ sur les quatre côtés.

1. a) Exprimer l'aire totale du papier en fonction de la largeur $x$ de la zone imprimée.

1. b) Déterminer les dimensions de la feuille entière qui minimisent la consommation de papier.

Avec un câble de $12\ \text{m}$, on coupe deux morceaux : avec l'un on forme un carré et avec l'autre un cercle, comme sur la figure.

1. a) Si $x$ est la longueur de câble destinée au carré, exprimer l'aire totale délimitée $A(x)$.

1. b) Déterminer la valeur de $x$ qui minimise l'aire totale (laisser le résultat en fonction de $\pi$).

1. c) Quelle aire obtient-on si l'on ne coupe pas le câble et qu'on l'utilise en entier pour le cercle ? Est-elle supérieure ou inférieure au minimum ?

Une mairie va construire une piscine rectangulaire de $200\ \text{m}^2$ entourée d'une allée de $2\ \text{m}$ de large sur deux côtés opposés et de $1\ \text{m}$ sur les deux autres, comme le montre la figure.

1. a) Exprimer l'aire totale du terrain (piscine et allée) en fonction d'un côté $x$ de la piscine.

1. b) Déterminer les dimensions de la piscine pour lesquelles le terrain nécessaire est minimal et l'aire totale minimale.

Une entreprise de transport de voyageurs exploite une ligne de car interurbaine entre Toulouse et Nice. Actuellement, le billet coûte $10\text{ \euro}$ et $400$ usagers en moyenne voyagent chaque jour. D'après une étude de mobilité fondée sur des enquêtes de l'INSEE, pour chaque baisse de $0,50\text{ \euro}$ du prix du billet, le nombre de voyageurs quotidiens augmente de $40$. Pour des raisons de flotte, la capacité maximale ne peut pas dépasser $640$ passagers par jour. Les coûts quotidiens de l'entreprise comprennent un coût fixe d'entretien de $800\text{ \euro}$ et un coût variable de $2\text{ \euro}$ par voyageur transporté.

1. a) Modéliser la fonction bénéfice quotidien $B(p)$ en fonction du prix du billet $p$. Justifier en détail l'ensemble de définition admissible de $p$ en tenant compte de la capacité maximale de la flotte.
2. b) Déterminer les points critiques de $B(p)$, déterminer le prix optimal du billet et le nombre de voyageurs correspondant, puis calculer le bénéfice quotidien maximal.
3. c) Vérifier si l'optimum se situe à l'intérieur de l'ensemble de définition admissible ou à une extrémité de l'intervalle, et le classer à l'aide de la dérivée seconde.

Un viticulteur du Bordelais projette de clôturer une parcelle rectangulaire de $500\text{ m}^2$ pour cultiver deux variétés de raisin. Pour les séparer, il installera une clôture intérieure parallèle à l'un des deux côtés extérieurs de la parcelle.

La clôture du périmètre extérieur coûte $16\text{ \euro}$ par mètre linéaire, tandis que la clôture intérieure de séparation, constituée d'un grillage plus léger, a un coût unitaire inconnu de $c\text{ \euro}$ par mètre linéaire.

Après avoir commandé une étude visant à minimiser la dépense totale, l'équipe technique lui indique que le coût total minimal est atteint lorsque la longueur de la clôture intérieure mesure exactement $20\text{ m}$.

1. a) Poser la fonction de coût total $C(y)$ en fonction de la longueur $y$ de la clôture intérieure, en indiquant son ensemble de définition admissible.
2. b) À partir de la donnée de l'optimum connu ($y = 20\text{ m}$), déduire la valeur du coût unitaire $c$ de la clôture de séparation.
3. c) Vérifier, à l'aide de la dérivée seconde, que pour cette valeur de $c$ la fonction présente bien un minimum et calculer le coût total minimal de l'installation.

Dans une plaque rectangulaire de $60\ \text{cm} \times 30\ \text{cm}$, on découpe des carrés de côté $x$ dans les coins pour construire une boîte sans couvercle.

1. a) Exprimer le volume $V(x)$ et indiquer l'ensemble de définition de $x$.

1. b) Déterminer les valeurs de $x$ qui annulent $V'(x)$ et écarter celle qui n'appartient pas à l'ensemble de définition.

