Exercices: Interprétation physique de la dérivée

La position d'un objet en chute libre est donnée par la fonction $s(t) = 100 - 4,9t^2$, où $s$ est mesurée en mètres et $t$ en secondes. Déterminer la fonction qui décrit sa vitesse $v(t)$ et son accélération $a(t)$.

Un train se déplace sur une voie rectiligne selon l'équation du mouvement $e(t) = 2t^3 - 5t^2 + 8t$, avec $e$ en mètres et $t$ en secondes. Calculer la vitesse du train à l'instant $t = 2$ s.

La position d'une particule en fonction du temps est $x(t) = t^4 - 3t^2 + 5$. Déterminer l'accélération de la particule à l'instant $t = 1$.

Une montgolfière s'élève de sorte que son altitude en mètres est donnée par $h(t) = 15t - t^2$. À quel instant $t$ sa vitesse s'annule-t-elle ?

Le volume d'eau dans un réservoir varie selon la fonction $V(t) = 50 + 4t - t^3$, où $V$ est en litres et $t$ en minutes. Déterminer le taux de variation instantané du volume à l'instant $t = 1$ et indiquer si le réservoir est en train de se remplir ou de se vider à ce moment.

Une voiture d'essai a une vitesse donnée par la fonction $v(t) = 3t^2 - 12t + 4$ en m/s. Calculer son accélération à l'instant $t = 3$ s.

La charge électrique traversant une section d'un câble en fonction du temps est $q(t) = 2t^2 + 3t$ coulombs. Sachant que l'intensité du courant est la dérivée de la charge par rapport au temps, calculer l'intensité à $t = 4$ s.

La hauteur d'un projectile en mètres est $y(t) = 40t - 5t^2$. Calculer la vitesse moyenne sur l'intervalle $[1 ; 3]$ et la comparer à la vitesse instantanée en $t = 2$.

Une trottinette électrique se déplace en ligne droite de sorte que sa position en mètres par rapport au point de départ est donnée par $s(t) = t^2 + 2t$, où le temps $t$ est mesuré en secondes. Pour calculer la vitesse de la trottinette exactement $3\text{ secondes}$ après le départ, Marc effectue le calcul suivant dans son cahier :

« Comme $s(3) = 3^2 + 2\cdot 3 = 15\text{ m}$, je divise la position par le temps : $v(3) = \frac{15}{3} = 5\text{ m/s}$ ».

1. a) Expliquer pourquoi la démarche de Marc est incorrecte et quel concept physique il a en réalité calculé avec cette opération.
2. b) Utiliser la dérivée pour déterminer la vitesse instantanée réelle en $t = 3\text{ s}$, calculer l'accélération de la trottinette à ce même instant et indiquer si le véhicule avance ou recule.

Avant le début de l'été, on procède à la vidange contrôlée d'une piscine municipale. Le volume d'eau restant dans la piscine (en mètres cubes) après $t$ heures d'écoulement est décrit par la fonction $V(t) = 200 - 20t + 0,5t^2$, valable sur l'intervalle $0 \le t \le 10\text{ heures}$.

1. a) Avant de dériver, estimer en justifiant si le débit de sortie de l'eau sera plus grand au début de la vidange ($t = 1\text{ h}$) ou lorsque la piscine sera presque vide ($t = 9\text{ h}$), en vous appuyant sur la pression exercée par la colonne d'eau.
2. b) Calculer le taux de variation moyen du volume entre $t = 0$ et $t = 2\text{ heures}$, et l'utiliser comme estimation préalable de la vitesse instantanée de vidange.
3. c) Déterminer la fonction débit de sortie à l'aide de la dérivée instantanée du volume, calculer sa valeur exacte en $t = 1\text{ h}$ et en $t = 9\text{ h}$, et vérifier si les résultats confirment votre estimation initiale.

On lance une fusée jouet verticalement vers le haut. Sa hauteur en mètres après $t$ secondes est $h(t) = 30t - 4,9t^2$. Déterminer le temps qu'elle met à atteindre sa hauteur maximale et calculer la valeur exacte de cette hauteur.

La température d'un four industriel pendant un processus de refroidissement est donnée par $T(t) = 200 - 10t + 0,5t^2$ en degrés Celsius, avec $t$ en minutes. Calculer la vitesse de refroidissement (taux de variation instantané de la température) à $t = 5$ min et à $t = 15$ min. Interpréter la signification physique des signes obtenus.

Un véhicule freine brusquement et la distance parcourue en mètres depuis que l'on appuie sur les freins est $d(t) = 24t - 3t^2$. Combien de temps le véhicule met-il à s'arrêter complètement ? Quelle distance totale a-t-il parcourue pendant le freinage ?

