Exercices: Variations et extremums avec la dérivée

On sait que la dérivée d'une fonction $f$ vérifie $f'(3) = -2$. Sans connaître l'expression de $f$, dire si la fonction est croissante ou décroissante au point $x = 3$ et expliquer ce que signifie cette valeur pour la tangente en ce point.

Déterminer les intervalles de croissance et de décroissance de la fonction $f(x) = x^3 - 3x$ en étudiant le signe de sa dérivée.

Déterminer l'extremum local de la fonction $f(x) = x^2 - 6x + 5$ à l'aide de la dérivée, et dire s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum.

Calculer les points critiques de la fonction $f(x) = x^3 - 12x + 1$, c'est-à-dire les points en lesquels sa dérivée s'annule.

La dérivée d'une fonction est $f'(x) = (x - 1) \cdot (x - 4)$. En étudiant le signe de chaque facteur sur ℝ, déterminer les intervalles de croissance et de décroissance de $f$ et repérer ses extremums locaux.

Déterminer le sens de variation de la fonction $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 3$.

La figure montre la courbe de la dérivée $f'$ d'une fonction $f$, qui coupe l'axe des abscisses en $x = -1$ et en $x = 3$. En observant le signe de $f'$ sur la figure, indiquer les intervalles de croissance et de décroissance de $f$ et en quels points elle admet des extremums locaux.

Dire si l'affirmation suivante est vraie ou fausse : « Si $f'(a) = 0$, alors $f$ admet un maximum ou un minimum local en $x = a$ ». La figure, qui montre la fonction $f(x) = x^3$ et sa tangente à l'origine, peut aider à trancher.

Lucie étudie les extremums de la fonction $f(x) = (x - 2)^3 + 5$. Pour cela, elle calcule sa dérivée $f'(x) = 3(x - 2)^2$, l'égale à zéro et obtient la solution $x = 2$. Elle conclut immédiatement dans son cahier : « Comme la dérivée s'annule en $x = 2$, la fonction admet un extremum local (minimum ou maximum) en ce point ».

1. a) Expliquer précisément quelle erreur de raisonnement commet Lucie en déduisant l'existence d'un extremum uniquement du fait que $f'(2) = 0$.
2. b) Corriger sa résolution : étudier le signe de $f'(x)$ à gauche et à droite de $x = 2$ et déterminer ce qui se passe réellement pour les variations de la fonction au voisinage de ce point.
3. c) Donner un exemple en mots ou tiré de la vie quotidienne qui l'aide à comprendre la différence entre s'arrêter un instant avec une vitesse nulle (tangente horizontale) et faire demi-tour (changement de sens).

Soit la fonction polynôme $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x$ restreinte à l'intervalle fermé $[0 ; 3]$ :

1. a) Avant de calculer une dérivée, évaluer mentalement ou rapidement les valeurs aux bornes de l'intervalle, $f(0)$ et $f(3)$, ainsi que la valeur en $f(1)$. À partir de ces trois données, estimer en justifiant si le maximum absolu sera atteint à l'intérieur de l'intervalle ou à la borne de droite $x = 3$.
2. b) Calculer la fonction dérivée $f'(x)$, déterminer les points critiques appartenant à l'intervalle $[0 ; 3]$ et les classer en étudiant le signe de $f'$.
3. c) Déterminer exactement le maximum et le minimum absolus sur $[0 ; 3]$ en évaluant les candidats pertinents (points critiques intérieurs et bornes de l'intervalle) et vérifier si l'estimation initiale était correcte.

Dans une fête foraine, une fusée à eau atteint une hauteur $h(t) = -4t^2 + 24t + 1$ mètres $t$ secondes après le lancement. À l'aide de la dérivée, calculer à quel instant elle atteint sa hauteur maximale et la valeur de cette hauteur.

Soit la fonction $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2$.

1. a) Calculer sa dérivée et déterminer ses points critiques.

1. b) Déterminer les intervalles de croissance et de décroissance.

1. c) Classer chaque point critique comme maximum ou minimum local et donner la valeur de la fonction en ces points.

Un petit atelier fabrique $x$ vélos par mois et le coût moyen par vélo, en euros, est donné par $C(x) = x + \frac{1600}{x}$, avec $x > 0$. Déterminer le nombre de vélos qui rend le coût moyen minimal et la valeur de ce coût minimal, en vérifiant avec le signe de la dérivée qu'il s'agit bien d'un minimum.

Après l'administration d'un médicament, sa concentration dans le sang, en $\text{mg/l}$, suit le modèle $C(t) = 10t \cdot e^{-0,5t}$, avec $t \geq 0$ mesuré en heures, représenté sur la figure.