1. c) Vérifier que la valeur retenue donne le volume maximal et le calculer.

Une fenêtre est formée d'un rectangle surmonté d'un demi-disque, comme le montre la figure. Le périmètre total de la fenêtre est $6\ \text{m}$.

1. a) Exprimer l'aire totale en fonction du rayon $r$ du demi-disque.

1. b) Déterminer la valeur de $r$ qui maximise l'entrée de lumière (laisser le résultat en fonction de $\pi$ et donner une valeur approchée à deux décimales).

1. c) Quelle relation y a-t-il alors entre la hauteur du rectangle et le rayon ?

Dans un tronc de section circulaire de diamètre $d$, on veut découper une poutre de section rectangulaire, comme le montre la figure. La résistance de la poutre à la flexion est proportionnelle au produit de sa base par le carré de sa hauteur : $R = k \cdot b \cdot h^2$.

1. a) Exprimer la résistance en fonction de la base $b$ en utilisant la relation qui lie $b$, $h$ et $d$.

1. b) Déterminer les dimensions de la poutre de résistance maximale.

On inscrit un rectangle, dont la base est sur l'axe des abscisses, sous la parabole $y = 4 - x^2$, comme le montre la figure.

1. a) Exprimer l'aire du rectangle en fonction de l'abscisse $x$ de son sommet supérieur droit.

1. b) Déterminer les dimensions du rectangle d'aire maximale et la valeur de cette aire.

Avec un secteur circulaire de carton de $9\ \text{cm}$ de rayon, on forme un cône dont la génératrice mesure $9\ \text{cm}$, comme le schématise la figure.

1. a) Exprimer le volume du cône en fonction de sa hauteur $h$ en utilisant la relation entre génératrice, rayon et hauteur.

1. b) Déterminer la hauteur du cône de volume maximal.

1. c) Calculer le rayon de la base de ce cône.

Pour le problème de la boîte sans couvercle construite avec un carton carré de $32\ \text{cm}$ de côté, dont le volume est $V(x) = x \cdot (32 - 2x)^2$ avec $0 < x < 16$, un élève écrit : « $V'(x) = 12x^2 - 256x + 1024 = 0$ donne $x = 16$ et $x = \frac{16}{3}$ ; comme le volume augmente avec la taille du découpage, je choisis $x = 16\ \text{cm}$ ». Relever les deux erreurs commises dans la conclusion (l'une sur l'ensemble de définition et l'autre sur la justification) et résoudre correctement le problème.

Démontrer, à l'aide de la dérivée, le résultat général suivant : parmi tous les rectangles de périmètre $4p$, celui d'aire maximale est le carré de côté $p$. Poser la fonction aire en fonction d'un des côtés, justifier que la valeur critique correspond à un maximum et conclure.

Deux poteaux de $6\ \text{m}$ et $8\ \text{m}$ de hauteur sont séparés de $10\ \text{m}$ sur un terrain plat. On veut ancrer un câble tendu depuis le sommet de chaque poteau jusqu'à un même point du sol situé entre les deux.

1. a) Si le point d'ancrage est à $x$ mètres de la base du poteau de $6\ \text{m}$, exprimer la longueur totale du câble $L(x)$.

1. b) Déterminer la valeur de $x$ qui minimise $L(x)$. (Indication : en écrivant $L'(x) = 0$, vous obtiendrez une proportion entre côtés de l'angle droit et hypoténuses ; la résoudre sans développer inutilement.)

1. c) Calculer la longueur minimale du câble. (Indice : elle coïncide avec la distance en ligne droite entre le sommet d'un poteau et le symétrique du sommet de l'autre par rapport au sol.)

On souhaite déterminer le point de la courbe $y = x^2$ dont la distance au point $P(0;\, 2)$ est minimale. Pour aborder le problème, trois élèves proposent des stratégies différentes :

• Serge pose la fonction distance euclidienne $d(x) = \sqrt{x^2 + (x^2 - 2)^2}$ et s'apprête à calculer $d'(x)$ directement avec la dérivée d'une fonction composée.

• Alice propose de minimiser la fonction carré de la distance : $S(x) = [d(x)]^2 = x^2 + (x^2 - 2)^2$, en affirmant que les deux fonctions atteignent leurs extremums aux mêmes points et que ce chemin réduit nettement la complexité algébrique.