Une tache d'huile en mer est de forme circulaire et son rayon en mètres croît selon la fonction $r(t) = \frac{20t}{t+2}$, où $t$ est le temps en heures. Déterminer la vitesse à laquelle croît le rayon à l'instant $t = 3$ heures. Croît-il plus vite au début ou après quelques heures ? Justifier la réponse en utilisant le concept d'accélération ou en analysant la dérivée.

La position d'un oscillateur harmonique relié à un ressort est $x(t) = 5 \sin(2t)$ en centimètres. Calculer sa vitesse et son accélération en fonction du temps. Démontrer que l'accélération est proportionnelle à la position, c'est-à-dire $a(t) = k \cdot x(t)$, et déterminer la valeur de la constante $k$.

Le coût de production de $x$ unités d'un composant électronique est $C(x) = 1500 + 10x - 0,05x^2$ euros. Le coût marginal est défini comme la dérivée du coût par rapport au nombre d'unités. Calculer le coût marginal pour $x = 50$ unités et expliquer ce que représente cette valeur dans le contexte de l'usine.

Un réservoir conique se vide de sorte que le volume d'eau qu'il contient est $V(t) = 1000 \left(1 - \frac{t}{20}\right)^3$ litres, pour $0 \leq t \leq 20$ minutes. Calculer le débit de sortie de l'eau (taux de variation instantané du volume) à l'instant $t = 10$ minutes.

La position d'une particule est donnée par $s(t) = \frac{t^3}{3} - 3t^2 + 8t$. Déterminer les intervalles de temps pendant lesquels la particule avance vers la droite ($v(t) > 0$) et ceux où elle recule vers la gauche ($v(t) < 0$).

Lors d'un essai de freinage doux pour un prototype de véhicule autonome, l'équipe technique doit définir une trajectoire rectiligne à l'aide d'un polynôme du troisième degré de la forme $s(t) = at^3 + bt^2 + ct$, où $s(t)$ est la distance parcourue en mètres et $t$ le temps en secondes écoulé depuis le début de l'essai.

Les conditions de conception suivantes sont imposées :

1. À l'instant initial ($t = 0\text{ s}$), le véhicule roule à une vitesse de $24\text{ m/s}$.

2. Le véhicule s'arrête complètement ($v = 0\text{ m/s}$) au bout de $4\text{ secondes}$ de freinage ($t = 4\text{ s}$).

3. À cet instant final d'arrêt ($t = 4\text{ s}$), l'accélération doit s'annuler ($a(4) = 0\text{ m/s}^2$) pour que l'arrêt soit totalement imperceptible pour les occupants.

1. a) Poser le système d'équations correspondant à partir des dérivées de $s(t)$ et en déduire les valeurs exactes des coefficients $a$, $b$ et $c$.
2. b) Justifier si le véhicule recule à un moment quelconque pendant l'intervalle $t \in [0, 4]$ en analysant le signe de la vitesse obtenue.

Un train du RER C d'Île-de-France démarre de la gare de Paris-Austerlitz. Pendant la première minute de trajet ($0 \le t \le 60\text{ secondes}$), les capteurs de voie enregistrent que sa position en mètres est donnée par la fonction $s(t) = 0,5t^2 - \frac{1}{240}t^3$.

1. a) Déterminer les expressions de la vitesse instantanée $v(t)$ et de l'accélération $a(t)$ du convoi en fonction du temps.
2. b) Déterminer à quel instant le train atteint sa vitesse maximale sur ce tronçon initial et exprimer cette valeur en kilomètres par heure ($\text{km/h}$).
3. c) À l'instant $t = 50\text{ s}$, calculer les valeurs de $v(50)$ et $a(50)$. À partir de leurs signes, interpréter physiquement si le train avance ou recule, et si, à cet instant, sa vitesse (en valeur absolue) augmente ou diminue.

Deux voitures de course, A et B, se déplacent sur des voies rectilignes et parallèles. Leurs positions par rapport à la ligne de départ sont données par $s_A(t) = t^3 - 6t^2 + 15t$ et $s_B(t) = 2t^2 + 3t$. Déterminer à quels instants $t$ les deux voitures roulent à la même vitesse. Pour ces instants, calculer et comparer l'accélération de chaque voiture.

Un projectile est lancé verticalement depuis une plateforme. Sa hauteur en mètres est donnée par $h(t) = at^2 + bt + c$. On sait que la plateforme est à $15$ m du sol, que la vitesse initiale de lancement est de $20$ m/s vers le haut, et que l'accélération due à la gravité est constante et égale à $-9,8$ m/s$^2$. En utilisant la relation entre position, vitesse et accélération au moyen des dérivées, déterminer les valeurs de $a$, $b$ et $c$. Calculer ensuite la hauteur maximale atteinte.

La vitesse d'une particule qui se déplace en ligne droite est $v(t) = \frac{t^2 - 1}{t^2 + 1}$ m/s. Calculer la fonction accélération $a(t)$. Déterminer à quel instant $t \geq 0$ l'accélération est maximale et calculer cette valeur maximale.

