Exercices: Interprétation graphique de la dérivée

Calculer l'équation de la tangente à la courbe de la fonction $f(x) = x^2 - 4x + 5$ au point d'abscisse $x = 3$.

Déterminer l'équation de la normale à la courbe $f(x) = x^3 - 2x$ au point d'abscisse $x = -1$.

Déterminer les coordonnées des points de la courbe $f(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x$ en lesquels la tangente est horizontale.

Observer la courbe de la fonction $f(x)$ et la tangente tracée au point d'abscisse $x = 1$. À partir des coordonnées des points $A$ et $B$ indiqués sur la droite, déterminer la valeur du nombre dérivé $f'(1)$.

Observer la courbe de la fonction polynôme $f(x)$. Sans calculer son expression analytique, déterminer le signe du nombre dérivé $f'(x)$ aux points d'abscisses $x = -2$, $x = 0$ et $x = 2$, en indiquant si en ces points la fonction est croissante ou décroissante.

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de la fonction rationnelle $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$ au point exact où cette courbe coupe l'axe des ordonnées.

La figure montre la courbe d'une fonction du second degré $f(x)$. À partir de ses éléments géométriques visibles (sommet et points d'intersection avec les axes), déduire l'expression analytique de sa fonction dérivée $f'(x)$.

Déterminer en quel point exact de la courbe de la fonction à radicaux $f(x) = \sqrt{x+4}$ la tangente a un coefficient directeur égal à $m = \frac{1}{4}$.

Marc doit déterminer l'équation de la normale à la courbe de la fonction $f(x) = x^2 - 4x + 6$ au point d'abscisse $x = 3$. Sur sa copie, il écrit la démarche suivante :

« 1. Je calcule l'ordonnée du point : $f(3) = 3^2 - 4\cdot 3 + 6 = 3$. Le point de tangence est $(3 ; 3)$.

1. Je détermine la fonction dérivée : $f'(x) = 2x - 4$, donc le coefficient directeur de la tangente est $f'(3) = 2\cdot 3 - 4 = 2$.

2. Comme la normale est perpendiculaire à la tangente, son coefficient directeur est l'opposé, c'est-à-dire $m_{\text{normale}} = -2$.

3. J'applique la formule $y - y_A = m(x - x_A)$ : $y - 3 = -2\cdot(x - 3) \implies y = -2x + 9$. »

1. a) Identifier l'erreur conceptuelle commise par Marc à l'étape 3 et expliquer la relation géométrique correcte entre les coefficients directeurs de deux droites perpendiculaires lorsque aucune d'elles n'est horizontale ni verticale.
2. b) Corriger la démarche et calculer l'équation correcte de la normale.

Soit la fonction du second degré $f(x) = -x^2 + 4x - 1$ :

1. a) Sans utiliser les dérivées, déterminer les coordonnées du sommet de la parabole et son orientation (vers le haut ou vers le bas). À partir de la position de l'abscisse $x = 3$ par rapport au sommet, estimer en justifiant si le coefficient directeur de la tangente en $x = 3$ doit être positif, négatif ou nul, et quel signe vous attendriez pour le coefficient directeur de la normale.
2. b) Calculer analytiquement, à l'aide de la dérivée, les équations de la tangente et de la normale à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x = 3$.
3. c) Vérifier si les résultats analytiques confirment vos estimations de la question a) et déduire, en observant l'ordonnée à l'origine de la tangente obtenue, si cette droite coupe l'axe $Y$ au-dessus ou au-dessous du sommet de la parabole.

La trajectoire d'un drone d'inspection dans un plan vertical suit la courbe définie par $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$, où $x$ et $y$ sont mesurés en mètres. Déterminer en quels points de son parcours la direction de son mouvement est parallèle à la droite d'équation $y = -3x + 5$.

Un architecte conçoit l'arc principal d'un pont qui a la forme d'une parabole d'équation $f(x) = ax^2 + bx + c$. On sait que l'arc passe par le point $(0 ; 5)$ et qu'au point $(2 ; 9)$ la tangente a pour équation $y = 4x + 1$. Calculer les valeurs exactes des paramètres $a$, $b$ et $c$.