• Charles propose une méthode géométrique : au point $Q(x;\, x^2)$ le plus proche, le vecteur $\vec{PQ}$ doit être perpendiculaire à la tangente à la parabole.

1. a) Justifier rigoureusement pourquoi la proposition d'Alice est mathématiquement rigoureuse, en indiquant quelle propriété de la fonction auxiliaire $g(t) = t^2$ sur $[0;\, +\infty)$ garantit la coïncidence des extremums.
2. b) Résoudre le problème en appliquant la méthode d'Alice : déterminer les candidats à l'extremum, les classer en étudiant le signe de $S''(x)$ ou de $S'(x)$ et calculer les coordonnées des points les plus proches ainsi que la distance minimale.
3. c) Appliquer la méthode géométrique de Charles pour vérifier les points obtenus. Comparer les trois méthodes en analysant laquelle est la plus efficace et la moins sujette aux erreurs de calcul.

RTE planifie la pose d'un câble à haute tension pour relier un parc éolien en mer, dans le golfe de Gascogne, à un poste électrique côtier $S$. La plateforme en mer $P$ se trouve à $6\text{ km}$ au large, perpendiculairement à un point de la côte $B$. Le poste $S$ est situé sur la ligne droite de la côte à une distance $L$ de $B$.

La pose du câble sous-marin coûte $50\,000\text{ \euro/km}$ et la pose terrestre (le long de la côte, depuis un point d'atterrage $X$ jusqu'au poste $S$) coûte $30\,000\text{ \euro/km}$. Le câble ira en ligne droite en mer de $P$ à $X$ (avec $X$ situé sur le segment côtier entre $B$ et $S$), puis de $X$ à $S$ sur terre.

1. a) Si le poste est à $L = 10\text{ km}$ de $B$, définir la variable $x$ comme la distance de $B$ au point d'atterrage $X$, établir son ensemble de définition admissible et écrire la fonction de coût total $C(x)$ en milliers d'euros.
2. b) Résoudre $C'(x) = 0$, comparer la valeur obtenue avec les extrémités de l'intervalle $[0;\, 10]$ et déterminer l'emplacement optimal du point d'atterrage $X$ ainsi que le coût minimal de la pose.
3. c) Supposer maintenant que le poste soit situé à seulement $L = 3\text{ km}$ de $B$. Expliquer pourquoi le point critique calculé à la question précédente n'est plus admissible, étudier le signe de $C'(x)$ sur le nouvel ensemble de définition $[0;\, 3]$ et déterminer, en justifiant, où le câble doit atterrir pour minimiser le coût.

Défi du chapitre. À quel rythme la température varie-t-elle dans votre ville ? Devenez analyste météorologique pour modéliser l'évolution de la température de votre commune en appliquant le calcul différentiel.

1. Données réelles et taux de variation moyen : Se rendre sur le site officiel de Météo-France, relever la température de votre commune toutes les $3$ heures pendant une journée complète ($8$ relevés) et calculer le taux de variation moyen entre la nuit et le début de l'après-midi. Expliquer son interprétation physique ($^\circ\text{C}/\text{h}$).

2. Modélisation et dérivée : Saisir les données dans GeoGebra ou dans un tableur pour obtenir une fonction polynôme d'ajustement $T(t)$ de degré $3$. Appliquer analytiquement les règles de dérivation pour déterminer la fonction dérivée $T'(t)$. Obtenir l'équation de la tangente pour $t = 12,0\text{ h}$ et interpréter graphiquement son coefficient directeur.

3. Optimisation et conclusions : Résoudre l'équation $T'(t) = 0$ pour déterminer les extremums locaux (maximum et minimum théoriques) et étudier les intervalles de croissance. Rédiger un bref compte rendu comparant l'heure et la valeur optimales prédites avec les données réelles observées.

Seront évalués :

• L'obtention rigoureuse des données de Météo-France, ainsi que le calcul et l'interprétation physique correcte du taux de variation moyen.

• La précision du calcul algébrique de $T'(t)$ et de la tangente.

• La maîtrise de l'application de la dérivée à l'optimisation (extremums et sens de variation) et l'esprit critique lors de la confrontation du modèle avec la réalité.