La charge d'un condensateur dans un circuit électrique varie avec le temps selon l'expression $q(t) = q_0 \left(1 - e^{-t/RC}\right)$, où $q_0$, $R$ et $C$ sont des constantes positives. L'intensité du courant est $i(t) = q'(t)$. Démontrer que l'intensité décroît exponentiellement avec le temps et calculer la limite de la charge et de l'intensité lorsque $t \to +\infty$.

Un robot d'exploration se déplace le long d'un rail rectiligne. Sa position en mètres pendant les $5$ premières secondes est donnée par $x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 2$. Calculer la distance totale réellement parcourue par le robot sur l'intervalle $t \in [0, 5]$. Attention : la distance totale n'est pas simplement $x(5) - x(0)$ ; il faut analyser les changements de sens du mouvement à l'aide de la vitesse.

La loi de refroidissement de Newton établit que le taux de variation de la température $T(t)$ d'un objet est proportionnel à l'écart entre sa température et celle du milieu ambiant $T_a$, c'est-à-dire $T'(t) = -k(T(t) - T_a)$. Vérifier que la fonction $T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$ satisfait cette équation différentielle. Si $T_a = 20^\circ$C, $T_0 = 100^\circ$C et que la vitesse de refroidissement à l'instant initial $t=0$ est de $-4^\circ$C/min, calculer la valeur de $k$.

La puissance consommée par un dispositif électronique dépend de la tension appliquée selon la fonction $P(v) = \frac{v^3}{v^2 + 4}$ milliwatts. Le taux de variation de la puissance par rapport à la tension s'appelle la conductance dynamique $G(v) = P'(v)$. Déterminer pour quelles valeurs de la tension $v$ la conductance dynamique est exactement égale à $1$ milliwatt/volt.

Un ballon météorologique s'élève verticalement. Sa hauteur en mètres est modélisée par une fonction définie par morceaux :

$h(t) = \begin{cases} 2t^2 & \text{si } 0 \leq t \leq 10 \\ at + b - \frac{100}{t} & \text{si } t > 10 \end{cases}$

Déterminer les valeurs des paramètres $a$ et $b$ pour que la position et la vitesse du ballon soient continues à l'instant $t = 10$. Une fois ces valeurs trouvées, calculer l'accélération du ballon pour $t > 10$ et discuter ce qui se passe pour la vitesse à long terme (lorsque $t \to +\infty$).

Une coopérative oléicole de Provence modélise le coût total quotidien (en euros) de conditionnement de $x$ bidons d'huile d'olive vierge extra de 5 litres par la fonction $C(x) = 800 + 15x - 0,01x^2$, pour une production quotidienne allant jusqu'à $500$ bidons. Pour estimer l'impact économique de la production du 201ᵉ bidon, le service financier envisage deux méthodes :

• Méthode A : calculer le coût réel supplémentaire $\Delta C = C(201) - C(200)$.

• Méthode B : approcher ce coût par le coût marginal instantané en dérivant la fonction, c'est-à-dire en calculant $C'(200)$.

1. a) Appliquer en détail les deux méthodes et déterminer la valeur numérique obtenue avec chacune, ainsi que l'écart exact entre elles.
2. b) À partir de la définition de la dérivée comme limite du taux d'accroissement avec $\Delta x = 1$, justifier formellement pourquoi la méthode B est une approximation acceptable de la méthode A.
3. c) Si la coopérative modernisait ses installations et que la fonction de coût devenait non polynomiale, $C(x) = 800 + 12x + \sqrt{x^3 + 100}$, laquelle des deux méthodes serait la plus pratique pour calculer rapidement l'impact d'unités supplémentaires successives ? Justifier en comparant la charge de calcul à la main et l'interprétabilité du résultat.

Sur les pistes d'essai d'un centre de certification automobile, un prototype électrique effectue une manœuvre d'aller-retour en ligne droite. Sa position par rapport à l'origine de la piste est donnée par $s(t) = \frac{1}{3}t^3 - 4t^2 + 12t$, où $s$ est en mètres et $t$ en secondes, sur l'intervalle $t \in [0 ; 8]$.

1. a) Déterminer à quels instants le prototype est momentanément à l'arrêt et sur quels intervalles de temps il avance dans le sens positif ou recule dans le sens négatif.
2. b) Déterminer l'accélération $a(t)$ et analyser en détail les intervalles où le prototype accélère (sa vitesse en valeur absolue augmente) et ceux où il freine (elle diminue). Porter une attention particulière à l'intervalle $]2 ; 6[$ et expliquer comment interagissent les signes de $v(t)$ et $a(t)$ pour fonder la conclusion.
3. c) Calculer la distance totale effectivement parcourue par le prototype pendant les $8\text{ secondes}$ et la comparer au déplacement net $s(8) - s(0)$. Expliquer, du point de vue du calcul différentiel, pourquoi ces deux grandeurs ne coïncident pas.