1. a) Calculer $C'(t)$.

1. b) Déterminer à quel instant la concentration est maximale.

1. c) Étudier sur quels intervalles la concentration augmente et sur lesquels elle diminue.

Déterminer la valeur du paramètre $b$ pour que la fonction $f(x) = x^2 + bx + 3$ admette un minimum local au point $x = 2$. Avec cette valeur de $b$, calculer la valeur minimale de la fonction.

Un élève étudie le sens de variation de $f(x) = x^3 - 3x^2$ et écrit : « $f'(x) = 3x^2 - 6x$, qui s'annule en $x = 0$ et en $x = 2$ ; donc $f$ est croissante sur $]0 ; 2[$ et décroissante ailleurs ». Repérer l'erreur commise dans la conclusion, la corriger en étudiant correctement le signe de $f'$ et écrire les intervalles de variation corrects.

La figure montre la courbe d'une fonction $f$ définie sur $[-3 ; 4]$, avec ses deux extremums locaux marqués. En lisant le graphique :

1. a) Indiquer les intervalles de croissance et de décroissance de $f$.

1. b) Estimer les coordonnées du maximum et du minimum locaux.

1. c) Indiquer aussi le maximum et le minimum de $f$ sur $[-3 ; 4]$.

Les organisateurs d'un festival estiment que, si le billet est vendu $x$ euros, $400 - 8x$ personnes viendront, de sorte que la recette est $I(x) = x \cdot (400 - 8x)$ euros, avec $0 \leq x \leq 50$.

1. a) Déterminer les intervalles sur lesquels la recette augmente et ceux sur lesquels elle diminue lorsque le prix augmente.

1. b) Déterminer le prix qui maximise la recette et la valeur de cette recette maximale.

Météo-France relève l'évolution de la température au cours d'une journée d'été dans une station de l'intérieur du pays. La température $T$ (en degrés Celsius) au cours des $24$ heures de la journée est modélisée par la fonction :

où $t$ représente le temps écoulé en heures depuis minuit ($t = 0$).

1. a) Calculer la dérivée $T'(t)$ et déterminer les intervalles de la journée pendant lesquels la température a augmenté et ceux pendant lesquels elle a diminué.
2. b) Déterminer à quelle heure exacte la température minimale locale de la nuit a été relevée et à quelle heure la maximale absolue, en calculant la valeur de la température à ces deux instants.
3. c) Interpréter le signe de la dérivée $T'(t)$ entre $14$ h et $16$ h pour justifier pourquoi la température maximale de la journée ne coïncide pas avec le midi solaire (moment d'ensoleillement maximal), mais présente un retard thermique.

Pour classer les points critiques d'une fonction dérivable, on peut étudier le changement de signe de la dérivée première ou recourir au signe de la dérivée seconde.

1. a) On considère la fonction $f(x) = x^4 - 4x^3 + 1$. Déterminer ses deux points critiques et essayer de les classer tous deux à l'aide de la dérivée seconde $f''(x)$. Quel obstacle insurmontable apparaît en $x = 0$ ? Justifier quelle méthode il est obligatoire d'appliquer en ce point et conclure sur la nature de ce point.
2. b) On considère maintenant la fonction rationnelle $g(x) = \frac{x}{x^2 + 4}$. Déterminer ses points critiques. Comparer le travail algébrique qu'exigerait le calcul de $g''(x)$ à l'étude du signe de $g'(x)$ en profitant du fait que le dénominateur de $g'$ est toujours strictement positif. Justifier laquelle des deux voies est la plus commode et classer les extremums locaux de $g$.

Étudier complètement les variations de la fonction $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ : intervalles de croissance et de décroissance, extremums locaux avec leurs valeurs, et comportement lorsque $x \to \pm \infty$.

La fonction $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$ admet un extremum local au point $(1 ; -2)$.

1. a) Écrire les deux conditions que doivent vérifier $a$ et $b$ et calculer leurs valeurs.

1. b) Avec ces valeurs, repérer l'autre extremum local de la fonction et classer les deux.

On considère la fonction $f(x) = x^3 + x - 1$.

1. a) Démontrer, en étudiant le signe de $f'(x)$, que $f$ est strictement croissante sur tout $\mathbb{R}$.

1. b) Justifier, à partir de la question précédente et des valeurs $f(0)$ et $f(1)$, combien de solutions réelles possède l'équation $x^3 + x - 1 = 0$.

Soit $f(x) = x^3 - 3x + 1$ définie sur l'intervalle fermé $[-2, 3]$.