Un rayon lumineux frappe un miroir parabolique dont la section transversale correspond à la fonction $f(x) = \frac{1}{4}x^2$. Si le rayon frappe le point d'abscisse $x = 2$, déterminer l'équation de la normale à la surface en ce point (elle est fondamentale en optique géométrique pour calculer l'angle de réflexion).

La figure montre la courbe de la fonction dérivée $f'(x)$ d'une certaine fonction polynôme $f(x)$. À partir de celle-ci, déterminer analytiquement les intervalles de croissance et de décroissance de la fonction initiale $f(x)$, et indiquer les abscisses en lesquelles $f(x)$ admet ses extremums locaux.

Le nombre d'abonnés d'une chaîne scientifique sur une plateforme vidéo croît selon la fonction exponentielle $S(t) = 500 e^{0,2t}$, où $t$ est mesuré en semaines. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe à l'instant $t = 5$ et l'utiliser pour estimer de façon affine le nombre d'abonnés à $t = 6$.

Déterminer les coordonnées des points de la courbe définie par $f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - x + 1$ en lesquels la tangente forme un angle exact de $45^\circ$ avec le demi-axe des abscisses positives.

Soit les fonctions polynômes $f(x) = x^2 - 3x + 2$ et $g(x) = -x^2 + 7x - 6$. Déterminer d'abord les points d'intersection de leurs courbes. Calculer ensuite l'équation de la tangente à la courbe de $f(x)$ au point d'intersection d'abscisse la plus grande.

Dans la conception d'une route de montagne, un tronçon rectiligne d'équation $y = 2x$ (pour $x \le 1$) doit se raccorder en douceur à un autre tronçon rectiligne d'équation $y = -x + 6$ (pour $x \ge 3$) par une courbe de transition parabolique $f(x) = ax^2 + bx + c$ définie strictement sur l'intervalle $[1 ; 3]$. Calculer les valeurs de $a$, $b$ et $c$ pour que la route soit continue et dérivable aux deux points de raccordement ($x=1$ et $x=3$).

Lors d'une journée de canicule à Toulouse, Météo-France enregistre l'évolution de la température ambiante $T$ (en degrés Celsius, $^{\circ}\text{C}$) entre 10 h 00 et 18 h 00 en heure solaire ($t \in [10 ; 18]$), modélisée par la fonction :

1. a) Obtenir l'expression de la fonction dérivée $T'(t)$ et interpréter sa signification physique en termes de taux de variation instantané de la température.
2. b) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $T$ en $t = 12$ et en $t = 16$.
3. c) À partir du signe du coefficient directeur de chacune de ces deux tangentes, expliquer si la température montait ou descendait à ces instants et calculer à quelle heure solaire exacte la température maximale de la journée a été atteinte, en justifiant pourquoi la tangente en ce point est nécessairement horizontale.

On considère la fonction cubique $f(x) = x^3 + a\cdot x + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels inconnus.

1. a) Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ sachant que la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x = 1$ est $y = 5x - 7$. Justifier en détail les deux conditions indépendantes (l'une de contact ou d'appartenance, l'autre de dérivabilité) qu'il faut poser.
2. b) Une fois la fonction fixée avec les coefficients obtenus, chercher s'il existe un autre point de la courbe de $f$ dont la tangente soit parallèle à la droite donnée $y = 5x - 7$. S'il existe, calculer ses coordonnées et l'équation de cette tangente.

Déterminer les équations de toutes les tangentes à la courbe $f(x) = x^2 - 2x + 3$ qui passent par l'origine du repère $(0 ; 0)$. Remarque : tenir compte du fait que l'origine n'appartient pas à la courbe.

Déterminer les valeurs exactes des paramètres $a$, $b$, $c$ et $d$ pour que la fonction polynôme du troisième degré $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ admette un extremum local au point $(0 ; 2)$ et que sa tangente au point $(1 ; 0)$ soit strictement parallèle à la droite $y = -3x$.