1. a) Déterminer ses points critiques dans l'intervalle.

1. b) Calculer la valeur de $f$ aux points critiques et aux bornes de l'intervalle.

1. c) Déterminer le maximum et le minimum absolus de $f$ sur $[-2, 3]$ et expliquer pourquoi il ne suffit pas de regarder les points critiques.

L'indice de qualité de l'air d'une ville lors d'une journée d'épisode de pollution est modélisé, sur la période $0 \leq t \leq 24$ heures, par $I(t) = t^3 - 27t^2 + 216t + 50$.

1. a) Déterminer les instants où la tendance de l'indice change.

1. b) Déterminer les plages horaires pendant lesquelles l'indice se dégrade (augmente) et celles où il s'améliore (diminue).

1. c) Déterminer la valeur maximale de l'indice entre $0$ et $14$ heures et l'heure à laquelle elle est atteinte.

1. d) Dire si le modèle resterait valable pour prévoir l'indice plusieurs jours plus tard.

Étudier le sens de variation et les extremums de la fonction $f(x) = x \cdot e^{-x}$ sur tout $\mathbb{R}$, en donnant la valeur de l'extremum local et la limite de la fonction lorsque $x \to +\infty$.

On veut démontrer que $e^x \geq 1 + x$ pour tout $x \geq 0$ en utilisant les variations.

1. a) Définir $f(x) = e^x - 1 - x$ et étudier le signe de $f'(x)$ pour $x \geq 0$.

1. b) Calculer $f(0)$ et en déduire, à partir des variations de $f$, que $f(x) \geq 0$ pour tout $x \geq 0$.

1. c) Conclure quant à l'inégalité demandée et dire si elle est aussi valable pour $x < 0$.

La figure montre la courbe de la dérivée $f'$ d'une certaine fonction $f$ dérivable sur tout $\mathbb{R}$ ; la courbe coupe l'axe des abscisses exactement en $x = -2$, $x = 1$ et $x = 4$.

1. a) Indiquer en quels points $f$ admet des extremums locaux et les classer en étudiant le signe de $f'$.

1. b) Est-il possible de connaître la valeur que prend $f$ en ces extremums à partir de la courbe de $f'$ ? Justifier la réponse.

Sur une piste de skate, on projette de construire une rampe reliant en douceur deux paliers horizontaux situés à des hauteurs différentes. Dans un repère où les distances sont mesurées en mètres, on cherche une fonction polynôme de degré 3 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, définie sur l'intervalle $[0\,;\,4]$, vérifiant simultanément :

1. En $x = 0$, la rampe démarre à une hauteur de $3\text{ m}$ avec une tangente horizontale.

2. En $x = 4$, la rampe arrive au niveau du sol ($0\text{ m}$), également avec une tangente horizontale.

3. La rampe doit être strictement décroissante sur tout l'intérieur $]0\,;\,4[$ afin qu'aucun patineur ne rencontre de contre-pente ou de bosse intermédiaire.

1. a) Écrire les quatre conditions portant sur $f$ et $f'$ nécessaires pour déterminer les coefficients $a$, $b$, $c$ et $d$, puis obtenir l'expression littérale de $f(x)$.
2. b) Démontrer que la fonction obtenue est strictement décroissante sur $]0\,;\,4[$ en étudiant le signe de sa dérivée.
3. c) Justifier de façon détaillée pourquoi il aurait été mathématiquement impossible de résoudre ce problème avec un polynôme du second degré plutôt qu'avec un polynôme de degré 3.

On considère la famille de fonctions $f_k(x) = x^3 - 3kx^2 + 9x - 1$, où $k \in \mathbb{R}$ est un paramètre.

1. a) Calculer $f'_k(x)$ et déterminer pour quelles valeurs de $k$ la fonction est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Expliquer ce qui se passe pour la courbe et la tangente dans le cas particulier $k = \sqrt{3}$.
2. b) Déterminer les valeurs de $k$ pour lesquelles la fonction admet exactement deux points critiques distincts. Les classer en maximum ou minimum local en justifiant la réponse d'après les signes de la dérivée sur ℝ.
3. c) Dans le cas particulier $k = 2$, restreindre la fonction à l'intervalle fermé $[0\,;\,5]$. Déterminer en justifiant tous les candidats aux extremums globaux, évaluer la fonction en ceux-ci et localiser le maximum et le minimum globaux de la fonction sur cet intervalle. D'après le résultat, expliquer pourquoi, sur un intervalle fermé, le maximum global n'est pas nécessairement égal à un maximum local.