Démontrer algébriquement que la courbe représentative de la fonction rationnelle $f(x) = \frac{x^2 + x + 1}{x-1}$ n'admet, sur tout son ensemble de définition, aucune tangente parallèle à la droite d'équation $y = 2x$.

Calculer l'aire exacte du triangle formé par l'axe des abscisses, la tangente et la normale à la courbe logarithmique $f(x) = \ln(x)$ au point d'abscisse $x = e$.

Déterminer pour quel ensemble de valeurs du paramètre $k$ la fonction rationnelle $f(x) = \frac{x^2 + kx + 1}{x-2}$ n'admet aucune tangente horizontale en aucun point de son ensemble de définition.

Les courbes représentatives des fonctions du second degré $f(x) = x^2 + ax + b$ et $g(x) = -x^2 + 2x - 1$ sont tangentes entre elles au point d'abscisse $x = 1$ (c'est-à-dire qu'elles ont le même point et la même tangente en ce point). Calculer les valeurs de $a$ et $b$, puis donner l'équation de cette tangente commune.

La figure représente la courbe de la fonction dérivée $f'(x)$ (formée de deux segments de droite) d'une fonction continue $f(x)$. En vous appuyant uniquement sur ce graphique, identifier les abscisses des extremums locaux de $f(x)$ en précisant s'il s'agit de maximums ou de minimums, et indiquer l'abscisse du point d'inflexion de la fonction initiale.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Soit la fonction $f(x) = x^3 - 3x^2 + kx$. Déterminer la valeur du paramètre $k$ sachant que la tangente à la courbe de $f(x)$ en son point d'inflexion est parallèle à la bissectrice du deuxième et du quatrième quadrant.

On souhaite déterminer les équations des tangentes à la courbe $f(x) = x^2 + 1$ passant par le point extérieur $P(1 ; -2)$. Deux élèves proposent des stratégies différentes :

• Méthode de Léa (approche différentielle) : elle considère un point de tangence générique $T(a ; f(a))$ sur la courbe, écrit l'équation de la tangente en fonction de $a$ à l'aide de la dérivée, et impose que le point $P(1 ; -2)$ vérifie cette équation afin d'obtenir les valeurs possibles de $a$.

• Méthode de Sergio (approche algébrique) : il écrit le faisceau de droites passant par $P(1 ; -2)$, donné par $y - (-2) = m\cdot(x - 1)$, égale son expression à celle de la parabole pour poser le système d'intersection ($x^2 + 1 = m(x - 1) - 2$) et exige que le discriminant de l'équation du second degré obtenue soit nul ($\Delta = 0$) pour imposer un unique point de contact double.

1. a) Résoudre le problème avec les deux méthodes et vérifier qu'elles conduisent exactement aux mêmes tangentes.
2. b) Comparer de façon critique les deux méthodes et répondre en justifiant : si la fonction donnée était $g(x) = x^3 - 2x$ au lieu d'une fonction du second degré, laquelle des deux méthodes ne serait plus directement applicable, et pour quelle raison conceptuelle ?

Déterminer les coefficients réels $a$, $b$, $c$ et $d$ de la fonction polynôme $f(x) = a\cdot x^3 + b\cdot x^2 + c\cdot x + d$ sachant qu'elle vérifie simultanément les trois conditions suivantes :

1. La tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x = 0$ a pour équation $y = 2x - 1$.

2. La normale à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x = 1$ est parallèle à la droite d'équation $x + 8y = 0$.

3. La courbe de $f$ passe par le point $(2 ; 3)$.

Après avoir trouvé l'expression définitive de $f(x)$ :

1. a) Justifier quelle information géométrique directe l'ordonnée à l'origine et le coefficient directeur de la tangente donnée à la condition 1 fournissent sur les coefficients $c$ et $d$.
2. b) Déduire analytiquement s'il existe un autre point de la courbe de $f$ où la tangente a exactement le même coefficient directeur qu'en $x = 0$ et, le cas échéant, calculer l'abscisse de ce point.